第七節(jié)統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題重點(diǎn)解讀統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題是命制生活實(shí)踐情境類試題的最佳切入點(diǎn)，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點(diǎn)之一，處理此類問題的關(guān)鍵是把握概率、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問題（師生共研過關(guān)）（2025·青島一模）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如圖所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3∶2∶1.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層隨機(jī)抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.解題技法統(tǒng)計(jì)圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項(xiàng)分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷.（2024·黃山模擬）某校高三年級1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].（1）求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于[50，70），[70，90）的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績在區(qū)間[70，90）的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.回歸分析與概率的綜合問題（師生共研過關(guān)）（2025·鄭州名校聯(lián)盟）某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)案例后，準(zhǔn)備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求E（X）.參考數(shù)據(jù)：∑i=15xiyi＝62194，∑i=15（yi－y參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)r＝∑i經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＝∑i=1n（xi－解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點(diǎn)為：同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類問題，即：①求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（預(yù)測）；②求某隨機(jī)變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：關(guān)卡x123456平均過關(guān)時間y（單位：秒）5078124121137352計(jì)算得到一些統(tǒng)計(jì)量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進(jìn)入下一關(guān)，否則獲得－1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學(xué)期望

獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問題（師生共研過關(guān)）（2024·湖北七市州調(diào)研）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請列出2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求E（X）和D（X）；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進(jìn)行比較，其次再按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.（2025·臨沂一模）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）性別對“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺一般男性3t100女性t合計(jì)60（1）求t的值，試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常