第09講勻變速直線運(yùn)動的推論及公式的選用

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)1勻變速直線運(yùn)動的平均速度、中間時刻速度、位移中點(diǎn)速度

1．平均速度、中間時刻速度

(1)做勻變速直線運(yùn)動的物體，在一段時間t內(nèi)的平均速度等于這段時間內(nèi)中間時刻的瞬時速度，還等

于這段時間初、末速度矢量和的一半。

(2)推導(dǎo)：設(shè)物體的初速度為v0，做勻變速直線運(yùn)動的加速度為a，t時刻的速度為v。

12

由x＝v0t＋at得，

2

－x1

平均速度v＝＝v0＋at①

t2

由v＝v0＋at知，

tt

時刻的速度v＝v0＋a·②

2t2

2

－

由①②得＝

vvt

2

t

又v＝v＋a·③

t2

2

＋

由②③得＝v0v

vt

22

－＋

所以＝＝v0v。

vvt

22

2．位移中點(diǎn)速度

2＋2

勻變速直線運(yùn)動中，位移中點(diǎn)的瞬時速度與初速度、末速度的關(guān)系是＝v0v方向需

(1)vxv0vvx(

222

1

根據(jù)實(shí)際情境判斷)。

2x

(2)推導(dǎo)：對前一半位移有v－v0＝2a·

x2

2

x

對后一半位移有v2－v＝2a·

x2

2

2＋2

兩式聯(lián)立可得＝v0v。

vx

22

．中間時刻的瞬時速度與位移中點(diǎn)的瞬時速度的比較

3(vt)(vx)

22

在圖像中，圖線與時間軸圍成的面積表示位移。當(dāng)物體做勻加速直線運(yùn)動時，由圖甲可知；

v-tvx>vt

22

當(dāng)物體做勻減速直線運(yùn)動時，由圖乙可知。所以當(dāng)物體做勻變速直線運(yùn)動時，。

vx>vtvx>vt

2222

知識點(diǎn)2位移差公式Δx＝aT2

1．一個重要推論：Δx＝aT2

(1)內(nèi)容：做勻變速直線運(yùn)動的物體，在任意兩個連續(xù)相等的時間T內(nèi)的位移差是個恒量，且Δx＝aT2。

(2)證明：如圖，

12

x1＝v0T＋aT，

2

＋12

12v0TaT

x2＝v0·2T＋a·(2T)－2

2

32

＝v0T＋aT，

2

2

所以Δx＝x2－x1＝aT。

2

學(xué)霸思維：①對于不相鄰的兩段位移：xm－xn＝(m－n)aT。

②此推論只適用于勻變速直線運(yùn)動。

2．Δx＝aT2的應(yīng)用——求紙帶的加速度

2

(1)逐差法

在研究勻變速直線運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)中，其實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹皇鞘褂么螯c(diǎn)計(jì)時器測量勻變速直線運(yùn)動的加速度。

除通過求出各時刻的速度，畫v-t圖像求解加速度外，還可以用公式法求解。原理如下：

設(shè)物體做勻加速直線運(yùn)動的加速度是a，在各個連續(xù)相等時間間隔T內(nèi)的位移分別是x1、x2、…、x6，

如圖甲所示。

由公式Δx＝aT2可得：

2

x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT，

2

同理：x5－x2＝x6－x3＝3aT。

由測得的各段位移x1、x2、…、x6可求出：

x4－x1x5－x2x6－x3

a1＝，a2＝，a3＝，

3T23T23T2

所以a1、a2、a3的平均值：

－a1＋a2＋a3(x6＋x5＋x4)－(x3＋x2＋x1)

a＝＝。

39T2

這就是我們所要測定的勻變速直線運(yùn)動的加速度。所用方法稱為逐差法。

這樣處理數(shù)據(jù)的過程中，所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x1、x2、…、x6全部都用到了，所以，在“使用全部所給數(shù)據(jù)，

全面真實(shí)反映紙帶的情況”，并采用了“多次測量求平均值”的原則下，減小了實(shí)驗(yàn)誤差。

(2)兩段法

“兩段法”實(shí)際上就是將圖甲所示紙帶的6段位移分成兩大部分：xⅠ和xⅡ，如圖乙所示，則xⅠ和xⅡ是運(yùn)動

物體在兩個相鄰的相等時間間隔T′＝3T內(nèi)的位移。

－

2xⅡxⅠ

由xⅡ－xⅠ＝aT′可得：a＝

T′2

＋＋－＋＋

＝(x6x5x4)(x3x2x1)。

9T2

顯然，得到的計(jì)算結(jié)果和前面完全相同，但這種方法避免了“逐差法”求多個a，再求這些a的平均值的

麻煩，而且在思路上更清晰，計(jì)算上也更簡捷。“連續(xù)相等時間內(nèi)的位移”中“相等時間”的長度可任意選

取，不必拘泥于紙帶上已給的相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時間間隔T。凡是“逐差法”適用的情景，都可以用“兩段法”快

速求得結(jié)果。

3

知識點(diǎn)3初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的比例關(guān)系

初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的常用比例關(guān)系

1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬時速度之比，由v＝at可推得：

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n

1

前1T內(nèi)、前2T內(nèi)、前3T內(nèi)、…、前nT內(nèi)位移之比，由x＝at2

按時間等分(設(shè)相等的2

可推得：∶∶∶∶＝2∶2∶2∶∶2

時間間隔為T)x1x2x3…xn123…n

第一個T內(nèi)、第二個T內(nèi)、第三個T內(nèi)、…、第n個T內(nèi)的位移

之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推

得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝∶3∶5∶…∶(2n－1)

122x0

通過x0、2x0、3x0、…、nx0所用時間之比，由x＝at得t＝，

2a

可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝∶2∶3∶…∶n

通過第一個、第二個、第三個、、第個所用時間之

按位移等分(設(shè)相等的x0x0x0…nx0

比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：

位移為x0)

tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)

2

x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬時速度之比，由v＝2ax，可

得v＝2ax，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n

知識點(diǎn)4運(yùn)動學(xué)公式的選用技巧

1．四個常用的運(yùn)動學(xué)公式的選用技巧

運(yùn)動學(xué)公式中常涉及v0、v、a、t、x五個物理量，根據(jù)已知量和待求量，恰當(dāng)選擇公式可達(dá)到事半功

倍的效果：

題目的條件優(yōu)先選用的公式

無位移x，也不需要求位移速度時間關(guān)系式：v＝v0＋at

12

無末速度v，也不需要求末速度位移時間關(guān)系式：x＝v0t＋at

2

22

無運(yùn)動時間t，也不需要求運(yùn)動時間速度位移關(guān)系式：v－v0＝2ax

v0＋v

無加速度a，也不需要求加速度平均速度公式：x＝t

2

學(xué)霸思維：上述公式涉及5個物理量：v0、v、a、x、t，若已知其中3個物理量，便可由以上

公式求出剩下的2個量。即5個量中只有3個是獨(dú)立的。

4

2．運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用步驟

(1)認(rèn)真審題，明確研究對象，畫出物體的運(yùn)動過程示意圖。

(2)明確已知量、待求量。

(3)規(guī)定正方向(一般取初速度v0的方向?yàn)檎较?，確定各矢量的正、負(fù)。

(4)選擇適當(dāng)?shù)墓角蠼狻?/p>

(5)判斷所得結(jié)果是否合乎實(shí)際情況，并根據(jù)結(jié)果的正負(fù)說明所求物理量的方向。

考點(diǎn)一平均速度、中間時刻速度

1．某物體沿直線由A點(diǎn)勻加速運(yùn)動到B點(diǎn)，A點(diǎn)速度為1m/s，B點(diǎn)速度為3m/s，C為AB中點(diǎn)，則C點(diǎn)速

度為（）

A．2m/sB．2.5m/sC．5m/sD．6m/s

2．做勻加速直線運(yùn)動的物體，先后經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時的速度分別為2v和10v，經(jīng)歷的時間為t，則（）

12v

A．物體的加速度為

t

B．在A、B間的平均速度為6v

t

C．前時間內(nèi)通過的位移為4vt

2

D．中間位置的瞬時速度6v

3．某同學(xué)用手機(jī)錄制了一段高鐵進(jìn)站的視頻，視頻中7s時第二節(jié)車廂前門正好經(jīng)過站臺上某一地標(biāo)，10s

時第三節(jié)車廂前門到該地標(biāo)，20s時第五節(jié)車廂前門到該地標(biāo)，該過程視高鐵做勻減速直線運(yùn)動，一節(jié)車廂

長約為25m，則加速度大小約為（）

A．0.2m/s2B．0.5m/s2C．0.9m/s2D．1.5m/s2

4．汽車在公路上做勻加速直線運(yùn)動，在某段位移x內(nèi)的平均速度為v1，在接下來的位移x內(nèi)的平均速度為

v2，則汽車的加速度為（）

v1v2v2v12v1v2v2v12v1v2v2v1v1v2v2v1

A．B．C．D．

2xv2v1xv2v1xv2v12xv2v1

考點(diǎn)二位移差公式Δx＝aT2

5．一物體做勻變速直線運(yùn)動，從某時刻開始計(jì)時，即此時刻為t=0，在此后連續(xù)兩個1s內(nèi)物體通過的位移

分別為5m和10m，則物體的加速度大小為（）

A．5m/s2B．10m/s2C．15m/s2D．20m/s2

6．如圖所示，一輛汽車在平直公路上做勻加速直線運(yùn)動，從樹A開始，在相等的時間內(nèi)依次經(jīng)過B、C、

D、E四棵樹，已知樹A、B間距為x1，樹D、E間距為x2，則樹B、D間距為（）

5

A．x1x2B．2x1x2C．x12x2D．2x1x2

7．如圖所示，物體從O點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，途經(jīng)A、B、C三點(diǎn)，其中AB3m，BC5m，

若物體通過AB和BC這兩段位移的時間相等，則O、A兩點(diǎn)之間的距離等于（）

A．1mB．2.25mC．2.5mD．2.75m

8．小明同學(xué)利用頻閃相機(jī)來探究摩托車的運(yùn)動規(guī)律。從某時刻（t=0）開始的一段時間內(nèi)，該摩托車可視

為做直線運(yùn)動，每隔1.0s測量一次其位置，坐標(biāo)為x，結(jié)果如表所示。

t/s01.02.03.04.05.06.0

x/m00.6352.5275.67910.08615.75222.683

根據(jù)表格內(nèi)容可知：

(1)由表格數(shù)據(jù)可判斷摩托車近似做（填“勻加速”“勻減速”或“勻速”）直線運(yùn)動。

(2)當(dāng)x=5.679m時，摩托車的速度大小為m/s（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）。

(3)摩托車的加速度大小為m/s2（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）。

考點(diǎn)三初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的比例關(guān)系

9．P點(diǎn)為足夠長光滑斜面的頂端，相同滑塊間隔相同時間從P點(diǎn)由靜止釋放，如圖為第4個滑塊剛好釋放

時各滑塊的位置。當(dāng)?shù)?個滑塊剛釋放時，滑塊3、4間，2、3間，1、2間的距離分別為sA、sB、sC，則sA:sB:sC

等于（）

A．1:3:5B．12:22:32C．3:5:7D．4:9:16

10．一個做勻速直線運(yùn)動的物體，從某時刻起做勻減速運(yùn)動經(jīng)3s靜止，設(shè)這3s內(nèi)連續(xù)通過兩段位移的時

間分別是2s、1s，這兩段位移的大小之比和這兩段位移上的平均速度之比分別是（）

A．4∶1，2∶1B．8∶1，4∶1

C．3∶1，2∶1D．4∶5，2∶5

11．合肥軌道交通8號線一期工程是安徽省首條全自動駕駛的地鐵線路。列車在一次運(yùn)行測試中，從a點(diǎn)

開始做勻減速直線運(yùn)動，通過連續(xù)四段相等的位移s，運(yùn)動到e點(diǎn)時速度減為零，列車可視為質(zhì)點(diǎn)。下列說

6

法正確的是（）

A．列車通過a、b、c、d點(diǎn)時的速度大小之比為4∶3∶2∶1

B．列車通過ae段的平均速度等于通過c點(diǎn)的瞬時速度

C．列車通過ab段和de段的平均速度大小之比為23:1

D．列車通過ac段和ce段所用時間之比為21:1

12．如圖所示，銀川市南門廣場音樂噴泉豎直向上噴出水流，噴出的水經(jīng)3s到達(dá)最高點(diǎn)，把最大高度分成

t2

三等份，水通過起始的第一等份用時t1，通過最后一個等份用時為t2?？諝庾枇Σ挥?jì)，則則滿足（）

t1

tt

A．122B．223

t1t1

tt

C．324D．425

t1t1

考點(diǎn)四運(yùn)動學(xué)公式的選用技巧

13．如圖所示，在一個傾斜的長冰道上方，一群孩子排成隊(duì)，每隔1s有一個小孩往下滑。一游客對著冰道

上的孩子拍下一張照片，照片上有甲、乙、丙、丁四個孩子。他根據(jù)照片與實(shí)物的比例推算出乙與甲、丙

兩孩子間的距離分別為10.5m和13.5m。請你據(jù)此求解下列問題：

(1)小孩下滑的加速度大小a；

(2)拍照時，最下面的小孩“丁”的速度是多少。

14．隨著杭溫高鐵的開通，仙居迎來了新一輪的旅游熱潮。若動車正以288km/h的速度在平直的鐵路上勻

速行駛，在離仙居站6.4km時動車開始剎車做勻減速運(yùn)動，到站后停留5min，接著以相同大小的加速度做

勻加速運(yùn)動并恢復(fù)到288km/h，求：

7

(1)動車減速時的加速度大小；

(2)動車在進(jìn)站減速過程中的最后400m的行駛時間；

(3)假如該動車始終保持288km/h的速率通過仙居站，可節(jié)省的時間。

一、單選題

1．鋼架雪車運(yùn)動是第十四屆全國冬季運(yùn)動會的項(xiàng)目。運(yùn)動中運(yùn)動員需要俯身平貼在雪橇上，以俯臥姿態(tài)滑

行。若某次運(yùn)動員練習(xí)結(jié)束時，恰好停在終點(diǎn)，且減速過程視為勻減速直線運(yùn)動。若運(yùn)動員勻減速運(yùn)動時

t

間為t，其中前時間內(nèi)的位移為x，則全程的平均速度為（）

4

8x8x16x16x

A．B．C．D．

7tt7tt

2．航母阻攔索可將艦載機(jī)高速攔停，是艦載機(jī)名副其實(shí)的“生命線”。若我國一架殲—15艦載機(jī)在靜止的

遼寧號上著陸，在阻攔索的作用下做勻減速直線運(yùn)動，速度從v減為0所用的時間為t，則該艦載機(jī)與阻攔

索作用過程中通過的距離為（）

vt3vt

A．vtB．2vtC．D．

22

3．某輪滑訓(xùn)練場沿直線等間距地?cái)[放著若干個定位錐筒，錐筒間距d1m，某同學(xué)穿著輪滑鞋向右勻減

速滑行?，F(xiàn)測出他從1號錐筒運(yùn)動到2號錐筒用時t11s，從2號錐筒運(yùn)動到3號錐筒用時t22s。則該同

學(xué)滑行的加速度大小為（）

1112

A．m/s2B．m/s2C．m/s2D．m/s2

2343

4．如圖所示，甲圖為研究木塊運(yùn)動情況的一套裝置，位移傳感器可與計(jì)算機(jī)連接。某次實(shí)驗(yàn)中一同學(xué)描

繪出木塊做勻加速直線運(yùn)動的x-t圖像，如圖乙所示，則（）

8

A．x1:x2:x31:3:5B．x1x2x1x3x2

C．根據(jù)圖乙可以確定木塊的初速度為零D．根據(jù)圖乙中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出木塊的加速度

5．如圖所示，小球從豎直磚墻某位置靜止釋放，用頻閃照相機(jī)記錄了小球每次曝光時的位置1、2、3、4、

5……，連續(xù)兩次曝光的時間間隔均為T，每塊磚的厚度為d。根據(jù)圖中的信息，下列判斷正確的是（）

A．由圖中信息可求出位置“2”處的速度B．位置“1”是小球釋放的初始位置

7d2d

C．小球在位置“3”的速度為D．小球下落的加速度為

TT2

6．如圖所示，小球以某一初速度從固定斜面底端A點(diǎn)開始沿斜面做勻減速運(yùn)動，運(yùn)動到頂端E點(diǎn)速度恰

好為零。已知AB、BC、CD、DE之間的長度均相等，小球在AB之間的運(yùn)動時間為t1，小球在BC之間的

運(yùn)動時間為t2，則t1:t2等于（）

23322

A．B．C．21D．

32213

二、多選題

7．如圖，是一研究性學(xué)習(xí)小組利用頻閃照相儀，對一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊從固定斜面上某一位置無初速釋放

后運(yùn)動過程進(jìn)行拍攝得到的部分照片，已知該頻閃照相儀的頻閃周期為T，AB段對應(yīng)的實(shí)際長度為x1，BC

段對應(yīng)的實(shí)際長度為x2，則（）

9

xx

A．物塊下滑到B點(diǎn)時的速度大小為21

2T

3xx

B．物塊下滑到C點(diǎn)時的速度大小為21

2T

xx

C．物塊下滑的加速度大小為21

T2

D．x1和x2的比值可能為1:3

8．質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動，先后經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，速度分別為v與7v，則關(guān)于該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)間的運(yùn)

動說法正確的有（）

A．前一半路程和后一半路程所經(jīng)歷的時間之比為2:1

B．前一半路程和后一半路程所經(jīng)歷的時間之比為3:2

C．前一半時間和后一半時間所通過的位移之比為5:11

D．前一半時間和后一半時間所通過的位移之比為6:11

9．科技館中的一個展品如圖所示，在較暗處有一個不斷均勻滴水的水龍頭，在一種特殊的間歇閃光燈的

照射下，若調(diào)節(jié)間歇閃光間隔時間正好與水滴從A下落到B的時間相同，可以看到一種奇特的現(xiàn)象，水滴

似乎不再下落，而是像固定在圖中的A、B、C、D四個位置不動，對出現(xiàn)的這種現(xiàn)象，下列描述正確的是

（g取10m/s2）（）

A．水滴在下落過程中通過相鄰兩點(diǎn)之間的時間滿足tABtBCtCD

32

B．閃光的間隔時間可能是s

10

C．水滴在相鄰兩點(diǎn)間的平均速度滿足vAB:vBC:vCD1:3:5

:

D．水滴在各點(diǎn)的速度之出滿足vBvC:vD1:3:5

10．某旅客在站臺上候車線處候車，若“高鐵”每節(jié)車廂長為L，進(jìn)站時可以看做勻減速直線運(yùn)動，第10節(jié)

車廂經(jīng)過該旅客用時為T，“高鐵”停下時旅客剛好在12號車廂門口（車廂門口可近似看成在兩節(jié)車廂連接

10

處），如圖所示。下列判斷正確的是（）

A．第11節(jié)車廂經(jīng)過該旅客用時為21T

B．第10節(jié)車廂口和第11節(jié)車廂口經(jīng)過該旅客時的速度之比為2:1

C．第11節(jié)車廂經(jīng)過他的時間與第8、9、10節(jié)車廂經(jīng)過該旅客的總時間相同

642L

D．“高鐵”的加速度為a

T2

11．如圖所示，三塊由同種材料制成的木塊A、B、C固定在水平地面上，一顆水平飛行的子彈以速度v0擊

中木塊A，并恰好能穿過全部木塊．假設(shè)子彈穿過木塊過程中受到的阻力大小不變，下列說法中正確的是

（）

A．若三塊木塊的長度相等，則依次穿過三塊木塊的時間之比為tA:tB:tC1:2:3

3

B．若三塊木塊的長度相等，則穿出第二塊時的速度為v

30

C．若穿過三塊木塊所用的時間相等，則三塊木塊的長度之比為LA:LB:LC5:3:1

1

D．若穿過三塊木塊所用的時間相等，則穿出第二塊時的速度為v

30

三、解答題

12．2024年11月3日，杭州