18.2.1分式的乘除第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********18.2.1分式的乘除一、教學(xué)目標(biāo)理解并掌握分式的乘除運(yùn)算法則，能準(zhǔn)確闡述其與分?jǐn)?shù)乘除法則的聯(lián)系與區(qū)別，體會類比思想在數(shù)學(xué)知識遷移中的應(yīng)用。熟練運(yùn)用分式乘除法則進(jìn)行運(yùn)算，包括簡單分式的乘除、分式乘除的混合運(yùn)算以及含多項式的分式乘除，提高分式運(yùn)算的準(zhǔn)確性和熟練度。通過探究分式乘除法則的過程，培養(yǎng)觀察、歸納、推理能力，在解決分式乘除實(shí)際問題中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和邏輯思維能力。二、知識回顧分?jǐn)?shù)的乘除法則：分?jǐn)?shù)乘法法則：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即\(\frac{a}??\frac{c}vjhd9dh=\frac{a??c}{b??d}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)）。例如\(\frac{2}{3}??\frac{4}{5}=\frac{2??4}{3??5}=\frac{8}{15}\)。分?jǐn)?shù)除法法則：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，即\(\frac{a}?·\frac{c}9lzbh7j=\frac{a}??\fracpphb9hz{c}=\frac{a??d}{b??c}\)（\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)）。例如\(\frac{2}{3}?·\frac{4}{5}=\frac{2}{3}??\frac{5}{4}=\frac{2??5}{3??4}=\frac{5}{6}\)。提問互動：讓學(xué)生回顧并復(fù)述分?jǐn)?shù)乘除法則，通過簡單的分?jǐn)?shù)乘除計算進(jìn)行練習(xí)鞏固，如計算\(\frac{3}{4}??\frac{2}{9}\)和\(\frac{5}{6}?·\frac{10}{3}\)，為引出分式乘除法則做鋪墊。三、分式乘除法則的探究與推導(dǎo)類比猜想：引導(dǎo)學(xué)生觀察分?jǐn)?shù)乘除法則，思考分式是否具有類似的運(yùn)算規(guī)則。通過具體例子，如\(\frac{x}{y}\)與\(\frac{a}\)相乘、相除，類比分?jǐn)?shù)乘除，猜想分式的乘除法則。歸納法則：分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，用式子表示為\(\frac{A}{B}??\frac{C}{D}=\frac{A??C}{B??D}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）。分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即\(\frac{A}{B}?·\frac{C}{D}=\frac{A}{B}??\frac{D}{C}=\frac{A??D}{B??C}\)（\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）。法則解析：強(qiáng)調(diào)分式乘除運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡分式或整式，在運(yùn)算過程中，可先約分再進(jìn)行計算，這樣能簡化運(yùn)算過程。當(dāng)分式的分子、分母是多項式時，要先對多項式進(jìn)行因式分解，然后再按照法則進(jìn)行乘除運(yùn)算。四、典型例題精講（一）簡單分式的乘除運(yùn)算例1：計算\(\frac{2x}{y^2}??\frac{3y}{4x^2}\)分析：根據(jù)分式乘法法則，將分子相乘，分母相乘，再進(jìn)行約分。解答：\(\begin{align*}\frac{2x}{y^2}??\frac{3y}{4x^2}&=\frac{2x??3y}{y^2??4x^2}\\&=\frac{6xy}{4x^2y^2}\\&=\frac{3}{2xy}\end{align*}\)例2：計算\(\frac{3a^2b}{4c^2}?·\frac{9ab^2}{2c}\)分析：依據(jù)分式除法法則，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，即\(\frac{3a^2b}{4c^2}??\frac{2c}{9ab^2}\)，然后進(jìn)行計算和約分。解答：\(\begin{align*}\frac{3a^2b}{4c^2}?·\frac{9ab^2}{2c}&=\frac{3a^2b}{4c^2}??\frac{2c}{9ab^2}\\&=\frac{3a^2b??2c}{4c^2??9ab^2}\\&=\frac{6a^2bc}{36ab^2c^2}\\&=\frac{a}{6bc}\end{align*}\)（二）分式乘除的混合運(yùn)算例3：計算\(\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}??\frac{x+2}{x-1}?·\frac{x+1}{x+2}\)分析：先對分子分母中的多項式進(jìn)行因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，\(x^2+4x+4=(x+2)^2\)；再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后依次進(jìn)行約分和計算。解答：\(\begin{align*}&\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}??\frac{x+2}{x-1}?·\frac{x+1}{x+2}\\=&\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2}??\frac{x+2}{x-1}??\frac{x+2}{x+1}\\=&\frac{(x+1)(x-1)(x+2)(x+2)}{(x+2)^2(x-1)(x+1)}\\=&1\end{align*}\)（三）分式乘除的實(shí)際應(yīng)用例4：一臺收割機(jī)的工作效率相當(dāng)于一個農(nóng)民工作效率的\(150\)倍。用這臺機(jī)器收割\(10\)公頃小麥比\(100\)個農(nóng)民人工收割這些小麥少用\(1\)小時，求這臺收割機(jī)每小時收割多少公頃小麥？分析：設(shè)一個農(nóng)民每小時收割小麥\(x\)公頃，則收割機(jī)每小時收割\(150x\)公頃。根據(jù)工作時間=工作總量

÷

工作效率，可列出方程\(\frac{10}{100x}-\frac{10}{150x}=1\)，求解方程時需要運(yùn)用分式的乘除運(yùn)算進(jìn)行化簡。解答：方程兩邊同乘\(300x\)去分母得：\(\begin{align*}300x??\frac{10}{100x}-300x??\frac{10}{150x}&=300x??1\\3??10-2??10&=300x\\30-20&=300x\\10&=300x\\x&=\frac{1}{30}\end{align*}\)經(jīng)檢驗，\(x=\frac{1}{30}\)是原方程的解。則收割機(jī)每小時收割：\(150??\frac{1}{30}=5\)（公頃）答：這臺收割機(jī)每小時收割\(5\)公頃小麥。五、課堂練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：計算\(\frac{4m}{3n}??\frac{9n^2}{8m^3}\)計算\(\frac{5a}{12b}?·\frac{10a^2}{3b^2}\)計算\(\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}??\frac{x+3}{x-2}\)提高練習(xí)：計算\(\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}?·\frac{a-2}{a^2+2a}??\frac{1}{a}\)先化簡，再求值：\(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}?·\frac{x+1}{x-1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)實(shí)際應(yīng)用練習(xí)：甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨(dú)做\(1\)天后，再由兩隊合作\(2\)天就完成了全部工程。已知甲隊單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨(dú)完成所需天數(shù)的\(\frac{2}{3}\)，求甲、乙兩隊單獨(dú)完成各需多少天？（列出分式方程并求解，過程中運(yùn)用分式乘除運(yùn)算）六、易錯點(diǎn)總結(jié)與規(guī)避運(yùn)算順序錯誤：在分式乘除混合運(yùn)算中，要按照從左到右的順序依次進(jìn)行計算，不能隨意改變運(yùn)算順序。例如計算\(\frac{a}??\frac{c}jbphlhl?·\frac{e}{f}\)，應(yīng)先算\(\frac{a}??\frac{c}3xnrb3h\)，再將結(jié)果除以\(\frac{e}{f}\)，而不能先算\(\frac{c}hxhvrpb?·\frac{e}{f}\)。約分錯誤：約分過程中，要找準(zhǔn)分子分母的公因式，確保約分徹底。當(dāng)分子分母是多項式時，必須先因式分解，再約分。如對\(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)約分，需先將分子化為\((x+3)(x-3)\)，分母化為\((x+3)^2\)，再約去公因式\(x+3\)。忽略分母不為\(0\)的條件：在分式乘除運(yùn)算中，要時刻注意分母不能為\(0\)。在進(jìn)行除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算時，要保證除數(shù)的分子分母顛倒位置后，新的分母不為\(0\)。同時，在最終結(jié)果中，也要檢查分母是否可能為\(0\)。七、課堂小結(jié)法則回顧：分式乘法法則是分子相乘作為積的分子，分母相乘作為積的分母；分式除法法則是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，即乘以除數(shù)的倒數(shù)。運(yùn)算要點(diǎn)：運(yùn)算過程中，可先對分子分母因式分解，再約分計算；混合運(yùn)算要注意順序；結(jié)果要化為最簡分式或整式。應(yīng)用價值：分式乘除運(yùn)算在解決實(shí)際問題中有著廣泛應(yīng)用，通過建立分式方程，利用分式運(yùn)算求解，能有效解決工程、行程等實(shí)際問題。八、課后作業(yè)完成教材課后習(xí)題，鞏固分式乘除運(yùn)算的方法和技巧。拓展作業(yè)：已知\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{x^2-xy}{x^2+xy}??\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}\)的值。某商場銷售某種商品，第一個月將此商品的進(jìn)價提高\(yùn)(25\%\)作為銷售價，共獲利\(6000\)元；第二個月商場搞促銷活動，將商品的進(jìn)價提高\(yùn)(10\%\)作為銷售價，第二個月的銷售量比第一個月增加了\(80\)件，并且商場第二個月比第一個月多獲利\(400\)元。問此商品的進(jìn)價是多少元？商場兩個月共銷售該商品多少件？（列分式方程求解，運(yùn)用分式乘除運(yùn)算）這份關(guān)于分式乘除的課件涵蓋知識點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用。若你覺得例題難度需調(diào)整、練習(xí)量要增減，或有其他修改方向，隨時和我說，我會進(jìn)一步優(yōu)化。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握分式的乘除運(yùn)算法則，并能正確進(jìn)行計算.能夠進(jìn)行分子、分母為多項式的分式乘除法運(yùn)算.通過分式乘除法法則體會類比的數(shù)學(xué)思想.能運(yùn)用分式的乘除法解決實(shí)際問題.復(fù)習(xí)導(dǎo)入一般方法概念意義基本性質(zhì)加減乘除運(yùn)算應(yīng)用分?jǐn)?shù)分式特殊一般概念意義基本性質(zhì)加減乘除運(yùn)算應(yīng)用類比類比類比類比類比數(shù)與式的知識體系數(shù)式通性探究新知知識點(diǎn)1分式的乘法根據(jù)分?jǐn)?shù)的乘法法則完成下面的計算：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母.類比分?jǐn)?shù)的乘法法則，你能說出分式的乘法法則嗎？思考分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.符號語言：

例1

計算：分子相乘分母相乘運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡形式.

例2

計算：分子、分母是多項式時，通常先分解因式，再約分.練習(xí)計算：知識點(diǎn)2分式的除法根據(jù)分?jǐn)?shù)的除法法則完成下面的計算：一個數(shù)除以一個分?jǐn)?shù)，等于乘上這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù).類比分?jǐn)?shù)的除法法則，你能說出分式的除法法則嗎？思考分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.符號語言：

例1

計算：分子、分母顛倒位置除法轉(zhuǎn)化為乘法注意：如果運(yùn)算結(jié)果不是最簡分式，一定要進(jìn)行約分，使運(yùn)算結(jié)果化為最簡分式.

例2

計算：整式與分式進(jìn)行乘除運(yùn)算時，整式可以看作分母是1的“分式”.練習(xí)計算：也可先將除式約分，再計算：分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算步驟確定運(yùn)算類型，如果是除法，先轉(zhuǎn)化為乘法.13約分化為最簡分式或整式.2用乘法法則計算，如果是多項式，先因式分解.方法知識點(diǎn)3分式乘除的應(yīng)用

例3

如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(a＞1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a–1)m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg小麥.（1）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？（2）高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？思考以下問題：①你能說出小麥的“單位產(chǎn)量”的含義嗎？②如何表示這兩塊試驗田的單位產(chǎn)量？③怎樣確定哪種小麥的單位產(chǎn)量高？④你能列式表示（2）的問題嗎？∵a>1，∴

(a–1)2＞0，a2–1＞0，∴

＜.所以，“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量高.

解：（1）“豐收1號”小麥的試驗田面積是單位面積產(chǎn)量是kg/m2．(a2–1)m2，單位面積產(chǎn)量是kg/m2；“豐收2號”小麥的試驗田面積是(a–1)2m2，由圖可得(a–1)2＜a2–1，所以，“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”小麥的單位面積產(chǎn)量的倍.解：（2）隨堂練習(xí)1.若式子有意義，則（）CA.x

≠3且x

≠4B.x

≠±3且x

≠4C.x

≠3且x

≠4且x

≠–2D.x

≠±3且x

≠4且x

≠–22.計算：【教材P148練習(xí)第1題】3.計算：【教材P148練習(xí)第2題】【教材P148練習(xí)第3題】4.一個水平放置的長方體容器，其容積為V，底面的長為a，寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的時，水面的高度為多少？【教材P148練習(xí)第4題】5.大拖拉機(jī)m天耕地ahm2，小拖拉機(jī)n天耕地bhm2，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍？6.已知2m2+4m+1