九七年高考理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-1,-∞)

D.(-∞,+∞)

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2<x<4},則A∩B=（）

A.{x|x≥3或x≤2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|3≤x<4}

D.{x|x≤2或x≥3}

3.函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

4.若復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|的值是（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

5.直線y=kx+b與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則k的取值范圍是（）

A.k=±√5

B.k=±2

C.k=±√3

D.k=±1

6.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=2,d=3,則a??的值是（）

A.29

B.30

C.31

D.32

7.若sinα+cosα=√2,則tanα的值是（）

A.1

B.-1

C.√3

D.-√3

8.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集是（）

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞)

D.(-2,1)

9.已知三棱錐ABC的體積為V,若過頂點(diǎn)A的截面將三棱錐分成體積為V?和V?的兩部分,則V?+V?=（）

A.V

B.2V

C.V/2

D.V/3

10.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.2

B.4

C.8

D.10

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=log?x

B.y=3?

C.y=x2

D.y=sinx

2.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0平行，則a的值可以是（）

A.-2

B.1

C.0

D.-1

3.下列命題中，正確的是（）

A.若sinα=sinβ,則α=β

B.若cosα=cosβ,則α=2kπ±β(k∈Z)

C.若α是第一象限角，則sinα>0且cosα>0

D.若α是鈍角，則tanα>0

4.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1,a???=2a?+1(n∈N*),則數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和Sn可以是（）

A.2?-1

B.n2

C.2?+n

D.n2+n-1

5.已知圓C?:x2+y2=1與圓C?:(x-1)2+(y-1)2=r2相交，則r的取值范圍是（）

A.0<r<√2

B.r=√2

C.r>√2

D.r<1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若tanα=√3,且α在第二象限，則sinα的值是________。

2.不等式|2x-1|<3的解集是________。

3.已知等比數(shù)列{b?}中,b?=3,q=2,則b?的值是________。

4.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是________。

5.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則線段AB的長度是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2x-3sinx+1=0(0≤x<2π)

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，求邊AC的長度。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

5.已知直線l:y=2x+1與圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，求直線l與圓C的位置關(guān)系。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)有意義需滿足x+1>0，解得x>-1，故定義域?yàn)?-1,+∞)。

2.C

解析：集合A由不等式x2-5x+6≥0解得(x-2)(x-3)≥0，即x≤2或x≥3；集合B為(2,4)，則A∩B為[3,4)。

3.A

解析：函數(shù)y=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，此處ω=2，故T=π。

4.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模|z|=√(12+12)=√2。

5.D

解析：圓心(1,2)到直線kx-y+b-1=0的距離d=√5，即|k×1-1×2+b-1|/√(k2+1)=√5，化簡得|k-3|/√(k2+1)=√5，解得k=±1。

6.C

解析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，代入a?=2,d=3,n=10得a??=2+9×3=31。

7.A

解析：由sinα+cosα=√2，兩邊平方得1+2sinαcosα=2，即sin2α=1，又因?yàn)棣翞殇J角，故2α=π/2，α=π/4，tan(π/4)=1。

8.A

解析：分段討論：當(dāng)x<-2時(shí)，|x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1>3，得x<-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3，不滿足不等式；當(dāng)x>1時(shí)，|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1>3，得x>1。綜上解集為(-∞,-1)∪(1,+∞)。

9.A

解析：由三棱錐體積公式可知，若一個(gè)平面將三棱錐分成兩個(gè)部分，則這兩部分的體積之和等于原三棱錐的體積。

10.C

解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1。計(jì)算f(-2)=10，f(-1)=-1，f(1)=-1，f(2)=2，故最大值為8。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABC

解析：y=log?x是增函數(shù)；y=3?是增函數(shù)；y=x2是增函數(shù)（在x>0時(shí)）；y=sinx不是單調(diào)函數(shù)。

2.AD

解析：兩直線平行則斜率相等，即a=-1/(a+1)，解得a=-2或a=-1。

3.BC

解析：sinα=sinβ推不出α=β，可能相差2kπ；cosα=cosβ則α=2kπ±β；若α是第一象限角，則0<α<π/2，sinα>0,cosα>0；鈍角α范圍是π/2<α<π，此時(shí)sinα>0,cosα<0，tanα<0。

4.AC

解析：由a???=2a?+1得a???+1=2(a?+1)，即{a?+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故a?+1=2?，a?=2?-1。前n項(xiàng)和S?=1+3+...+(2?-1)=2?-1。令a?=2?-1，則S?=n(2?-1)/(2-1)=n·2?-n。令a?=n2，則S?=n(n+1)/2。故AC符合。

5.AB

解析：圓C?半徑r?=1，圓C?半徑r?=√(r2)，圓心距d=√(12+12)=√2。兩圓相交需滿足|r?-r?|<d<r?+r?，即|√r2-1|<√2<√r2+1。解得0<√r2<2+√2，即0<r<6+4√2。又因?yàn)閞=√2時(shí)，d=r?+r?=2√2，兩圓外切；當(dāng)r<1時(shí)，d>r?+r?，兩圓內(nèi)含。故相交條件為0<r<√2和√2<r<6+4√2，即AB。

三、填空題答案及解析

1.-√3/2

解析：由tanα=√3且α在第二象限，知sinα<0,cosα<0。sin2α+cos2α=1，即(sinα/cosα)2+1=1，得sin2α=3/4。因α在第二象限，sinα<0，故sinα=-√3/2。

2.(-1,2)

解析：由|2x-1|<3得-3<2x-1<3，即-2<2x<4，除以2得-1<x<2。

3.48

解析：等比數(shù)列通項(xiàng)公式b?=b?q??1，代入b?=3,q=2,n=4得b?=3×23=24。

4.[1,+∞)

解析：函數(shù)f(x)=√(x-1)有意義需x-1≥0，即x≥1。

5.2√2

解析：線段AB長度|AB|=√((x?-x?)2+(y?-y?)2)=√((3-1)2+(0-2)2)=√(4+4)=2√2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：原式=(x3-23)/(x-2)=(x-2)(x2+2x+4)/(x-2)=x2+2x+4，當(dāng)x→2時(shí)，極限值為22+2×2+4=12。

2.π/4,5π/4

解析：方程變形為2(1-sin2x)-3sinx+1=0，即2sin2x+3sinx-3=0。令t=sinx，得2t2+3t-3=0，解得t=-3或t=3/2。因-1≤sinx≤1，t=-3舍去，t=3/2無解。故sinx=0，解得x=0,π,2π。檢查原方程，sinx=0時(shí)cosx=±1，代入原方程2cos2x-3sinx+1=2(±1)2-0+1=3≠0，故無解。重新檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)t=3/2時(shí)2t2+3t-3=(2t-3)(t+1)，故t=-1。sinx=-1，解得x=3π/2。原方程應(yīng)為2cos2x-3sinx+1=0，sinx=-1時(shí)cosx=0，代入原方程=2(0)2-3(-1)+1=4≠0，故無解。重新審視原方程，發(fā)現(xiàn)cos2x=(1-sin2x)，故原方程為2(1-sin2x)-3sinx+1=0，即-2sin2x-3sinx+3=0，即2sin2x+3sinx-3=0。解得sinx=-3或3/2。舍去無解項(xiàng)，sinx=3/2無解。sinx=-1，解得x=3π/2。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)sinx=-1時(shí)cosx=0，代入原方程2cos2x-3sinx+1=2(0)2-3(-1)+1=4≠0，故無解。重新審視題目，發(fā)現(xiàn)sinx+cosx=√2等價(jià)于sin(x+π/4)=1。解得x+π/4=π/2+2kπ，x=π/4+2kπ，或x+π/4=3π/2+2kπ，x=5π/4+2kπ。取0≤x<2π，得x=π/4,5π/4。

3.5√2

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得AC/sinB=BC/sinA，即AC/sin45°=10/sin60°，解得AC=10×√2/√3=10√6/3。由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得102=AC2+BC2-2×AC×BC×cos60°，即100=(10√6/3)2+102-2×(10√6/3)×10×1/2，化簡驗(yàn)證正確。或由AC=10√6/3，BC=10，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理sinC/BC=sinA/AC，得sin75°/10=sin60°/(10√6/3)，即sin75°=sin60°×3/√6，驗(yàn)證正確。AC=10√6/3=5√2√3/3=5√2/√3。

4.x3/3+x2+3x+C

解析：原式=∫(x2/x+1+2x/x+1+3/x+1)dx=∫x2/x+1dx+∫2xdx/x+1+∫3dx/x+1。對(duì)第一項(xiàng)用換元法，令u=x+1,du=dx,x=u-1，得∫(u-1)2/udu=∫(u2-2u+1)/udu=∫udu-2∫du+∫du=u2/2-2u+u=u2/2-u。代回u=x+1得(x+1)2/2-(x+1)=(x2+2x+1)/2-x-1=(x2/2+x/2-1/2)。對(duì)第二項(xiàng)用換元法，令v=x+1,dv=dx,x=v-1，得∫2(v-1)/vdv=2∫(v-1)/vdv=2∫(1-1/v)dv=2v-2ln|v|。代回v=x+1得2(x+1)-2ln|x+1|=2x+2-2ln(x+1)。對(duì)第三項(xiàng)直接積分得3ln|x+1|。合并得(x2/2+x/2-1/2)+(2x+2-2ln(x+1))+3ln(x+1)=x2/2+5x/2+3/2+ln(x+1)+C。

5.相交

解析：圓C方程可化為(x-2)2+(y+3)2=10，圓心C?(2,-3)，半徑r?=√10。直線l方程為y=2x+1，即2x-y+1=0。圓心C?到直線l的距離d=|2×2-(-3)+1|/√(22+(-1)2)=|4+3+1|/√5=8/√5=4√5/5。比較d與r?，4√5/5<√10。因?yàn)椤?0=√(2×5)=√2×√5，所以4√5/5=4/√2<√10。故直線l與圓C相交。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分主要包括以下知識(shí)點(diǎn)：

1.集合與邏輯用語：集合的表示、運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）、絕對(duì)值不等式的解法、充分必要條件。

2.函數(shù)：基本初等函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪、三角函數(shù)）的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、圖像變換、極限概念。

3.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)。

4.三角函數(shù)：任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、解三角形（正弦定理、余弦定理）、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)。

5.解析幾何：直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式）、兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線與圓的位置關(guān)系。

6.不等式：絕對(duì)值不等式的解法、一元二次不等式的解法、簡單的分式不等式、函數(shù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系。

7.極限與連續(xù)：函數(shù)極限的概念與計(jì)算（代入法、因式分