統(tǒng)計(jì)學(xué)例題及答案案例背景某城市統(tǒng)計(jì)局為掌握居民家庭收入分布特征及影響因素，于2023年開展了一次覆蓋全市12個(gè)城區(qū)的家庭收支抽樣調(diào)查。調(diào)查采用分層隨機(jī)抽樣方法，按城區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平分為高、中、低三類區(qū)域，每類區(qū)域抽取50戶家庭，最終獲得有效樣本150戶（數(shù)據(jù)經(jīng)脫敏處理）。以下基于該調(diào)查數(shù)據(jù)，完成描述統(tǒng)計(jì)分析、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)及線性回歸分析等任務(wù)。任務(wù)一：描述統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)說明：150戶家庭的月收入（單位：元）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下（按升序排列）：3200,3500,3800,4000,4200,4300,4500,4600,4800,5000,5200,5300,5500,5600,5800,6000,6200,6300,6500,6800,...（中間80個(gè)數(shù)據(jù)略）...,18500,19000,19500,20000要求：計(jì)算該樣本的集中趨勢(shì)指標(biāo)（均值、中位數(shù)、眾數(shù)）、離散程度指標(biāo)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位距），并繪制頻數(shù)分布直方圖（組距為2000元），分析數(shù)據(jù)分布特征。解答過程1.集中趨勢(shì)指標(biāo)計(jì)算-均值（$\bar{x}$）：樣本數(shù)據(jù)總和為$\sumx_i=3200+3500+...+20000=9,360,000$（通過統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算），樣本量$n=150$，因此：$$\bar{x}=\frac{\sumx_i}{n}=\frac{9,360,000}{150}=6240\\text{元}$$-中位數(shù)（$M_e$）：樣本量為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)為第75和76個(gè)數(shù)的平均值。經(jīng)排序后，第75個(gè)數(shù)為5800元，第76個(gè)數(shù)為6000元，因此：$$M_e=\frac{5800+6000}{2}=5900\\text{元}$$-眾數(shù)（$M_o$）：觀察數(shù)據(jù)分布，月收入在5000-6000元區(qū)間的家庭最多（共32戶），其中5500元出現(xiàn)次數(shù)最多（8次），因此眾數(shù)為5500元。2.離散程度指標(biāo)計(jì)算-方差（$s^2$）：樣本方差計(jì)算公式為：$$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$通過計(jì)算，$\sum(x_i-6240)^2=1,248,000,000$（統(tǒng)計(jì)軟件結(jié)果），因此：$$s^2=\frac{1,248,000,000}{149}\approx8,375,838\\text{元}^2$$-標(biāo)準(zhǔn)差（$s$）：標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根：$$s=\sqrt{8,375,838}\approx2894\\text{元}$$-四分位距（$IQR$）：第一四分位數(shù)（$Q_1$）為第37.5個(gè)數(shù)，即第37和38個(gè)數(shù)的平均值（4500和4600元），$Q_1=4550$元；第三四分位數(shù)（$Q_3$）為第112.5個(gè)數(shù)，即第112和113個(gè)數(shù)的平均值（7800和8000元），$Q_3=7900$元；因此，$IQR=Q_3-Q_1=7900-4550=3350$元。3.頻數(shù)分布直方圖組距設(shè)為2000元，分組如下：-3000-5000元：25戶（頻數(shù)）-5000-7000元：55戶-7000-9000元：40戶-9000-11000元：20戶-11000-13000元：8戶-13000-15000元：2戶-15000-17000元：0戶-17000-19000元：0戶-19000-21000元：0戶（注：實(shí)際最高收入為20000元，單獨(dú)計(jì)入最后一組）分布特征分析：數(shù)據(jù)呈現(xiàn)右偏態(tài)（均值6240元>中位數(shù)5900元），說明存在少數(shù)高收入家庭拉高均值；主要收入集中在5000-7000元區(qū)間（占比36.7%），低收家庭（<5000元）占16.7%，高收入家庭（>9000元）占13.3%，整體分布較為分散（標(biāo)準(zhǔn)差2894元）。任務(wù)二：總體均值的區(qū)間估計(jì)背景：已知該城市共有家庭約120萬戶，抽樣調(diào)查的樣本均值為6240元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2894元。要求：以95%的置信水平估計(jì)該城市家庭月收入的總體均值。解答過程1.確定統(tǒng)計(jì)量：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量$n=150$（大樣本），可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s$代替總體標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma$，采用$t$分布（或近似$z$分布）。2.計(jì)算邊際誤差（$E$）：置信水平95%，自由度$df=n-1=149$，查$t$分布表得$t_{\alpha/2}=1.976$（近似$z=1.96$）。邊際誤差公式為：$$E=t_{\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$代入數(shù)據(jù)：$$E=1.976\cdot\frac{2894}{\sqrt{150}}\approx1.976\cdot236.7\approx468\\text{元}$$3.置信區(qū)間：總體均值$\mu$的95%置信區(qū)間為：$$\bar{x}\pmE=6240\pm468$$即（5772元，6708元）。任務(wù)三：假設(shè)檢驗(yàn)——收入是否高于全國(guó)平均背景：據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2023年全國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭月收入均值為6000元。要求：檢驗(yàn)該城市家庭月收入是否顯著高于全國(guó)平均水平（顯著性水平$\alpha=0.05$）。解答過程1.提出假設(shè)：原假設(shè)$H_0:\mu\leq6000$（該城市收入不高于全國(guó)平均）；備擇假設(shè)$H_1:\mu>6000$（該城市收入顯著高于全國(guó)平均）。2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且大樣本，使用$t$統(tǒng)計(jì)量（或$z$統(tǒng)計(jì)量）：$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{6240-6000}{2894/\sqrt{150}}\approx\frac{240}{236.7}\approx1.014$$3.確定臨界值或$p$值：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)，$\alpha=0.05$，自由度149，查$t$分布表得臨界值$t_{0.05}=1.655$（或$z_{0.05}=1.645$）。計(jì)算得$t=1.014<1.655$，因此不拒絕原假設(shè)；或計(jì)算$p$值（通過統(tǒng)計(jì)軟件）約為0.156>0.05，同樣不拒絕$H_0$。4.結(jié)論：在5%的顯著性水平下，沒有足夠證據(jù)表明該城市家庭月收入顯著高于全國(guó)平均水平。任務(wù)四：線性回歸分析——家庭人口數(shù)對(duì)收入的影響背景：調(diào)查中同時(shí)記錄了每戶家庭的人口數(shù)（$x$，單位：人），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下（與收入$y$元對(duì)應(yīng)）：(2,5000),(3,6200),(2,4800),(4,7500),(1,3500),(3,6000),(5,9000),...（共150組數(shù)據(jù)）要求：建立月收入$y$關(guān)于家庭人口數(shù)$x$的線性回歸模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著性，解釋回歸系數(shù)意義，并計(jì)算決定系數(shù)$R^2$。解答過程1.計(jì)算基本統(tǒng)計(jì)量：-樣本均值：$\bar{x}=3.2$人，$\bar{y}=6240$元；-協(xié)方差：$Cov(x,y)=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}=1200$（統(tǒng)計(jì)軟件結(jié)果）；-樣本方差：$s_x^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=1.8$（人口數(shù)方差）。2.估計(jì)回歸系數(shù)：斜率$b_1=\frac{Cov(x,y)}{s_x^2}=\frac{1200}{1.8}\approx666.67$；截距$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=6240-666.67\times3.2\approx6240-2133.34=4106.66$；回歸方程：$\hat{y}=4106.66+666.67x$。3.模型顯著性檢驗(yàn)（$F$檢驗(yàn)）：-總平方和$SST=\sum(y_i-\bar{y})^2=1,248,000,000$；-回歸平方和$SSR=b_1^2\cdot(n-1)s_x^2=666.67^2\times149\times1.8\approx118,000,000$；-殘差平方和$SSE=SST-SSR=1,248,000,000-118,000,000=1,130,000,000$；-均方回歸$MSR=SSR/1=118,000,000$；-均方殘差$MSE=SSE/(n-2)=1,130,000,000/148\approx7,635,135$；-$F$統(tǒng)計(jì)量：$F=MSR/MSE=118,000,000/7,635,135\approx15.45$；-臨界值：$F_{0.05}(1,148)\approx3.90$（$F$分布表），由于$15.45>3.90$，拒絕原假設(shè)，模型整體顯著。4.回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（$t$檢驗(yàn)）：斜率$b_1$的標(biāo)準(zhǔn)誤$SE(b_1)=\sqrt{\frac{MSE}{(n-1)s_x^2}}=\sqrt{\frac{7,635,135}{149\times1.8}}\approx\sqrt{28,400}\approx168.5$；$t$統(tǒng)計(jì)量：$t=\frac{b_1}{SE(b_1)}=\frac{666.67}{168.5}\approx3.95$；自由度148，$\alpha=0.05$時(shí)臨界值$t_{0.025}=1.976$，$3.95>1.976$，拒絕$H_0:b_1=0$，說明家庭人口數(shù)對(duì)收入有顯著正向影響。5.決定系數(shù)$R^2$：$$R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{118,000,000}{1,248,000,000}\approx0.0945$$即家庭人口數(shù)解釋了約9.45%的