第第頁人教版八年級數(shù)學下冊《17.2勾股定理的逆定理》同步測試題(附答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、勾股定理的的逆定理1.以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，1，2B.1，，2C.4，5，6D.2，，2.下列結(jié)論正確的是（）A.在Rt△ABC中，已知兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為5B.△ABC的三邊長滿足BC2+AC2＝AB2，則∠A＝90°C.若三角形的三邊長之比為8：16：17，則該三角形是直角三角形D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，則△ABC是直角三角形3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A.∠A+∠B＝∠CB.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.a2＝c2﹣b2D.a2∶b2∶c2＝5∶12∶174.如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則下列結(jié)論：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面積為10；④點A到直線BC的距離是2，其中正確的是

.（填序號）??5.如圖，在△ABC中，BC＝8，∠A＝45°．點D是AC邊上一點，連接BD，若CD＝6，BD＝10，則線段AD＝

．?6.如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．（1）試說明△ABC為直角三角形．（2）求CE的長．7.如圖，每個小正方形的邊長都是1.（1）求四邊形ABCD的面積與周長；（2）∠BCD是直角嗎？二、勾股數(shù)1.在下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形的三邊邊長的是（）A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)的是（）A.3，4，5B.9，12，15C.7，24，25D.1.2，2，2.53.下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的一組是（）A.3，4，B.9，40，41C.0.9，1.2，1.5D.，，4.若a，12，13是一組勾股數(shù)，則a＝

．5.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請你寫出有以上規(guī)律的第⑨組勾股數(shù)：

．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．6.我們知道，3，4，5是一組勾股數(shù)，那么3k，4k，5k（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？7.若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．觀察下列兩類“勾股數(shù)”：第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．三、勾股定理的應用1.我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖所示，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝2，BC＝3，將四個直角三角形中邊長為3的直角邊分別向外延長一倍，得到一個如圖所示“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A.B.8C.D.2.小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了6分鐘到達書店（如圖所示）．已知書店距離郵局660米，那么小明家距離書店（）A.880米B.1100米C.1540米D.1760米3.如圖，OA＝6，OB＝8，AB＝10，點A在點O的北偏西40°方向，則點B在點O的（）?A.北偏東40°B.北偏東50°C.東偏北60°D.東偏北70°4.如圖，《九章算術(shù)》中有這樣一道古題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時而繩索用盡，則木柱長為

尺．5.如圖，貨車卸貨時后面擋板AB折落在地面A1處，已知點A，B，C在一條直線上，AC⊥A1C，經(jīng)過測量A1C＝1.6m，BC＝1.2m，則車高AC＝

m．6.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.木桿折斷之前有多高？7.在一棵樹的5米高的B處有兩只猴子．一只猴子爬下樹走到離樹15米的池塘的A處．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處．距離以直線計算．如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．則這棵樹高多少米？四、逆命題與真假命題1.下列命題中，是假命題的是（）A.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B.對頂角相等C.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線互相平行2.下列命題中，其逆命題是真命題的個數(shù)是（）①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果三角形的三邊長為a，b，c（c為最長邊）且滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．③如果兩個角是對頂角，那么它們相等；④如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等.A.1B.2C.3D.43.下面四組a，b的值，能說明命題“若a2＞b2，則a＞b”是假命題的是（）A.a＝2，b＝1B.a＝﹣2，b＝1C.a＝2，b＝﹣1D.a＝3，b＝﹣24.“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的逆命題是

．5.判斷一個命題是假命題，只用舉出一個反例．請舉例說明命題“如果a2＝b2，那么a＝b．”是假命題：a＝

，b＝

．6.寫出命題“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等”的逆命題，并判斷原命題和逆命題的真假．若是假命題，請舉出反例．7.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假．（1）等邊三角形有一個角等于60°；（2）等腰三角形兩腰上的高相等．

參考答案一、勾股定理的的逆定理1.以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，1，2B.1，，2C.4，5，6D.2，，【答案】B【解析】A，1+1＝2，不能構(gòu)成三角形，則此項不符合題意；B，，能構(gòu)成直角三角形，則此項符合題意；C，42+52＝41≠62，不能構(gòu)成直角三角形，則此項不符合題意；D，，不能構(gòu)成直角三角形，則此項不符合題意．故選：B．2.下列結(jié)論正確的是（）A.在Rt△ABC中，已知兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為5B.△ABC的三邊長滿足BC2+AC2＝AB2，則∠A＝90°C.若三角形的三邊長之比為8：16：17，則該三角形是直角三角形D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，則△ABC是直角三角形【答案】D【解析】在Rt△ABC中，已知兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為5或，故A說法錯誤，不符合題意；△ABC的三邊長滿足BC2+AC2＝AB2，則∠C＝90°，故B說法錯誤，不符合題意；若三角形的三邊長之比為8：16：17，其三邊不符合勾股定理的逆定理，則該三角形不是直角三角形，故C說法錯誤，不符合題意；在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，則∠C＝180°×＝90°，則△ABC是直角三角形，故D說法正確，符合題意；故選：D．3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A.∠A+∠B＝∠CB.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.a2＝c2﹣b2D.a2∶b2∶c2＝5∶12∶17【答案】B【解析】A，∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意；B，∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴設∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，∴3x+4x+5x＝180，解得x＝15，∴∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；C，∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意；D，∵a2∶b2∶c2＝5∶12∶17∴a∶b∶c＝∶∶，∴設a＝x，b＝x，c＝x，∵（x）2+（x）2＝（x）2，∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意．故選：B．4.如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則下列結(jié)論：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面積為10；④點A到直線BC的距離是2，其中正確的是

.（填序號）??【答案】①④【解析】①∵AB2＝22+42＝20，∴AB＝25，故正確；②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，故錯誤；③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故錯誤；④設點A到直線BC的距離為h，∵BC2＝32+42＝25，∴BC＝5，則×5×h＝5，解得，h＝2，即點A到直線BC的距離是2，故正確；故答案為：①④．5.如圖，在△ABC中，BC＝8，∠A＝45°．點D是AC邊上一點，連接BD，若CD＝6，BD＝10，則線段AD＝

．?【答案】2【解析】依題意可知CD2+BC2＝36+64＝100，BD2＝100，∵CD2+BC2＝BD2，∴∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝8，∴AD＝AC﹣CD＝2．故答案為：2．6.如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．（1）試說明△ABC為直角三角形．（2）求CE的長．【答案】（1）證明∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形．（2）解設CE長為xcm，則BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得x=74，所以CE的長為．7.如圖，每個小正方形的邊長都是1.（1）求四邊形ABCD的面積與周長；（2）∠BCD是直角嗎？【答案】解：（1）由勾股定理可得AB2=52+12=26，則AB=26，∵BC2=42+22=20，∴BC=25，∵CD2=22+12=5，∴CD=5，∵AD2=12+42=17，∴AD=17，故四邊形ABCD的周長為26++25+5+17=26++35+17．四邊形ABCD的面積為5×5-12×（1×5+4×2+2×1+4×1）-1×1=25-10.5=14.5（2）∠BCD是直角，理由如下：由（1）得BC2=20，CD2=5，連接BD（圖略），則BD2=32+42=25，∴DC2+BC2=BD2，∴∠BCD=90°．二、勾股數(shù)1.在下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形的三邊邊長的是（）A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【答案】A【解析】A，32+42≠62，故A符合題意；B，72+242＝252，故B不符合題意；C，62+82＝102，故C不符合題意；D，92+122＝152，故D不符合題意．故選：A．2.下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)的是（）A.3，4，5B.9，12，15C.7，24，25D.1.2，2，2.5【答案】D【解析】52＝32+42，152＝92+122，252＝72+242，∴A，B，C均為勾股數(shù)，不符合題意；D選項中各數(shù)不全是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．3.下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的一組是（）A.3，4，B.9，40，41C.0.9，1.2，1.5D.，，【答案】B【解析】直角三角形三邊a.b.c滿足a2+b2＝c2的關(guān)系其中c最大．選項A有根號，不是勾股數(shù)，故選項A錯誤，不符合題意；選項B中92+402＝412，且9，40，41均為正整數(shù)，故選項B正確，符合題意；選項C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整數(shù)，故選項C錯誤，不符合題意；選項D中，不符合勾股數(shù)，故選項D錯誤，不符合題意．故選：B．4.若a，12，13是一組勾股數(shù)，則a＝

．【答案】5【解析】∵52+122＝132，∴a＝5，故答案為：5．5.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請你寫出有以上規(guī)律的第⑨組勾股數(shù)：

．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．【答案】19，180，181【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，∴第n組勾股數(shù)為：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴第⑨組勾股數(shù)為a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181．故答案為：19，180，181．6.我們知道，3，4，5是一組勾股數(shù)，那么3k，4k，5k（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？【答案】解：∵k是正整數(shù)，∴3k，4k，5k都是正整數(shù)，∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)；因為a，b，c是一組勾股數(shù)，且k是正整數(shù)，所以ak，bk，ck是三個正整數(shù)，且a2+b2=c2，因為（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，所以ak，bk，ck是一組勾股數(shù)．7.若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．觀察下列兩類“勾股數(shù)”：第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．【答案】解：（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）．（2）當a為奇數(shù)時，b=a2?12，c當a為偶數(shù)時，b=a24?1，c證明：當a為奇數(shù)時，a2+b2＝a2+(a2?1=a2+a4?2a2+14=4a2+a∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”．當a為偶數(shù)時，a2+b2＝a2+(a24?1)2=(a24+1∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”．三、勾股定理的應用1.我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖所示，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝2，BC＝3，將四個直角三角形中邊長為3的直角邊分別向外延長一倍，得到一個如圖所示“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A.B.8C.D.【答案】D【解析】依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝62+22＝40，所以x＝2，所以風車的外圍周長為4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12．故選：D．2.小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了6分鐘到達書店（如圖所示）．已知書店距離郵局660米，那么小明家距離書店（）A.880米B.1100米C.1540米D.1760米【答案】B【解析】∵小明家到書店所用的時間為＝10（分鐘），又∵小明的速度為＝110（米/分鐘），故小明家距離書店的距離為110×10＝1100（米）．故選：B．3.如圖，OA＝6，OB＝8，AB＝10，點A在點O的北偏西40°方向，則點B在點O的（）?A.北偏東40°B.北偏東50°C.東偏北60°D.東偏北70°【答案】B【解析】∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，由題意得：90°﹣40°＝50°，∴點B在點O的北偏東50°方向，故選：B．4.如圖，《九章算術(shù)》中有這樣一道古題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時而繩索用盡，則木柱長為

尺．【答案】【解析】設木柱長為x尺，根據(jù)題意得：AB2+BC2＝AC2，則x2+82＝（x+3）2，解得：x＝．答：木柱長為尺．故答案為：．5.如圖，貨車卸貨時后面擋板AB折落在地面A1處，已知點A，B，C在一條直線上，AC⊥A1C，經(jīng)過測量A1C＝1.6m，BC＝1.2m，則車高AC＝

m．【答案】3.2【解析】∵AC⊥A1C，∴∠A1CB＝90°，在Rt△A1CB中，∵A1C＝1.6m，BC＝1.2m，∴A1B＝BC2+A1C∵擋板AB折落在地面A1處，∴AB＝A1B＝2m，∵點A，B，C在一條直線上，∴AC＝AB+BC＝2+1.2＝3.2（m）．6.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.木桿折斷之前有多高？【答案】解：∵一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，∴折斷的部分長為32+∴折斷前高度為5+3=8（米）．7.在一棵樹的5米高的B處有兩只猴子．一只猴子爬下樹走到離樹15米的池塘的A處．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處．距離以直線計算．如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．則這棵樹高多少米？【答案】解：由題意知BC+AC＝20（米）．設樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為20米．由勾股定理得x2+152＝[20﹣（x﹣5）]2，解得x＝8．∴這棵樹高8米．四、逆命題與真假命題1.下列命題中，是假命題的是（）A.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B.對頂角相等C.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線互相平行【答案】C【解析】A，在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，是真命題，不符合題意；B，對頂角相等，正確，是真命題，不符合題意；C，兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，符合題意；D，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，正確，是真命題，不符合題意．故選：C．2.下列命題中，其逆命題是真命題的個數(shù)是（）①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果三角形的三邊長為a，b，c（c為最長邊）且滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．③如果兩個角是對頂角，那么它們相等；④如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①逆命題為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是真命題；②逆命題為如果一個三邊長為a，b，c（c為最長邊）的三角形是直角三角形，那么a2+b2＝c2，是真命題；③逆命題為如果兩個角相等，那么它們是對頂角，是假命題；④逆命題為如果兩個實數(shù)平方相等，那么它們相等，是假命題.故選：B．3.下面四組a，b