第9章數(shù)字邏輯電路基礎(chǔ)主要內(nèi)容9.1數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路9.2數(shù)制和碼制9.3邏輯代數(shù)

9.4邏輯函數(shù)及其表示方法

9.5邏輯函數(shù)的化簡

9.1數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路圖9-1模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)：連續(xù)變化的電信號(hào)，如正弦信號(hào)。數(shù)字信號(hào)：離散的電信號(hào)，如矩形信號(hào)。數(shù)字信號(hào)兩種狀態(tài)用高電平和低電平表示，（1和0）高、低電平指一個(gè)電壓范圍，如2.4V～5V，0～0.8V9.1.1數(shù)字信號(hào)9.1.2數(shù)字電路數(shù)字電路特點(diǎn)：

1.二極管、三極管均工作在開關(guān)狀態(tài)；

2.基本單元電路只有0和1兩個(gè)狀態(tài)，單元電路簡單；

3.分析和設(shè)計(jì)應(yīng)用的主要工具是邏輯代數(shù)；

4.可形成大規(guī)模集成、速度快、功耗低、可編程。數(shù)字電路分類：集成度分類SSIMSILSIVLSI所用器件分類雙極型單極型邏輯功能分類組合邏輯電路時(shí)序邏輯電路9.2.1數(shù)制

人類在長期的生活實(shí)踐過程中，為了計(jì)數(shù)，為了用盡量少的數(shù)碼表示比較大的數(shù)值，經(jīng)常采用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法來計(jì)數(shù)，簡稱計(jì)數(shù)制、進(jìn)位制。生活中用十進(jìn)制數(shù)Decimal。進(jìn)位計(jì)數(shù)制：將數(shù)碼排列成數(shù)位，按由低位向高位進(jìn)位來計(jì)數(shù)，表示數(shù)的大小的方法。如十進(jìn)制數(shù)551。進(jìn)位計(jì)數(shù)制包含兩個(gè)基本要素：基數(shù)與位權(quán)。

基數(shù)：是指一種計(jì)數(shù)制允許使用基本數(shù)碼的個(gè)數(shù)，N進(jìn)制數(shù)有N個(gè)基本代碼，每個(gè)數(shù)位計(jì)滿N就向高位進(jìn)1，即“逢N進(jìn)一”，十進(jìn)制數(shù)有10個(gè)號(hào)碼，基數(shù)為10，進(jìn)位時(shí)逢10進(jìn)1。9.2數(shù)制和碼制

位權(quán)：進(jìn)位制中每個(gè)數(shù)位的數(shù)值等于該數(shù)位的數(shù)碼乘以一個(gè)與該數(shù)位置有關(guān)的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做該位的“位權(quán)”，簡稱“權(quán)”。位權(quán)的大小是以基數(shù)為底、數(shù)碼所在位置的序號(hào)為指數(shù)的整數(shù)次冪。N進(jìn)制數(shù)第i位的權(quán)為

十進(jìn)制數(shù)551中十位的5表示數(shù)值，百位的5表示數(shù)值，十進(jìn)制數(shù)551等于各位數(shù)值之和，即為：例：十進(jìn)制數(shù)表示為多項(xiàng)式和的形式稱為按權(quán)展開式。N進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分有n位，小數(shù)部分有m位，按權(quán)展開式為：一般式為：

1．二進(jìn)制計(jì)數(shù)Binary二進(jìn)制是目前數(shù)字設(shè)備、計(jì)算機(jī)采用的數(shù)制，基數(shù)為2，計(jì)數(shù)時(shí)“逢2進(jìn)1”。二進(jìn)制只有0和1兩種數(shù)字符號(hào)，第i位上的位權(quán)是2的i次冪。二進(jìn)制數(shù)的一般表達(dá)式為：

二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的數(shù)值相等關(guān)系小數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)0．12-1=0．50．012-2=0．250．0012-3=0．1250．00012-4=0．0625二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)00000000110010200113010040101501106011171000810019整數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系2．八進(jìn)制Octal和十六進(jìn)制數(shù)Hexadecimal八進(jìn)制數(shù)基數(shù)是8，有0~7共8個(gè)不同的數(shù)碼，運(yùn)算時(shí)“逢8進(jìn)一”。第i位上的權(quán)是8的i次冪。八進(jìn)制數(shù)可以表示為：

十六進(jìn)制有16個(gè)數(shù)碼，即0，1，。。。。。。9，A，B，C，D，E，F(xiàn)?；鶖?shù)為16，運(yùn)算時(shí)，“逢16進(jìn)一”第i位上的位權(quán)是16的i次冪。不同進(jìn)制數(shù)后加縮寫字母作為各種進(jìn)位制的標(biāo)識(shí)符號(hào)。標(biāo)識(shí)字母原文注釋二進(jìn)制數(shù)BBinary避免字母O誤認(rèn)作數(shù)字0，標(biāo)識(shí)改為Q八進(jìn)制數(shù)QOctal十進(jìn)制數(shù)DDecimal十六進(jìn)制數(shù)HHexadecimal

例如67D、101B、25Q和16H，分別為十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)。不加標(biāo)識(shí)時(shí)默認(rèn)是十進(jìn)制數(shù)。1．二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)：

二進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開成多項(xiàng)式，再逐項(xiàng)相加，其和就是等值的十進(jìn)制數(shù)例：求4位二進(jìn)制數(shù)能表示的最大十進(jìn)制數(shù)值解：9.2.2數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換

八、十六制數(shù)轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)，按權(quán)展開再逐項(xiàng)相加，即得到數(shù)值相等的十進(jìn)制數(shù)2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù):

整數(shù)部分采用除基取余法，小數(shù)部分采用乘基取整法。（1）整數(shù)部分：除基取余法。若十進(jìn)制整數(shù)S轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制整數(shù)為（Kn

Kn-1、、、K1K0）2

則有：將十進(jìn)制整數(shù)S除以2，余數(shù)為K0，得二進(jìn)制數(shù)的最低位，若將商再除以2，所得余數(shù)為K1，依次類推，反復(fù)將每次得到的商再除以2，就可求得二進(jìn)制數(shù)的每一位了。逐次相除直到商為0，得到二進(jìn)制整數(shù)的最高位Kn。

（２）

小數(shù)部分：乘基取整法。若十進(jìn)制小數(shù)S轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制小數(shù)為（0．K-1K–2．．．K–m）2，則有：

S乘以2所得乘積的整數(shù)部分為K–1

。小數(shù)部分再乘以2又可得到整數(shù)部分為K–2

，依次類推，將每次乘2后所得的小數(shù)部分再乘以2，便可求出二進(jìn)制小數(shù)的每一位，這樣逐次乘基，從高位到低位積的整數(shù)序列，便構(gòu)成對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)。要說明的是，不是所有的十進(jìn)制小數(shù)都能轉(zhuǎn)換化成有限位的二進(jìn)制小數(shù)，有時(shí)候小數(shù)點(diǎn)后會(huì)出現(xiàn)無限循環(huán)情況，這時(shí)要根據(jù)指定的轉(zhuǎn)換位數(shù)或轉(zhuǎn)換精度來確定位數(shù)。

既有整數(shù)又有小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，需將整數(shù)部和小數(shù)部分開轉(zhuǎn)換，再將轉(zhuǎn)換的兩部分合在一起即可。例：將十進(jìn)制數(shù)213．375轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的形式。解：整數(shù)部分：213D=11010101B

小數(shù)部分：0．375D=011B

則213．375=11010101.011B

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意進(jìn)制數(shù)：整數(shù)部分采用“除基取余法，小數(shù)部分采用“乘基取整”算法，最后把兩部分轉(zhuǎn)換結(jié)果合在一起便得到最后結(jié)果。

例：將362．4D轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)，并取2位小數(shù)。解：十六進(jìn)制的基數(shù)為16，因而整數(shù)部分除以16取余數(shù)，小數(shù)部分乘以16取整數(shù)。362．4D=16A．66H3.二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換

一位八進(jìn)制數(shù)與三位二進(jìn)制數(shù)的數(shù)值相等對(duì)應(yīng)關(guān)系表如上?？梢钥闯?，二者在數(shù)值上完全相等，且進(jìn)位關(guān)系也相同，因此，可以相互轉(zhuǎn)換，即一位八進(jìn)制數(shù)直接用三位二進(jìn)制數(shù)代替。反之亦然。八進(jìn)制數(shù)Q01234567二進(jìn)制數(shù)B000001010011100101110111十六進(jìn)制數(shù)H十進(jìn)制數(shù)D二進(jìn)制數(shù)B000000110001220010330011440100550101660110770111881000991001A101010B111011C121100D131101E141110F151111

一位十六進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)和四位二進(jìn)制數(shù)的數(shù)值相等對(duì)應(yīng)關(guān)系表列出?？梢钥闯?，二者數(shù)值完全相等，且進(jìn)位關(guān)系也相同。因此，可以相互轉(zhuǎn)換時(shí)，即一位十六進(jìn)制數(shù)直接用四位二進(jìn)制數(shù)代替。反之亦然。

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八、十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，以小數(shù)點(diǎn)為分界線，整數(shù)部分從低位到高位，小數(shù)部分從高位到低位，每3位或4位二進(jìn)制為一組，不足3位或4位的，小數(shù)部分在低位補(bǔ)0，整數(shù)部分高位補(bǔ)0，然后用1位八進(jìn)制或十六進(jìn)制的數(shù)字來表示。即得到一個(gè)相應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)。

八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，將每1位八進(jìn)制或十六制，分別用二進(jìn)制數(shù)碼寫出來，即得到相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。

21．6Q=10

001．110BFA.6H=1111

1010．0110B

八進(jìn)制和十六進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換時(shí)，可通過二進(jìn)制來完成。

704．65Q=111

000

100

．110

101B

=1

1100

0100

．1101

0100B

=1C4．D4H

加減運(yùn)算。按權(quán)對(duì)位相加減，加法規(guī)則：0+0=00+1=11+0=11+1=0，逢二進(jìn)一，減法規(guī)則是：1-1=01-0=10-0=00-1=1，借1當(dāng)2。二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)律和十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)律基本一致。常見的有加、減、乘、除四則運(yùn)算。乘除運(yùn)算

數(shù)碼除了表示數(shù)值大小外，也用來表示不同的事物，從而成為某種事物的代碼，如運(yùn)動(dòng)會(huì)上每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼。在數(shù)字電路中，0和1組成二進(jìn)制數(shù)碼，可以表示二進(jìn)制數(shù)字，有數(shù)值大小的含義，也可以用來表示特定信息，成為某種信息的代碼。為不同信息編制不同的二進(jìn)制代碼這一過程，稱為編碼。為便于記憶和處理，編碼時(shí)總要遵循一定的規(guī)則。這些規(guī)則通稱碼制。實(shí)際中常用到的二進(jìn)制代碼有二-十進(jìn)制代碼、格雷碼、奇偶檢驗(yàn)碼、字符代碼等、其編碼規(guī)則各不相同。9.2.3碼制BCD（BinaryCodedDecimal）代碼，也稱二—十進(jìn)制碼，是表示十進(jìn)制數(shù)十個(gè)數(shù)碼的一組二進(jìn)制代碼。四位二進(jìn)制代碼有16種不同的狀態(tài)，用它來表示十進(jìn)制數(shù)碼0~9這十個(gè)狀態(tài)時(shí)，可有許多不同的編碼方案，常見的BCD碼如表所示。十進(jìn)制數(shù)8421碼余3碼2421碼5211碼格雷碼000000011000000000010100010100000100010110200100101001001000111300110110001101010101401000111010001110100501011000101110001100601101001110010011101701111010110111001111810001011111011011110910011100111111111010

8421BCD碼是一種有權(quán)碼，其高位到低位的權(quán)分別是8，4，2，1，將每一個(gè)8421碼看做4位二進(jìn)制數(shù)，則它的數(shù)值即為所表示的十進(jìn)制數(shù)。

2421碼也是一種有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)分別是2，4，2，1。

余3碼屬無權(quán)碼，它每位的權(quán)是不固定的。若將每一個(gè)余3碼看做二進(jìn)制數(shù)，則它的數(shù)值要比它所表示的十進(jìn)制數(shù)碼多3，故將這種代碼稱為余3碼。

余3格雷碼是一種無權(quán)碼，它的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰代碼之間僅有一位狀態(tài)不同，這使得硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可靠性增強(qiáng)。格雷碼:也稱為循環(huán)碼，任意兩組相鄰代碼之間只有一位不同。表1-3自然二進(jìn)制碼與格雷碼的對(duì)比字符代碼在數(shù)字系統(tǒng)中，0和1組成的代碼還可以表示字母和符號(hào)，稱為字符代碼。由于涉及到信息交換處理的格式問題，字符代碼種類繁多。目前廣泛使用的字符代碼有兩種：一種是由五位二進(jìn)制碼組成，稱為五單位碼，一種是由七位二進(jìn)制數(shù)碼組成，稱為七單位碼，又稱為ASCⅡ碼。幾種常用的數(shù)制十進(jìn)制137.5=1

102+3101+7100+510-1

2.二進(jìn)制3.八進(jìn)制4.任意進(jìn)制N為計(jì)數(shù)的基數(shù)；ki為第i位的系數(shù)；N

i為第i位的權(quán)值。表9-1不同進(jìn)制數(shù)的對(duì)照表十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1.二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)（整數(shù)部分）【例】將十進(jìn)制數(shù)13轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。讀數(shù)順序?qū)⑹M(jìn)制數(shù)13輾轉(zhuǎn)除以2取其余數(shù)十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)（小數(shù)部分）【例】將(0.625)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。故2.其他進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

客觀世界中存在著大量具有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系，如事物的真與偽，好與壞，有和無，或者電路的通和斷，燈泡的亮和滅等。

9.3邏輯代數(shù)1849年英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾(GeorgeBoole)首先提出，用來描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——稱為布爾代數(shù)。

布爾代數(shù)被廣泛用于開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，所以也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，處理二值邏輯問題。

邏輯代數(shù)中用字母表示變量——邏輯變量，每個(gè)邏輯變量的取值只有兩種可能——0和1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)常數(shù)。0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，也有數(shù)，變量，函數(shù)等概念。

邏輯變量:用字母代表變量，稱作邏輯變量。邏輯變量的取值只有兩個(gè)值0和1。這里的0和1已不再表示數(shù)值大小，只代表客觀事物的兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)。

邏輯函數(shù):如果一個(gè)邏輯變量F是由邏輯變量A、B、C、D、X、Y、，，，等唯一確定，則稱F是關(guān)于邏輯變量A、B、C、D、X、Y、，，，的邏輯函數(shù)，表達(dá)式表示如下：

F=f

（A、B、C、D、X、Y、，，，）上式描述了邏輯變量間的關(guān)系，稱為邏輯表達(dá)式。表示輸入變量A、B、C、D、X、Y、，，，經(jīng)過某種邏輯運(yùn)算，輸出函數(shù)F。邏輯變量與邏輯函數(shù)三種基本的邏輯運(yùn)算：與、或、非邏輯變量間的三種最基本運(yùn)算：邏輯與、邏輯或和邏輯非上圖三個(gè)指示燈控制電路可以說明三種邏輯關(guān)系。（a）電路中，只有當(dāng)兩個(gè)開關(guān)同時(shí)閉合時(shí)，指示燈才會(huì)亮；（b）電路中，只要任何一個(gè)開關(guān)閉合，指示燈就亮；（c）電路中，開關(guān)斷開時(shí)燈亮，開關(guān)閉合時(shí)燈滅。三個(gè)電路代表了三種不同的邏輯關(guān)系。（a）（b）（c）9.3.1邏輯代數(shù)中3種基本運(yùn)算

如果把開關(guān)閉合做為條件，燈亮作為事件結(jié)果，則上圖三個(gè)電路描述了三種不同的因果關(guān)系。（a）表明，只有決定事件結(jié)果的所有條件全部滿足時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯與，或稱邏輯乘。（b）電路中，只要決定事物結(jié)果的諸條件中有一個(gè)滿足，結(jié)果就發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為邏輯或或邏輯加。（c）電路表明，條件滿足了，結(jié)果便不會(huì)發(fā)生；條件不滿足時(shí)，結(jié)果發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯反。（a）（b）（c）

若用A、B表示開關(guān)的狀態(tài)，定義1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開。用Y表示指示燈的狀態(tài)，并定義燈亮?xí)r為1，燈滅時(shí)為0，上述三種邏輯關(guān)系如下表。ABYABYAY0001101100010001101101110110

上表詳盡地描述邏輯函數(shù)中全部輸入變量A、B在所有取值組合下輸出F的邏輯值。叫做邏輯真值表，簡稱真值表

以“·”表示與運(yùn)算，以“+”表示或運(yùn)算，以變量上邊的“—”號(hào)表示非運(yùn)算。因此，上述三種基本邏輯運(yùn)算關(guān)系表示為：

數(shù)字電路中，實(shí)現(xiàn)三種基本邏輯運(yùn)算的單元電路稱為與門、或門和非門，電路符號(hào)為:三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）1.與運(yùn)算該圖代表的與邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件都滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生Y=A·B=AB=A

and

B=A&B（正）邏輯賦值/狀態(tài)賦值用1表示開關(guān)接通用1表示燈亮A

BY000110110001真值表-truetable2.或運(yùn)算該圖代表的或邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件只要有一個(gè)滿足時(shí)，事件就會(huì)發(fā)生ABY000011101111Y=A+B=A

or

B3.非運(yùn)算該圖代表的非邏輯關(guān)系是：決定事件的條件滿足時(shí)，事件反而不發(fā)生AY01101.與非邏輯:與非邏輯是與和非的復(fù)合邏輯，實(shí)現(xiàn)與非邏輯的器件稱為與非門。

實(shí)際的邏輯問題往往比較復(fù)雜，要由與、或、非三種基本運(yùn)算組合成復(fù)合邏輯來實(shí)現(xiàn)。ABF0001101111102.或非邏輯:或非邏輯是或和非的復(fù)合邏輯，實(shí)現(xiàn)或非邏輯的器件稱為或非門。ABF000110111000

9.3.2復(fù)合邏輯運(yùn)算3.同或邏輯:同或邏輯描述兩個(gè)輸入變量的邏輯關(guān)系。兩變量相同時(shí)輸出為1；兩變量不同時(shí)輸出為0。實(shí)現(xiàn)同或邏輯的電路稱為同或門。ABF0001101110014.異或邏輯:也是描述兩變量的邏輯關(guān)系，當(dāng)兩變量相異時(shí)輸出為1；相同時(shí)輸出為0。異或邏輯和同或邏輯互為非邏輯運(yùn)算。實(shí)現(xiàn)異或邏輯的電路稱為異或門。同或邏輯與異或邏輯互為非運(yùn)算。ABF000110110110異或邏輯:同或邏輯:AB00010110010101⊙⊙互為反運(yùn)算ABCDY

000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111105.與或非邏輯:6.正邏輯與負(fù)邏輯在實(shí)際的數(shù)字電路中，邏輯1和邏輯0表示電平的高和低。這種規(guī)定稱為正邏輯。相反，如果0表示高電平，1表示低電平，則稱為負(fù)邏輯。本書如無特殊說明，一般都采用正邏輯。0–1律互補(bǔ)律重迭律還原律交換律結(jié)合律分配律吸收律德摩根定律(AB)′=A′+B′與運(yùn)算變?yōu)榛蜻\(yùn)算(A+B)′=A′B′或運(yùn)算變?yōu)榕c運(yùn)算以上定律都可以通過給變量取值0和1來證明其正確性9.3.3邏輯代數(shù)的基本公式公式（16）分配律證明（真值表法）ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111A+BC=(A+B)(A+C)在變量A、B、C取全部每一組值時(shí)左右都相等，故等式成立。9.3.4邏輯代數(shù)的常用公式序號(hào)公式1合并律AB+AB′=A2吸收律A+AB=A3吸收律A+A′B=A+B4吸收律AB+A′C+BC=AB+A′C5吸收律AB+A′C+BCD=AB+A′C6(AB+A′C)′=AB’+A′C′1.合并律邏輯代數(shù)的若干常用公式證明證：合并律說明，兩個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，消去互補(bǔ)變量。

在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果某一乘積項(xiàng)的部分因子恰好等于另一個(gè)乘積項(xiàng)的全部，則該乘積項(xiàng)是多余的。2.吸收律證：證：

在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果某一乘積項(xiàng)取反后是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則此因子是多余的。

在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這第三項(xiàng)是多余的。2.吸收律----------冗余項(xiàng)定理證：推論：3.其他常用公式證：證：證：（1）（2）（3）9.3.5邏輯代數(shù)的基本定理應(yīng)用舉例：用B+C來代替等式中的B

式（17）

(A+B)′=

A′B′

(A+B+C)′=A′(B+C)′ =A′

B′C′1.代入定理定理：在任何一個(gè)包含邏輯變量A的等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。2.反演定理應(yīng)用:求反函數(shù)即Y→Yˊ或去掉多個(gè)變量上的非號(hào)要求運(yùn)算前后對(duì)應(yīng)變量運(yùn)算順序一致!先括號(hào)，然后乘，最后加+?·，1?0，A?A’Y=A(B+C)+(CD)'Y'=(A'+B'C')(C'+D')'=(A'+B'C')CD=A'CD采用代入定理，設(shè)則:

0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，長非號(hào)即兩個(gè)以上變量的非號(hào)不變，或采用代入定理處理3.對(duì)偶定理例如：A(B+C)=AB+AC<=>A+BC=(A+B)(A+C)

定義:對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的”+”和”·”互換，0和1互換，得到的結(jié)果就是Y的對(duì)偶式，記做YD

，它們互為對(duì)偶式。對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。證明兩個(gè)邏輯式相等，可通過證明其對(duì)偶式相等來完成這就從分配律的第一個(gè)公式直接推出第二個(gè)公式。

從對(duì)偶定理可看出，只要一個(gè)邏輯函數(shù)式的變量數(shù)不少于兩個(gè)（含反變量），它就一定存在對(duì)偶式。要求運(yùn)算前后對(duì)應(yīng)變量運(yùn)算順序一致9.4邏輯函數(shù)及其表示方法事物間的因果關(guān)系是一種邏輯關(guān)系，也是函數(shù)關(guān)系，所以稱為邏輯函數(shù)，具體說是二值邏輯函數(shù)。

如三人投票電路的例子：要求投票結(jié)果和多數(shù)人意見相同。當(dāng)兩個(gè)人或三個(gè)人都同意時(shí)，結(jié)果有效。三個(gè)人分別用A、B、C表示，結(jié)果用Y表示。Y與A,B,C的邏輯關(guān)系可表示為：Y=AB+AC+BC=A'BC+AB'C+ABC'+ABCABCY000000100100011110001011110111119.4.1邏輯函數(shù)的表示方法常用的有五種：真值表；邏輯函數(shù)式；邏輯圖；波形圖；卡諾圖。1.真值表三人投票電路的真值表：左側(cè)是輸入變量的所有取值組合，右側(cè)是輸出變量對(duì)應(yīng)數(shù)值是邏輯函數(shù)值。當(dāng)輸入變量個(gè)數(shù)為n時(shí)，真值表共有2n行。特點(diǎn)：描述邏輯問題方便；直觀；但較繁瑣。ABCY000000100100011110001011110111112.函數(shù)式三人投票的函數(shù)式：Y=AB+AC+BC特點(diǎn)：便于運(yùn)算、化簡；便于畫邏輯圖；不便從邏輯問題直接得到。3.邏輯(電路)圖三人投票函數(shù)的邏輯圖：特點(diǎn)：便于用電路實(shí)現(xiàn)。4.波形圖

高、低電平表示的變量取值按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。主要用于描述時(shí)序邏輯。真值表函數(shù)式邏輯圖波形圖9.4.2各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換【例1】

列出函數(shù)的真值表。解：將A、B、C三個(gè)變量的各種取值逐一代入函數(shù)式中計(jì)算，將結(jié)果列表，即可得到該函數(shù)的真值表，如表1-16所示。19.4.2各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換1．真值表與邏輯函數(shù)式之間的相互轉(zhuǎn)換真值表→函數(shù)式：在真值表中依次找出函數(shù)值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個(gè)變量相乘。這樣，對(duì)應(yīng)于函數(shù)值為1的每一個(gè)變量組合就可以寫成一個(gè)乘積項(xiàng)，然后把這些乘積項(xiàng)相加，就可得到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。函數(shù)式→真值表：變量依次取值，得到各種取值。例12中，Y=A'B'C+A'BC'+A'BC+ABC'+ABC9.4.2各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換2．邏輯函數(shù)式和邏輯圖之間的相互轉(zhuǎn)化將函數(shù)式中的邏輯運(yùn)算符號(hào)與邏輯圖中的圖形符號(hào)按照優(yōu)先順序轉(zhuǎn)換，就可實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)式和邏輯圖之間的轉(zhuǎn)化。例：畫出邏輯函數(shù)式的邏輯圖。將式中所有的與、或、非符號(hào)用圖形符號(hào)替代，并依據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序?qū)⑦@些圖形符號(hào)連接起來真值表與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)化可以通過邏輯函數(shù)式進(jìn)行9.5邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的最簡形式邏輯函數(shù)式和邏輯圖是一一對(duì)應(yīng)的。邏輯化簡對(duì)降低成本有直接影響，邏輯函數(shù)式越簡單，所用到的元件數(shù)目越少，制造成本就越低，而且整個(gè)電路的功耗也相應(yīng)減小。電路簡單，電路的工作速度和可靠性也會(huì)提高，故障檢測(cè)更加容易。因而，邏輯化簡具有重要意義。在數(shù)字電路的設(shè)計(jì)中，簡單的邏輯表達(dá)式對(duì)應(yīng)簡單的電路結(jié)構(gòu)。9.5邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式等等。AB+AC

與或式=((AB+AC)')'=

((AB)'(AC)')'

與非與非式=A(B+C)

或與式=((A(B+C))')'

=

(A'+(B+C)')'或非或非式=(A'+B'C')'

與或非式先與門后或門用與非門實(shí)現(xiàn)電路先或門后與門用或非門實(shí)現(xiàn)電路用與或非門實(shí)現(xiàn)電路“乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少”意味著用電路實(shí)現(xiàn)時(shí)使用與門個(gè)數(shù)最少；“因子數(shù)最少”意味著使用門的輸入端最少。與或式使用最多，因此我們只討論與或式的最簡標(biāo)準(zhǔn)：與項(xiàng)/乘積項(xiàng)數(shù)量最少；在滿足1項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。9.5.1公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法又稱為代數(shù)化簡法。是利用邏輯代數(shù)的公式和定理進(jìn)行化簡。這種方法要取決于對(duì)公式的熟煉運(yùn)用程度，還需要有一定的運(yùn)算技巧，只有通過大量練習(xí)，才能迅速地化簡邏輯表達(dá)式。常用的方法可歸納如下。（1）合并項(xiàng)法：利用公式將兩項(xiàng)并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量（2）吸收法利用公式和消去多余乘積項(xiàng)（3）消去法利用公式，消去多余因子（4）配項(xiàng)法利用公式在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫某一乘積項(xiàng)，或?qū)⒛骋豁?xiàng)乘以，或利用在邏輯式中添項(xiàng)，再用公式化簡添加冗余項(xiàng)AB常用公式3.Y=A’BC’+AC’+B’C’=A’BC’+(A’B)’C’=C’1.Y=AB+A(C’+D)B=AB2.Y=AC+A’D+C’D=AC+(AC)’D=AC+D4.Y=AC+AD’+(C+D)’=AC+AD’+C’D’=AC+C’D’5.Y=AB’+A’B+BC’+B’C=AB’+A’B+BC’+B’C+AC’=A’B+B’C+AC’或Y=AB’+A’B+BC’+B’C+A’C=AB’+BC’+A’C化簡結(jié)果不一定是唯一的！1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+A’C公式法化簡常用公式函數(shù)式中的任一與項(xiàng)都可重復(fù)使用，A＋A＝A=A’B+BC=A’BC’+A’BC+ABC+A’BC6.Y=A’BC’+A’BC+ABC7.Y=((AB’)’C+C’D)’A’=(AB’C+AB’D’+C’D’).A’=A’C’D’Y=AC+B’C+BD’+CD’+A(B+C’)+A’BCD’+AB’DE(B’C)’=B’C+BD’+A當(dāng)有長非號(hào)時(shí)，一般先化簡非號(hào)下的式子，然后脫掉非號(hào)；但有時(shí)可先化去非號(hào)，再化簡；應(yīng)靈活運(yùn)用。8.1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+A’C例1化簡下列邏輯函數(shù)(AB+C)B=AB+BC=AB(C+C')+(A+A')BC=ABC+ABC'+ABC+A'BC=ABC+ABC'+A'BC題

證明下面的恒等式相等。（1）（2）（3）（4）證明：AB'+B+A'B=A+B+A'B=A+B+B=A+B左=BC+AD，對(duì)偶式為(B+C)(A+D)=AB+AC+BD+CD右=(A+B)(B+D)(A+C)(C+D)，對(duì)偶式為：AB+AC+BD+CD對(duì)偶式相等，推得左=右。（1）（2）（3）(A+C')(B+D)(B+D')=(A+C')(B+BD+BD')=(A+C')B=AB+BC'（4）習(xí)題題

在舉重比賽中，有甲、乙、丙三名裁判，其中甲為主裁判，乙、丙為副裁判，當(dāng)主裁判和一名以上（包括一名）副裁判認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員上舉合格后，才可發(fā)出合格信號(hào)。列出該函數(shù)的真值表。解：設(shè)A為主裁判，真值表如下表所示。

ABCY00000010010001101000101111011111題

一個(gè)對(duì)4邏輯變量進(jìn)行判斷的邏輯電路。當(dāng)4變量中有奇數(shù)個(gè)1出現(xiàn)時(shí)，輸出為1；其他情況，輸出為0。列出該電路的真值表，寫出函數(shù)式。解：題

已知邏輯函數(shù)真值表如右表所示，寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。ABCY00000011010101101001101111001111解：將Y為1對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)相加，就可以得到函數(shù)式。Y=m1+m2+m4+m5+m7=A'B'C+A'BC'+AB'C'+AB'C+ABC同理可以得到題的函數(shù)式：Y=A'B'C'D+A'B'CD'+A'BC'D'+A'BCD+AB'C'D'+AB'CD+ABC'D+ABCD'題

寫出如下圖所示的各邏輯圖對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式。解：題

寫出如下圖所示的各邏輯圖對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式。Y1=((A+B)'C)'+(C'D)'Y2=((AB')'E+(B'CD)'E)'題

利用公式法將下列各函數(shù)化為最簡與或式。(1)Y=AB'C+A'+B+C'=B'C+A'+B+C'=C+A'+B+C‘=1(2)Y=(A'BC)'+(AB')'=A+B'+C'+A'+B=1(3)Y=AB'CD+ABD+AC'D=AD(B'C+B+C')=AD(4)Y=AB'(A'CD+(AD+B'C')')'(A'+B)=AB'(A'CD+(AD+B'C')')'(AB')'=0(5)Y=AC(C'D+A'B)+BC((B'+AD)'+CE)'=BC(B'+AD)(CE)'=ABCDE'例：寫出下圖中各邏輯圖的邏輯函數(shù)式，并化簡為最簡與或式。(a)Y=((AB'C)'(BC')')'=AB'C+BC'(b)Y=((A'+B)'

+(A+B')'+(B+C')')'=(A'+B)(A+B')(B+C')=(AB+A'B')(B+C')

=AB+A'B'C'(c)Y1=((AB')'(AD'C)')'=AB'+AD'CY2=((AB')'(AD'C')'(A'C'D)(ACD))'=AB'+AD'C'+A'C'D+ACD=AB'+AD'C'+A'C'D+ACD(d)Y1=(((AB)+(A+B)C)')'=AB+(A+B)C=AB+BC+ACY2=(A+B)+C=BC+AC卡諾圖9.5.2卡諾圖化簡法1.邏輯函數(shù)最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表示方法卡諾圖是用來化簡邏輯函數(shù)的。由美國工程師Karnaugh首先提出的，也稱卡諾圖為K圖。

在n變量的邏輯函數(shù)中，若每個(gè)乘積項(xiàng)都以這n個(gè)變量為因子，而且這n個(gè)變量都是以原變量或反變量的形式在各乘積項(xiàng)中僅出現(xiàn)一次，則稱這些乘積項(xiàng)為n變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。

二變量邏輯函數(shù)A、B。最小項(xiàng)有A'B'、AB'、A'B、AB

三變量邏輯函數(shù)A、B、C的最小項(xiàng)，有8個(gè)（即23個(gè)）最小項(xiàng)

四變量邏輯函數(shù)，則有24個(gè)最小項(xiàng)對(duì)于n變量來說，可有2n個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)ABC對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m71)最小項(xiàng)此時(shí)AB'、A都不是最小項(xiàng)m:min-term

輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值為1。如Y（A，B，C），當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，AB‘C=1；把AB’C的取值101看作一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為5，也將AB'C這個(gè)最小項(xiàng)記作m5。最小項(xiàng)的性質(zhì)列出三變量A、B、C的全部最小項(xiàng)在變量所有取值下的取值下表所示。觀察每行和每列可以發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)最小項(xiàng)，僅有一組變量取值使它的值為1，變量的其它取值都使該最小項(xiàng)值為0。而變量的任一組取值，也僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，其它最小項(xiàng)的值都為0。0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111

最小項(xiàng)ABCm7m6m5m4m3m2m1m0編號(hào)三變量全部最小項(xiàng)真值表

最小項(xiàng)，只在ABC=000時(shí)才為1；而對(duì)變量ABC=000，也只有該最小項(xiàng)的值為1，也即，變量取量與值為1的最小項(xiàng)唯一對(duì)應(yīng)。為了使用方便，將最小項(xiàng)值為1時(shí)的變量取值000看作一個(gè)二進(jìn)制數(shù)0，并將m0作為該最小項(xiàng)的編號(hào)。同理可得到其它最小項(xiàng)的編號(hào)。根據(jù)同樣的道理，4變量的16個(gè)最小項(xiàng)記作m0~m150000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111

最小項(xiàng)ABCm7m6m5m4m3m2m1m0編號(hào)變量取值和值為1的最小項(xiàng)，有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系。變量取值為1時(shí)對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)中的原變量，取值為0對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)中的反變量。如ABC為000時(shí)，值為1的最小項(xiàng)為A'B'C'，ABC取001時(shí)，值為1的最小項(xiàng)為A'B'C。對(duì)于4變量邏輯函數(shù)，ABCD取0000時(shí)，僅有最小項(xiàng)A'B'C'D的值為1，ABCD取1010時(shí)，對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)AB'CD'的值為1。對(duì)最小項(xiàng)A'BCD'，只有變量取值為0110時(shí)值為1。根據(jù)同樣的道理，4變量的16個(gè)最小項(xiàng)記作m0~m152)最小項(xiàng)的性質(zhì)：（1）僅有一組取值組合對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的值為1；（2）全體最小項(xiàng)之和恒為1；（3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為0；（4）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，且消去一對(duì)因子.兩個(gè)與項(xiàng)（包括最小項(xiàng)）只有一個(gè)變量不相同，稱邏輯相鄰。例：ABC和ABC’是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，相加時(shí)會(huì)消去變量C即ABC+ABC’=ABK圖就是利用最小項(xiàng)的這一性質(zhì)化簡邏輯函數(shù)的。標(biāo)準(zhǔn)與或式指最小項(xiàng)之和的表示形式。真值表求出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。ABC.AB’C=0(5)對(duì)于n變量的邏輯函數(shù)，每個(gè)最小項(xiàng)均有n個(gè)相鄰項(xiàng)3．最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)是構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元，任何一個(gè)邏輯函數(shù)均可表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱它為標(biāo)準(zhǔn)的與—或表達(dá)式（亦稱最小項(xiàng)表達(dá)式）。將一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式，通常有以下兩種方法。例將函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式。解：（1）配項(xiàng)法。利用公式進(jìn)行配項(xiàng)并展開，得到最小項(xiàng)表達(dá)式。（2）真值表法。列出函數(shù)的真值表，將真值表中函數(shù)值為1的變量取值轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)值為1的最小項(xiàng)，并將這些最小項(xiàng)相加，則得到函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。例：用真值表法求的最小項(xiàng)表達(dá)式解：列出函數(shù)F的真值表，在輸入變量A、B、C取值為以下三種情況時(shí)，函數(shù)F為1。A

B

C=100對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)AB'C'為1A

B

C=101對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)AB'C為1A

B

C=111對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)ABC為1ABC

F00000101001110010111011100001101

寫出函數(shù)也可得出右表的真值表，所以函數(shù)F的最小項(xiàng)表達(dá)式為以舉重裁判邏輯為例。Y=1對(duì)應(yīng)m5、m6、m7三個(gè)最小項(xiàng)，故有：Y=AB'C+ABC'+ABC簡寫成Y=m5+m6+m7或?qū)懗蓪⒎菢?biāo)準(zhǔn)形式化成標(biāo)準(zhǔn)形式規(guī)律：Y=AB+AC=AB(C+C')+AC(B+B')=ABC+ABC’+AB’C少1個(gè)變量，化成2個(gè)最小項(xiàng)之和；少2個(gè)變量，化成4個(gè)最小項(xiàng)之和；少n個(gè)變量，化成2n個(gè)最小項(xiàng)之和。ABCY000000100100011010001011110111113)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)與或式指最小項(xiàng)之和的表示形式。<=>1．卡諾圖

最小項(xiàng)相鄰項(xiàng)，也稱邏輯相鄰項(xiàng)：n變量邏輯函數(shù)，具有2n個(gè)最小項(xiàng)，如果兩個(gè)最小項(xiàng)之中只有一個(gè)變量互為反變量不同之外，其余變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)是邏輯相鄰項(xiàng)。三變量函數(shù)F（A，B，C）的最小項(xiàng)和除變量B互為反變量而不同，其它兩個(gè)變量A、C均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)是相鄰項(xiàng)。

兩個(gè)邏輯相鄰項(xiàng)可以合并，消去互為反變量的那個(gè)不同變量，合并項(xiàng)只保留兩項(xiàng)中相同的變量。

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡例：邏輯函數(shù)F如真值表描述，試寫出F的邏輯表達(dá)式，并將其化為最簡與或式。解：按照從真值表中寫邏輯函數(shù)的方法直接寫出ABCF00000101001110010111011101110001

F包含4個(gè)最小項(xiàng)。細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，最小項(xiàng)分別和其它三個(gè)最小項(xiàng)均邏輯相鄰。則

對(duì)于任意邏輯函數(shù)，寫出其最小項(xiàng)表達(dá)式，并在函數(shù)所含的最小項(xiàng)中尋找相鄰項(xiàng)，然后合并化簡。利用此方法可將任意邏輯函數(shù)化為最簡，但由真值表和函數(shù)式找尋邏輯相鄰項(xiàng)較困難。為了使最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系比較直觀，美國工程師卡諾設(shè)計(jì)了一種方格圖，圖中的每一個(gè)方格代表函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，并且將邏輯相鄰項(xiàng)安排在位置相鄰的方格中，這種方格圖通常就稱為卡諾圖。2．卡諾圖的畫法

兩變量卡諾圖如圖所示，左上角標(biāo)注變量A、B，左側(cè)標(biāo)注變量A的取值0和1，上側(cè)標(biāo)注變量B的取值0和１，中間表示兩變量函數(shù)的4個(gè)最小項(xiàng)，變量取值與值為1的最小項(xiàng)均對(duì)應(yīng)。二變量卡諾圖，m0與m2、m1邏輯相鄰。

每個(gè)最小項(xiàng)均有兩個(gè)最小項(xiàng)與其邏輯相鄰。二變量卡諾圖m3m2m1m0AB0101三變量卡諾圖三變量卡諾圖圖示，為保證圖中幾何位置相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也相鄰，變量的取值要采用圖中所示的方式排列，可確保相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)變量不同，并使任何一行或一列兩端最小項(xiàng)也相鄰。

卡諾圖從幾何位置看是上下、左右閉合的圖形。三變量函數(shù)的m0與m2、m1、m4相鄰。每個(gè)最小項(xiàng)均有三個(gè)最小項(xiàng)與其邏輯相鄰。相鄰的最小項(xiàng)也處在幾何位置相鄰的小方格，將卡諾圖左右閉合，最左一列和最右一列，最小項(xiàng)也相鄰。m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC四變量卡諾圖

圖中，m0與m1、m4、m2、m8均相鄰。

m5與m1、m4、m7、m13均相鄰。

每個(gè)最小項(xiàng)均有四個(gè)最小項(xiàng)與其邏輯相鄰。最小項(xiàng)幾何位置相鄰邏輯也相鄰。m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110

五變量卡諾圖除相鄰格中的最小項(xiàng)邏輯相鄰?fù)猓瑢⒋丝ㄖZ圖按虛線左右對(duì)折后，相重合方格中的最小項(xiàng)也是相鄰項(xiàng)。如m0，除和m1m4m8m2相鄰?fù)猓€和m16邏輯相鄰。五變量以上諾圖可按同樣的原則來畫，但因變量增多方格數(shù)成倍增加，卡諾圖變得很復(fù)雜。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1)表示最小項(xiàng)的卡諾圖幾何相鄰-邏輯相鄰

將n變量函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)分別用一個(gè)小方格表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列，所得到的圖形就是n變量的卡諾圖。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置添1；在其余的位置上添入0；任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中添入1的那些最小項(xiàng)之和。

*不能按照自然二進(jìn)制數(shù)從小到大排列，必須按照循環(huán)碼（格雷碼）的形式排列四變量卡諾圖1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8DAA’B’CD’A’BCD’ABCD’AB’CD’卡諾圖上每個(gè)變量取1和取0的方格數(shù)各占總格數(shù)的一半。所以卡諾圖還有另一種標(biāo)法：BC2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)顯然，只要在每個(gè)小方格里填上函數(shù)值（0或1）即可。具體操作還要分兩種情況：第一種，已知邏輯函數(shù)的真值表；第二種，已知邏輯函數(shù)的函數(shù)式；(1)已知真值表真值表和卡諾圖有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接填。如三人投票：我們已知道它的真值表中包含3，5，6，7號(hào)四個(gè)最小項(xiàng)，故1010110100ABC由于函數(shù)值只有0，1兩種取值，故可將0省略。00100111ABCY00000010010001111000101111011111<=>1010110100ABC

1

1111)當(dāng)已知最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，與1中情況相同。如:Y=m3+m5+m6+m72)當(dāng)已知一般與或式時(shí)，可將其化成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。如：Y=AB+AC+BC=AB(C+C’)+AC(B+B’)+BC(A+A’)=A’BC+AB’C+ABC’+ABC=A’BC+AB’C+ABC’+ABC也可直接將每個(gè)與項(xiàng)填進(jìn)卡諾圖：與項(xiàng)AB填入A、B都等于1的方格,即6號(hào)和7號(hào)最小項(xiàng)。少1個(gè)變量的與項(xiàng)，在卡諾圖上占2個(gè)相鄰的小方格。(2)已知函數(shù)式1010110100ABC

1

1111011010010110100ABCD我們?cè)谒淖兞靠ㄖZ圖上作進(jìn)一步研究。1111與項(xiàng)AB少兩個(gè)變量，用AB(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含4個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。1111與項(xiàng)A少3個(gè)變量，用A(B+B’)(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含8個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是8，9，10，11，12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。結(jié)論:與項(xiàng)少n個(gè)變量，在卡諾圖上占2n個(gè)的小方格，且組成矩形！3.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)——圖形法化簡1）合并最小項(xiàng)的規(guī)律1011010010110100ABCD11111111與項(xiàng)少n個(gè)變量，在卡諾圖上占2n個(gè)的小方格，且組成矩形。反過來用：卡諾圖上合并組成矩形的2n或N個(gè)小方格，得到的與項(xiàng)少n個(gè)變量。紅框合并2個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)ABC,相對(duì)于最小項(xiàng)少1(n)個(gè)變量籃（綠）框合并4個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)AB’（AC’）少2(n)個(gè)變量。紫框合并8個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)A少3(n)個(gè)變量。幾何相鄰和邏輯相鄰一致！1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8最小項(xiàng)相鄰的幾種情況1011010010110100ABCD111111圖中黑框?qū)?yīng)與項(xiàng)A’B’D’。圖中籃框?qū)?yīng)與項(xiàng)AD’。圖中紅框?qū)?yīng)與項(xiàng)B’D’。11圖中紫框?qū)?yīng)與項(xiàng)D’。(1)在包含所有最小項(xiàng)的前提下，“圈”越少越好化簡的原則是：(2)在每個(gè)圈中包含的最小項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2n個(gè)的前提下，圈越大越好(3)每個(gè)圈至少要包含一個(gè)只被自己包含的最小項(xiàng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)合并最小項(xiàng)的規(guī)則：若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一個(gè)因子；若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去兩個(gè)因子；若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去三個(gè)因子；個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排成一個(gè)矩形組，如果由則它們可以合并為一項(xiàng)，并消去n個(gè)因子。011010110001111001ABC0100111010110100ABCD0001111000011110Y合并兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)111111110001111001ABC1101111111111101ABCD0001111000011110Y合并四個(gè)相臨最小項(xiàng)1001111111111001ABCD0001111000011110YB合并八個(gè)相臨最小項(xiàng)2)卡諾圖化簡的步驟(1)將邏輯函數(shù)化成與或式，然后畫出其卡諾圖；(2)按最簡原則畫出必要的圈；(3)求出每個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)，然后相加。1011010010110100ABCD舉例說明：Y=(A+B)CD’+((A+B)(A’+B’+C+D))’=ACD’+BCD’+A’B’+ABC’D’11111111最簡與或式為：Y=CD’+A’B’+ABD’1可重復(fù)使用要圈兩個(gè)11010110100ABC111111圈黑圈，得：Y=AB’+BC’+A’C圈藍(lán)圈，得：Y=A’B+B’C+AC’(2)Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m151011010010110100ABCD11111111顯然，紫圈是多余的，所以，畫完圈后注意檢查。

當(dāng)最簡式不唯一時(shí)，畫圈的方案也不唯一.(1)Y=AB’+A’B+BC’+B’C(3)Y=AD’+BC’D+ABC+