第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省宿遷市泗陽縣高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知a=(2,?3,1)，b=(?2,1,x)，若a⊥b，則xA.7 B.?8 C.6 D.?52.(2x3?12x2)A.7 B.8 C.9 D.103.3張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1和2、3和4、5和6.將這3張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A.120 B.48 C.8 D.64.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1，P為BA.1510 B.3516 5.在四棱錐P?ABCD中，AB=(2,3,?1)，AC=(?2,0,1)，AP=(3,?1,?2)，則該四棱錐的高為A.253 B.23 C.6.6名同學排成一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有(

)A.240種 B.360種 C.480種 D.540種7.若(2+x)10=a0A.30 B.45 C.60 D.908.將6封不同的信放入編號為1，2，3，4的4個郵筒，則恰有2個空郵筒的不同的放法共有(

)A.372種 B.380種 C.492種 D.496種二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.數(shù)學競賽小組有高一學生2人，高二學生4人，高三學生6人，則(

)A.若每個年級各選1名學生外出培訓，則共有12種不同的選法

B.若選派2名學生外出培訓，這2人來自不同年級，則共有44種不同的選法

C.若選派3名學生外出培訓，恰好有1人來自高二年級，則有116種不同的選法

D.若選派3名學生外出培訓，高三年級的甲乙兩位同學不能同時參加，則共有210種不同的選法10.若(x?ax2)6A.展開式中第4項的二項式系數(shù)最大 B.實數(shù)a的值為4

C.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為64 D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項11.正方體ABCD?A1B1C1D1中，點PA.若x=0，y+z=1，則C1P//平面AB1C

B.若x+y+z=1，則三棱錐P?B1CD1的體積為定值13

C.若2x=y=z，則點P到直線D1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,0,2)，b=(?5,2,3)，則向量b在向量a上的投影向量是______．13.(1+2x)5(1?3x)的展開式中含14.在華為的三進制數(shù)據(jù)處理研究中，設計了一種獨特的三進制編碼規(guī)則.將一個長度為8位的三進制數(shù)按位權(quán)展開并轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，例如三進制數(shù)a7a6a5a4a3a2a1a0，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)N=a3×37+a4×36+a5×35+a4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=AD=AA′=1，∠DAB=90°，∠A′AB=∠A′AD=60°，點O為BC′的中點，AO=xAB+yAD+zAA′．

(1)求x+y+z的值；

(2)16.(本小題15分)

有6名同學報名參加數(shù)學、物理、化學三科興趣小組，每人選擇一個小組.(數(shù)字作答)

(1)求一共有多少種不同的報名方法；

(2)若三科均要有人報名，求一共有多少種不同的報名方法；

(3)若甲乙兩人都不報化學學科，且每個學科都要有人報名，求一共有多少種不同的報名方法．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，E為AD的中點，BD⊥PB，PA⊥AB，BE//CD，CD⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．

(1)求平面PED與平面PBC所成角的正弦值；

(2)在線段PE上是否存在點M，使得DM//平面PBC？若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．18.(本小題17分)

設(1?2x)10=a0+a1x+a2x2+a3x319.(本小題17分)

在空間直角坐標系O?xyz中，定義：過點A(x0,y0,z0)，且方向向量為m=(a,b,c)的直線方向式方程為x?x0a=y?y0b=z?z0c(abc≠0)；過點A(x0,y0,z0)，且法向量為n=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面法向式方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0答案解析1.【答案】A

【解析】解：因為a⊥b，

則?4?3+x=0，x=7．

故選：A．

根據(jù)空間向量垂直的坐標運算即可求參．2.【答案】D

【解析】解：Tr+1=Cnr(2x3)n?r(?12x2)r=2n?r(?123.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，這3張卡片排成一排，每一張卡片數(shù)字有兩種情況，則不同的數(shù)字組合有23=8種，

再將三個數(shù)字進行排列則有A33=6種，

則可構(gòu)成不同的三位數(shù)的個數(shù)為8×6=48種．

故選：B4.【答案】A

【解析】解：過點A作平面ACC1A1的垂線為x軸，以AC，AA1所在直線分別為y軸和z軸，作空間直角坐標系，如下圖所示：

則平面ACC1A1的一個法向量為n=(1,0,0)，

在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設AB=AA1=2，則B(3,1,0)，P(32,32,2)，

所以BP=(?32,12,2)，

直線BP與平面ACC1A1所成的角為θ．

則sinθ=|cos<n，5.【答案】D

【解析】解：設平面ABCD的一個法向量為n=(x,y,z)，

所以AB?n=0AC?n=0，即2x+3y?z=0?2x+z=0，

令z=2，可得x=1，y=0；

所以n=(1,0,2)，

則點P到平面ABCD的距離為|AP6.【答案】A

【解析】解：利用捆綁法，將甲和乙兩人看成一個整體，再和其他四名同學全排列，

所以甲，乙兩人相鄰的排法共有55A22A=2×120=240種方法．

故選：A7.【答案】B

【解析】解：二項展開式的通項為Tr+1=C10r?110?r?(1+x)r=C10r8.【答案】A

【解析】解：已知將6封不同的信放入編號為1，2，3，4的4個郵筒，

首先從4個郵筒中選出2個郵筒，有C42種選法，

再將6封不同的信件分成(1,5)，(2,4)，(3,3)兩組，有C61+C62+C63A22種分法；

最后將兩組分配到兩個郵筒，有A22種分法．

按照分步乘法計數(shù)原理可知恰有2個空郵筒的不同的放法共有C42(C9.【答案】BD

【解析】解：已知數(shù)學競賽小組有高一學生2人，高二學生4人，高三學生6人，

選項A：每個年級各選1名學生外出培訓，則共有2×4×6=48種不同的選法，A選項錯誤；

選項B：若選派2名學生外出培訓，這2人來自不同年級，則共有C21C41+C21C61+C41C61=8+12+24=44種不同的選法，故B正確；

選項C：若選派3名學生外出培訓，恰好有1人來自高二年級，則有C410.【答案】ABD

【解析】解：A選項，因為(x?ax2)6展開式共7項，第4項的二項式系數(shù)最大，故A正確；

B選項，Tr+1=C6r(x)6?r(x?2)r(?a)r=(?1)rC6r(a)rx6?3r，

令6?3r=0，解得r=2，此時(?111.【答案】ACD

【解析】解：對于A，由x=0可得AP=yAD+zAA1，且y+z=1可知P，D，A1三點共線；

可知點P在線段A1D上，連接A1C1，C1D，如圖所示：

由正方體性質(zhì)可知A1C1/?/AC，又A1C1?平面AB1C，AC?平面AB1C，

所以A1C1/?/平面AB1C；

同理可得A1D//平面AB1C，

又A1C1∩A1D=A1，且A1C1，A1D?平面A1C1D，

因此可得平面A1C1D/?/平面AB1C，又因為C1P?平面A1C1D，

所以C1P/?/平面AB1C，即A正確；

對于B，若x+y+z=1，可知P，B，D，A1四點共面，即點P在平面BDA1內(nèi)，

由A選項中的分析可知，平面BDA1/?/平面B1CD1，如下圖所示：

此時點P到平面B1CD1的距離為正方體對角線的三分之一，即33；

又三角形B1CD1是邊長為2的正三角形，其面積為S=34×(2)2=32，

則三棱錐P?B1CD1的體積為定值V=13S×33=13×32×33=16，即B錯誤；

對于C，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，

所以AB=(0,1,0)，AD=(?1,0,0)，AA1=(0,0,1)，DD1=(0,0,1)；

因為點P滿足AP=xAB+yAD+zAA1(x,y,z∈[0,1])，

又12.【答案】(1【解析】解：由已知條件可得a?b=?5+0+6=1，

易知向量b在向量a上的投影向量為a?b|a|a13.【答案】10

【解析】解：Tr+1=C5r?15?r?(2x)r=2rC5rxr，

令r=2，T3=2214.【答案】39

140

【解析】解：根據(jù)題意三進制數(shù)a7a6a5a4a3a2a1a0，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)N=a3×37+a4×36+a5×35+a4×34+a3×33+a2×32+a1×31+a0×30，

其中ai∈{?1,0,1}，i=0，1，2，…7，

易知00001110對應的十進制數(shù)為1×33+1×32+1×31+0×3015.【答案】2.

56．【解析】(1)在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=AD=AA′=1，

∠DAB=90°，∠A′AB=∠A′AD=60°，點O為BC′的中點，

AO=xAB+yAD+zAA′，

∴由空間向量運算法則得：

BO=12BC′=12(BB′+BC)=12(AA′+AD)=12AD+12AA′，

∴AO=AB+BO=AB+12AD+12AA′，

∴由AO=xAB+yAD+zAA′，得：x=1，y=z=12，

∴x+y+z=1+12+12=2．

(2)∵16.【答案】729；

540；

230．

【解析】已知有6名同學報名參加數(shù)學、物理、化學三科興趣小組，每人選擇一個小組，

(1)因為每個人都有三種選擇，所以一共有36=729種；

(2)因為三科均要有人報名，可分為以下三種情況：

①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：C64C21C11A22A33=90種，

②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：C61C52C33A33=360種，

③三科均2人，共有：C62C42C22A33A33=90種，

所以一共有：90+360+90=540種．

(3)因為甲乙兩人都不報化學學科，

所以按照另外4個人報化學學科的人數(shù)可分為以下4種情況：

17.【答案】357．

存在，點M為線段PE【解析】(1)因為BE/?/CD，CD⊥AD，

所以BE⊥AD，

又因為E為AD的中點，AE=BE=2，

所以△AEB與△BED均為等腰直角三角形，

所以AB⊥BD，

又因為BD⊥PB，PB?面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB=B，

所以BD⊥平面PAB，

又因為PA?平面PAB，

所以PA⊥BD，

又PA⊥AB，AB?面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD，

在平面ABCD內(nèi)，過點A作AF⊥AD，以{AF,AD,AP}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz：

則P(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,4,0)，E(0,2,0)，D(0,4,0)

所以PB=(2,2,?2)，PC=(1,4,?2)，

設平面PBC的一個法向量為n=(x0,y0,z0)，

則n?PB=0n?PC=0，即2x0+2y0?2z0=0x0+4y0?2z0=0，

令y0=1，則x0=2，z0=3，

平面PBC的一個法向量為n=(2,1,3)，

又因為平面PED的一個法向量為m=(1,0,0)，

所以cos?m,n?=m?n|m||n|=18.【答案】a2=180；

1023；

0【解析】(1)由題意知，Tr+1=C10r?110?r?(?2x)r=(?2)rC10rxr，

所以T3=C102(?2x)2=180x2，即a2=180．

(2)令x=0，則a0=1，

令x=?12，則有210=a19.【答案】437；

5【解析】(