專題15方程與等式的性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)01方程的有關(guān)概念

定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

【說明】判斷一個式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一是等式；二是含有未知數(shù)．

知識點(diǎn)02一元一次方程的概念

定義：只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.

【說明】“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程滿足條件：

①首先是一個方程；②其次是必須只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的指數(shù)是1；④分母中不含有未知數(shù)．

知識點(diǎn)03方程的解、解方程

1.方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.

2.解方程：求方程的解的過程.

知識點(diǎn)04等式的性質(zhì)

性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．

【題型1判斷各式是否是方程】

例題：（24-25七年級下·福建泉州·期中）下列等式中，是方程的是（）

1

A．2x3B．358C．x22x10D．x3

2

【變式訓(xùn)練】

1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）下面的式子不是方程的是（）

1

A．30327B．5y212C．3y26

2．（24-25七年級上·河北邯鄲·期末）在①253；②17x=-8y3；③x6；④3x2x9；⑤2x＞7

中，方程共有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）下列各式：①527；②x0；③2a3b；④4xy；⑤xyz0；

2x

⑥x1；⑦13x，其中是方程的有（）

x5

A．2個B．3個C．4個D．5個

【題型2列方程】

例題：（24-25七年級上·湖北孝感·期末）列方程表示“m的3倍與5的和等于8”為．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·江西贛州·期末）已知某數(shù)的3倍與4的差等于6，設(shè)某數(shù)為x，可列出方程：．

2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）由“比a的3倍大5的數(shù)等于a的4倍”可列一元一次方

程．

3．（24-25七年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）一個長方形花壇，長比寬多3m，面積為300m2，該花壇長為多少？

若設(shè)花壇的長為xm，則可列方程為．

【題型3判斷是否是一元一次方程】

例題：（24-25七年級下·四川巴中·期中）下列各式中是一元一次方程的是（）

xx4x

A．4x215B．6C．4D．2

55x4

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級下·福建泉州·期中）下列四個方程中，是一元一次方程的是（）

2

A．2xy1B．x23x10C．x17D．1

x

2．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）下列各式：①4x2；②xy1：③336；④x2x；⑤x12x3

中，是一元一次方程有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．（24-25七年級下·甘肅天水·期中）已知下列方程：

1x

①x2②0.2x1③x3④x243x⑤x0⑥xy6．其中一元一次方程有()

x3

A．1個B．2個C．3個D．5個

【題型4根據(jù)一元一次方程求參數(shù)的值】

例題：（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）若2x1a5是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為．

2

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知m1xm10是關(guān)于x的一元一次方程，那么m．

2．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）若m3xm260是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為．

3．（24-25八年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）若方程m2x2m2x60是關(guān)于x的一元一次方程，

求m．

【題型5判斷是否是一元一次方程的解】

例題：（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）x3是方程（）的解．

A．2x915B．3x6C．3x218

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·河南安陽·期末）下列方程中，解是x2的方程是（）

x

A．2x5x14B．10C．3x11D．2x51

2

2．（24-25七年級上·遼寧營口·期末）下列方程的解是x4的方程為（）

A．2x8B．1.2x10.8x3

C．3x4x1D．x24x40

111

3．（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）已知方程：（1）3x27x2；（2）x；（3）(x1)(x2)0．則

236

x1所滿足的方程是（）

A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）

【題型6已知一元一次方程的解求參數(shù)的值】

例題：（24-25七年級下·福建漳州·期中）已知x2是方程xk1的解，則k的值是．

【變式訓(xùn)練】

1

1．（24-25六年級上·上海閔行·階段練習(xí)）如果x2是方程xa4的解，那么a的值是．

2

2．（24-25七年級下·福建泉州·階段練習(xí)）若x2是關(guān)于x的方程3xax的解，則a．

3．（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期末）已知x5是關(guān)于x的方程ax812的解，則a的值為．

【題型7已知一元一次方程的解求代數(shù)式的值】

例題：（24-25七年級下·山西呂梁·期中）若x2是關(guān)于x的一元一次方程axb40的解，則54a2b

的值是．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級下·重慶萬州·期中）已知x2是關(guān)于x的方程2axb0的解，則62ab．

3

1

2．（24-25七年級上·陜西延安·期末）關(guān)于x的一元一次方程3xk20的解是x4，則k5的值

2

為．

3．（24-25七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）若關(guān)于x的一元一次方程2xab0的解為1，則代數(shù)式2025ab

的值為．

【題型8等式的基本性質(zhì)】

例題：（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（）

ab

A．若acbc，則abB．若，則ab

cc

1

C．若2ab4，則b42aD．若x6，則x2

3

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）已知等式ab，下列變形不正確的是（）

ab

A．3a23b2B．3a3bC．D．a(chǎn)1b1

55

2.（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列等式變形正確的是（）

A．如果x3y3，那么xy0B．如果mxmy，那么xy

1s1

C．如果sab，那么bD．如果x6，那么x3

22a2

3.（23-24七年級上·天津·期中）下列說法錯誤的是（）

A．若2x2y，則xyB．若x25x，則x5

ab

C．若ab，則a6b6D．若，則ab

c21c21

【題型9利用等式的基本性質(zhì)解方程】

例題：（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期末）解方程：

15

(1)5x；

19

21

(2)x12．

34

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）解下列方程：

1

(1)x6；

2

(2)5x15；

4

2

(3)x8．

3

2．（24-25七年級上·黑龍江·期中）解方程：

(1)4x7.513；

(2)x0.6x5；

5

(3)x3.3；

6

(4)x40%x42．

3．（2024七年級上·山東·專題練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(1)45x2x5；

n

(2)210；

3

(3)2x5x6；

(4)3x6312x．

一、單選題

1．（24-25七年級下·四川巴中·期中）下列方程的解是x2的是（）

212

A．4x80B．x2C．13x5D．x0

333

2．（24-25七年級下·福建漳州·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（）

5

x11

A．0B．x2y0C．x2D．x22x1

22x

3．（24-25七年級下·四川巴中·期中）若方程3x80的解是x4，則β的值為（）

A．3B．4C．0D．4

4．（24-25七年級下·河南周口·期中）下列式子中，是方程的是（）

①2x13；②235；③5x8；④2x2x10；⑤2xy3；⑥2x23x5．

A．①②③B．①②④C．①③⑤D．①④⑤

5．（24-25八年級下·浙江溫州·階段練習(xí)）若a是方程x2x10的根，則3a23a2025的值為（）

A．2024B．2026C．2028D．2030

x

6．（24-25七年級上·江蘇泰州·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程2024m的解為x3，則關(guān)于y

2025

y1

的一元一次方程2024m的解為（）

2025

A．y2B．y3C．y2024D．y2025

二、填空題

7．（24-25七年級上·廣東廣州·期末）列等式表示“x的5倍與2的和等于x的3倍與4的差“為．

8．（24-25七年級下·四川巴中·期中）如果3x2a160是一元一次方程，那么a，則2a5．

9．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列各式：①78y；②3t24t4；③4610；④2y1y2；

41

⑤3x14；⑥2z3；⑦，其中是方程，是一元一次方程．

82

10．（24-25七年級下·四川宜賓·期末）如果關(guān)于x的方程(a5)x|a|420250是一元一次方程，則

a．

11．（24-25七年級下·福建泉州·期中）若x3是關(guān)于x的方程3axbx6的解，則406a2b的值

是．

ax13x

12．（24-25七年級下·重慶·期中）若關(guān)于x的方程2的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的

32

和為．

三、解答題

13．（24-25七年級上·河南商丘·階段練習(xí)）判斷下列方程后面所給出的數(shù)，哪些是方程的解．

(1)2xx14x1，（1，2）；

1

(2)3x24x10，（1，）．

3

14．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）下面是小明利用等式的性質(zhì)解方程的過程．

解方程：x43x4．

解：x443x44，①

6

x3x，②

13．③

閱讀小明的解題過程并回答下列問題：

(1)①的依據(jù)是；

(2)小明出錯的步驟是，錯誤的原因是；

(3)給出正確的解題過程．

∣∣

15．（23-24七年級上·全國·單元測試）已知關(guān)于x的方程m2xm113m是一元一次方程，求m的值．

16．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）利用等式的基本性質(zhì)解方程：

5

(1)2x3x；

3

(2)563x322x；

(3)3x4x；

2

(4)m71；

3

(5)3y76y8；

(6)7.9x1.582x7.9x8.42．

17．（23-24七年級上·湖南懷化·期末）已知關(guān)于x的方程m3xm212n0是一元一次方程．

(1)求m的值；

(2)已知：x2是該一元一次方程的解，求n的值．

18．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）已知關(guān)于x、y的代數(shù)式：A=ax2-3xy9x，B=-2x2-bxy4，且代

數(shù)式M=2A-3B．

(1)若a=-3，b=1時，化簡代數(shù)式M；

(2)若代數(shù)式M是關(guān)于x、y的一次多項(xiàng)式，求ab的值；

(3