PAGE1專題21線段的比較與運(yùn)算內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01尺規(guī)作圖僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.【說明】（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度．（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．知識(shí)點(diǎn)02線段大小比較1.比較線段大小的方法：（1）目測(cè)法；（2）度量法；（3）疊合法2.疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：

【說明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．知識(shí)點(diǎn)03線段的性質(zhì)兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.簡單地：兩點(diǎn)之間線段最短.我們把兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.知識(shí)點(diǎn)04線段的和與差如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB-BC；BC=AB-AC，在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=AB表示AC長度與BC長度之和等于AB長度.知識(shí)點(diǎn)05線段的中點(diǎn)線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．【說明】若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．【題型1作線段（尺規(guī)作圖）】例題：（24-25七年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┤鐖D，已知線段a，b，利用尺規(guī)作圖法求作線段，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，先作射線，再以點(diǎn)A為圓心，線段b的長為半徑畫弧交射線于C，接著以點(diǎn)C為圓心，線段b的長為半徑畫弧交射線于D．最后以D為圓心，線段a的長為半徑畫弧交線段于B，則線段即為所求．【詳解】解：如圖所示，線段即為所求；【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，已知線段、．請(qǐng)你用尺規(guī)作圖，求作線段，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見詳解【知識(shí)點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題主要考查了尺規(guī)作一條線段等于已知線段，先作射線，然后以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，最后以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】解：如圖，線段即為所求作的線段．2．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖，是線段上的一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：作射線，在射線上截?。ūＡ糇鲌D痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】畫出直線、射線、線段、線段的和與差、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查的是作一條線段等于已知線段，畫射線，線段的和差運(yùn)算；（1）作射線，在上截取即可；（2）先求解，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：作圖：作射線，在上截取，如圖所示，D即為所求（或線段為所求作）．（2）解：3．（24-25七年級(jí)上·浙江·期末）如圖，已知平面上有三點(diǎn)A，B，C，按要求依次畫圖，并保留作圖痕跡．(1)畫直線，線段，射線．(2)在線段上找一點(diǎn)D，使得．(3)取中點(diǎn)E，連接，在線段上畫出點(diǎn)P，使得最小，并寫出理論依據(jù)．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析，兩點(diǎn)之間線段最短【知識(shí)點(diǎn)】畫出直線、射線、線段、作線段(尺規(guī)作圖)、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查畫直線，射線，線段，線段的中點(diǎn)，線段的性質(zhì)：（1）根據(jù)要求畫圖即可；（2）在上截取即可；（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義，得到點(diǎn)，連接，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到兩條線段的交點(diǎn)即為點(diǎn)．【詳解】（1）解：如圖，直線，線段，射線即為所求；（2）如圖，點(diǎn)即為所求；（3）如圖，線段，點(diǎn)即為所求；理論依據(jù)為：兩點(diǎn)之間線段最短．【題型2兩點(diǎn)之間線段最短】例題：（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路時(shí)，有時(shí)需將彎曲的道路改直，其依據(jù)是．【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，正確將數(shù)學(xué)定理應(yīng)用于實(shí)際生活是解題關(guān)鍵．此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意將彎曲的道路改直以縮短路程，就用到兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)．【詳解】解：在修建公路時(shí)，有時(shí)需將彎曲的道路改直，依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在一個(gè)廣場上的點(diǎn)和點(diǎn)兩處，分別有一只小狗和一塊骨頭，小狗想走最短路程吃到骨頭，我們知道最短路線是②，其數(shù)學(xué)理由是．【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查了公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，熟知公理是解題關(guān)鍵．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短即可求解．【詳解】解：最短路線是②，其數(shù)學(xué)理由是兩點(diǎn)之間，線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．2．（2025·吉林四平·一模）如圖，杭州灣跨海大橋是跨越杭州灣的便捷通道，大橋建成后寧波至上海的陸路距離縮短了約．其中的數(shù)學(xué)道理是．【答案】兩點(diǎn)之間線段最短【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，熟記線段的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：大橋建成后寧波至上海的陸路距離縮短了約，其中的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．3．（24-25七年級(jí)上·山西晉中·期末）如圖，從晉中市民之家去往晉中市生態(tài)環(huán)境局，與其它道路相比，走遼陽路路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，由線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到答案．【詳解】解：其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間，線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．【題型3線段的和與差】例題：（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在的延長線上，且．(1)請(qǐng)用圓規(guī)在圖中確定D點(diǎn)的位置；(2)若，求的長．【答案】(1)圖見解析(2)18【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作線段，線段的和與差，找準(zhǔn)線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵：（1）以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)即可；（2）根據(jù)比例關(guān)系求出的長，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；（2）∵，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·山東德州·期末）如圖，點(diǎn)是線段延長線上的一點(diǎn)，且、將線段分成三部分，其中；(1)若，求的長．(2)若，求的長．【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了線段和差，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）設(shè)為，則為，為，由，求出，則，然后由即可求解；（）設(shè)為，則為，為，先求出，則，同（）理求出，則，最后由線段和差即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)為，則為，為，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)為，則為，為，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即長為．2．（24-25七年級(jí)上·江西南昌·期末）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上．(1)用尺規(guī)作圖在的延長線上畫出線段，使；（保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)、線段的和與差【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，兩點(diǎn)間距離，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）由題意，根據(jù)，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．3．（24-25七年級(jí)上·湖南衡陽·期末）如圖，C為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，．

(1)求的長．(2)若點(diǎn)在直線上，且，求的長．【答案】(1)4cm(2)8cm或20cm【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、兩點(diǎn)間的距離【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系計(jì)算即可得到答案；（2）本小問要注意分類討論，再根據(jù)線段的和差計(jì)算結(jié)果即可；【詳解】（1）解：∵∴

∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴．（2）解：由（1）可知分一下兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上時(shí)，．綜上所述：的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，理解線段和線段之間的和差倍分的關(guān)系．【題型4線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】例題：（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，點(diǎn)B是線段上一點(diǎn)，且，．點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)．(1)圖中共有______條線段；(2)求線段的長．【答案】(1)6(2)6【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段定義，兩點(diǎn)間的距離，掌握線段定義，兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段定義解答即可；（2）根據(jù)已知，由，根據(jù)點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，即可求出的長，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】（1）解：觀察圖形可知，線段有：，共6條．故答案為：6；（2）解：∵，∴，∵點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·河南信陽·期末）已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，(1)如圖1，若，，為線段的中點(diǎn)，求線段的長度；(2)如圖2，若，，為線段的中點(diǎn)，，求線段的長度．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題綜合考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握直線上兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算方法．（1）根據(jù)題意得出，再根據(jù)線段的中點(diǎn)可得出，最后根據(jù)線段的和差即可得出．（2）設(shè)，根據(jù)題意可得出，，進(jìn)一步得出，再根據(jù)線段的中點(diǎn)可得出，再根據(jù)得出x的值，進(jìn)一步即可得出．【詳解】（1）解：解：如圖1所示：，，又為線段的中點(diǎn)（2）解：如圖2所示：設(shè)，，，又，，又，，為線段的中點(diǎn)又，又，解得：，．2．（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）如圖點(diǎn)B，D在線段上．(1)填空：①圖中有條線段．②．(2)若D線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，且，求線段的長．【答案】(1)①6，②；(2)【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、兩點(diǎn)確定一條直線【分析】本題考查了線段的條數(shù)問題，與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算．（1）①根據(jù)兩點(diǎn)確定一條線段進(jìn)行求解即可；②根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可；（2）先由線段中點(diǎn)的定義得到，則，據(jù)此可得．【詳解】（1）解：①圖中的線段有共6條線段，故答案為：6；②由題意得，，故答案為：；；（2）D線段的中點(diǎn)，，，，，．3．（24-25七年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，是線段上的一點(diǎn)，．(1)若，求的長．(2)若，分別為線段，的中點(diǎn)，求的長．(3)在（1）的條件下，是直線上的一點(diǎn)，且滿足，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查了線段的和差關(guān)系，熟練掌握線段和差的計(jì)算方法和分類討論解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可推出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可推出結(jié)果；（3）分當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，兩種情況分別求解．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，分別為線段，的中點(diǎn)，如圖，，，；（3）解：分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，，，，．綜上所述，的值為或．【題型5線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】例題：（24-25七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知線段，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．(1)若，，求的長；(2)在（1）的條件下，若且點(diǎn)在直線上，，求的長度．【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段的n等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，理解線段n等分點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）由，可得，，然后根據(jù)求解即可；（2）先求出線段的長，然后分點(diǎn)G在線段上和點(diǎn)G在線段的延長線上兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴．∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，．綜上可知，的長度為或．【變式訓(xùn)練】1.（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知線段，延長至點(diǎn)C，使，點(diǎn)D、E均為線段延長線上兩點(diǎn)，且，M、N分別是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的長為．【答案】40或80【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．分時(shí)和時(shí)兩種情況，畫出對(duì)應(yīng)的圖形分別討論求解即可．【詳解】解：∵，，N是線段的中點(diǎn)，∴，，①若，如圖1所示：∵，∴，∵，∴∴，∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，∴，，∴；②若，如圖：∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，∴，，∴；故答案為：40或80．2.（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知．(1)求的長；(2)若點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求的長．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的和差，求得的長，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可求出的長；（2）先求得的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以；（2）解：因?yàn)椋c(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，所以，則．所以．3．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時(shí)對(duì)下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖，點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長．(1)根據(jù)題意，小明求得______；(2)小明在求解的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)，是線段上任意一點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，小明提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助小明解答．如圖，，分別是，的中點(diǎn)，則______；如圖，，分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長；若，分別是，的等分點(diǎn)，即，，則______．【答案】(1)；(2)；；．【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．首先根據(jù)、分別是、的中點(diǎn)，可得、，從而可得；由，分別是，的中點(diǎn)，可得，根據(jù)可得；根據(jù)、，可知、，所以可得，故從而可得:；由，，知，，即得，從而可得：【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；故答案為：；（2）因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，，，，，；故答案為：；，，，，，，；，，，，，，，故答案為：．【題型6與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】例題：（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，分別以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，若，的長為______；(2)當(dāng)時(shí)，若，試說明點(diǎn)為的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻，總有，請(qǐng)求出的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差【分析】本題考查了線段上的動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意得出，，推得，根據(jù)，，即可求出的長，即可求解；（2）由（1）可得，根據(jù)，，求出，，即可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)；（3）由（1）可得，即，根據(jù)題意可得，推得，即可求出的長．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，分別以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），設(shè)且運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，故，即，當(dāng)時(shí)，，即，若，則，可得出，則．故答案為：．（2）解：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，即，若，則，可得出，則，即，故點(diǎn)為的中點(diǎn)．（3）解：由（1）可得，即，若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻，總有，即，整理得，∴，故的長為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）已知點(diǎn)C在線段上，，線段在直線上移動(dòng)（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)A，B重合）．(1)若，求和的長；(2)若，，線段在線段上移動(dòng)，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．①如圖，當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，求的長；②點(diǎn)F（不與點(diǎn)A，B，C重合）在線段上，，，求的長．【答案】(1)，(2)①6.5；②或．【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)以及倍數(shù)相關(guān)的計(jì)算．掌握線段和差的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）觀察圖形可知，，由已知，可得出，即可求出的長，進(jìn)而得出的長；（2）①根據(jù)題意，畫出圖形，同（1）方法求出，，，根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，可得出，由，再根據(jù)計(jì)算即可得出結(jié)果；②根據(jù)題意，分兩種情況，畫出圖形，（i）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，利用線段的和差倍分計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖所示，已知點(diǎn)C在上，．∵，，，∴，即，∴，∴；（2）解：①如圖所示．∵，，∴，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；②分兩種情況：（i）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（ii）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，∵，，∴，∵，∴，∴，綜上所述，的長為或．2．（24-25七年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）．

圖1

圖2(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值；(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，直接填空：_______；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或1【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問題，（1）根據(jù)題意算出，，再由，即可解題．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，根據(jù)，，結(jié)合，即可解題．（3）根據(jù)N是直線上一點(diǎn)，且，可分為以下兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時(shí)，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，即可解題．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，，，．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，，，又，，即，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖，又，，，即．當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時(shí)，如圖：，又，，即．綜上所述的值為或．3．（24-25七年級(jí)上·湖北孝感·期末）如圖線段，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以2個(gè)單位長度／秒的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，為中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①出發(fā)多少秒后，？②試說明為定值；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①長度不變；②的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值；【答案】(1)①出發(fā)6秒后，；②見解析(2)①長度不變，；【知識(shí)點(diǎn)】整式加減的應(yīng)用、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，表示出各線段的長度是解題的關(guān)鍵．（1）①出發(fā)秒后，則，，，建立方程，求出的值即可．②設(shè)，則，，表示出后，化簡即可得出結(jié)論．（2）設(shè)，則，，，分別表示出，的長度，即可作出判斷．【詳解】（1）解：①設(shè)出發(fā)秒后，則，，為中點(diǎn)，，，解得：，出發(fā)6秒后，；②設(shè)，則，，為定值．（2）解：①長度不變，；理由：如圖設(shè)，為中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，①，長度不變；②，長度變化；①長度不變，．一、單選題1．（2025·河南駐馬店·二模）如圖，修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．平行于同一條直線的兩條直線平行【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，由此可解．【詳解】解：修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短，故選B．2．（24-25七年級(jí)下·山東威?！て谥校┢矫嫔嫌腥齻€(gè)點(diǎn)A，B，C，如果，則（

）A．點(diǎn)C在線段上 B．點(diǎn)C在線段的延長線上C．點(diǎn)C在線段的延長線上 D．不能確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】畫出直線、射線、線段、線段的和與差【分析】本題考查了直線、射線、線段，根據(jù)A，B，C之間的距離畫出圖形，即可確定位置關(guān)系．【詳解】解：，，，，如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，故選：C．3．（24-25九年級(jí)下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查的是線段的和差，線段的中點(diǎn)的含義，根據(jù)線段的和差關(guān)系可判斷A，D，根據(jù)線段的中點(diǎn)的含義可判定B，C.【詳解】解：由題意可得：，，∴A不符合題意，D符合題意；∵不一定是的中點(diǎn)，∴，不一定正確，故B，C不符合題意；故選：D4．（24-25七年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，若，則的長為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系、線段的和與差【分析】本題主要考查了線段和與差計(jì)算、有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算等知識(shí)，理解題意，弄清各線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．由點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)求出，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)求出，進(jìn)而可求出的長．【詳解】解：∵點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴．故選A．5．（2025·河北唐山·二模）如圖，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，四點(diǎn)之中相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，光點(diǎn)P沿著直線從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)光點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)中至少兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，光點(diǎn)P就會(huì)發(fā)出紅光，則光點(diǎn)P發(fā)出紅光的次數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，利用總體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出紅光，∵圖中共有線段、、、、、，∵四點(diǎn)之中相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等∵和中點(diǎn)是同一個(gè)，∴光點(diǎn)P發(fā)出紅光的次數(shù)為5．故選：C．6．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離為12，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)與的中點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的跳動(dòng)規(guī)律以及中點(diǎn)距離的計(jì)算，通過觀察每次跳動(dòng)后點(diǎn)與原點(diǎn)的距離變化，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，即每次跳動(dòng)后點(diǎn)與的距離是前一次距離的一半，利用這個(gè)規(guī)律，可以計(jì)算出經(jīng)過次跳動(dòng)后點(diǎn)與中點(diǎn)的距離，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離為，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，，表示的數(shù)為，∴經(jīng)過這樣次跳動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為，∵點(diǎn)表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，∴經(jīng)過這樣次跳動(dòng)后的點(diǎn)與的中點(diǎn)的距離為：，故選：B．二、填空題7．（24-25六年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）線段上有兩點(diǎn)、（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），以、、、四點(diǎn)為端點(diǎn)，共有條線段．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問題【分析】本題考查了線段的定義，解題的關(guān)鍵是按照順序，做到不重不漏．根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，寫出所有的線段即可得到數(shù)量．【詳解】解：如圖，則圖中線段有：線段、線段、線段、線段、線段、線段共6條．故答案為：6．8．（24-25六年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）在直線l上順次取A，B，C三點(diǎn)，使得．如果點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，那么線段的長度為cm．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，正確理解題意、正確理解線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先求出，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，∵點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，∴．故答案為：7．9．（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期末）如圖，點(diǎn)C是線段延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)N（N在M的右側(cè)且N不與B、C重合），使得則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，找準(zhǔn)線段之間的數(shù)量關(guān)系，和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，M為線段的中點(diǎn)，找準(zhǔn)線段之間的數(shù)量關(guān)系，化簡即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，故．故答案為：2．10．（24-25七年級(jí)下·湖南岳陽·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的是．（填寫正確的序號(hào)）【答案】①③④【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的意義，線段的和差計(jì)算，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．①設(shè)，，則，，，進(jìn)而得，，則，據(jù)此可對(duì)①進(jìn)行判斷；②根據(jù)，可對(duì)②進(jìn)行判斷；③根據(jù)，可對(duì)③進(jìn)行判斷；④根據(jù)，可對(duì)④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：①設(shè)，，為的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，，故①正確；②，又，，故②不正確；③，又，，故③正確；④，又，，故④正確，綜上所述：正確的是①③④．故答案為：①③④．11．（24-25七年級(jí)下·湖南衡陽·期中）如圖，已知線段，，半徑，當(dāng)點(diǎn)在的上方，且時(shí)，點(diǎn)繞著點(diǎn)以每秒的速度在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、兩點(diǎn)能相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，點(diǎn)M和點(diǎn)N相遇時(shí)，只會(huì)在線段上相遇，且有兩個(gè)相遇點(diǎn)，點(diǎn)O左側(cè)和點(diǎn)A右側(cè)，據(jù)此討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O左邊相遇時(shí)，則點(diǎn)N的速度為，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O右邊相遇時(shí)，則點(diǎn)N的速度為；綜上所述，點(diǎn)N的速度為或，故答案為：或．12．（24-25七年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，第2次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，第3次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，（1）；（2）連續(xù)這樣操作4次，則．【答案】324【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義結(jié)合線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義結(jié)合線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是，∴，．∵，∴．故答案為：32；（2）同理可得，，．故答案為：4．三、解答題13．（24-25七年級(jí)下·北京順義·階段練習(xí)）補(bǔ)全解題過程：已知：如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段、的中點(diǎn)，，求線段的長．解：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，．，．．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．【答案】，3，，8，16【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的和差，線段中點(diǎn)的定義計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握線段的和差，線段中點(diǎn)的定義．【詳解】解：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．故答案為：，3，，8，16．14．（23-24七年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，點(diǎn)B是線段上一點(diǎn)，且．(1)圖中共有條線段；(2)試求出線段的長；(3)如果點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)求線段的長．【答案】(1)6(2)26(3)7【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段的識(shí)別與計(jì)算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，明確線段之間的和差關(guān)系，正確進(jìn)行計(jì)算；（1）數(shù)出所有線段即可；（2）根據(jù)求解即可，（3）先求出，再根據(jù)線段和差求解即可．【詳解】（1）解：圖中共有六條線段，故答案為：6．（2）解：∵，∴．（3）解：∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴．15．（24-25七年級(jí)上·浙江湖州·期末）四點(diǎn)位置如圖所示，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按要求完成下列畫圖并回答問題．(1)連結(jié)，延長到，使；(2)分別畫直線，射線；(3)在射線上找一點(diǎn)，使最小，畫出點(diǎn)，此畫圖的依據(jù)是_______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析；兩點(diǎn)之間線段最短【知識(shí)點(diǎn)】畫出直線、射線、線段、兩點(diǎn)之間線段最短、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查作直線、射線、線段、線段：兩點(diǎn)之間線段最短、兩點(diǎn)間的距離，掌握直線、射線、線段、線段的定義是解題的關(guān)鍵；（1）以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，則即為所求．（2）根據(jù)直線、射線的定義畫圖即可．（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接交射線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，則即為所求．（2）如圖，直線、射線即為所求．（3）如圖，連接交射線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．此畫圖的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．16．（24-25七年級(jí)下·云南昆明·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度；(2)若，其他條件不變，請(qǐng)猜想線段的長度，并說明理由；【答案】(1)(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查的是線段的和差，掌握線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）由中點(diǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)可得答案；（2）由中點(diǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，；（2）解：，理由如下：、分別是、的中點(diǎn)，，，，．17．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在數(shù)軸上的點(diǎn)M表示的數(shù)為﹣2，在點(diǎn)M的右側(cè)依次描有點(diǎn)A，B，C，D，N五個(gè)點(diǎn)，其中，且m、n滿足，點(diǎn)A，C分別是線段的中點(diǎn)．(1)