專題13因式分解（1）教師講義課題因式分解（1）教學(xué)目的分解因式分解因式的方法教學(xué)內(nèi)容一、上節(jié)課作業(yè)檢查及糾錯二、上節(jié)課內(nèi)容再現(xiàn)(一)一元一次不等式1.一元一次不等式基本情形為（ax>b(或ax<b)）①當(dāng)a>0時,解為（）②當(dāng)a=0時,且b<0,則x取(一切實數(shù));當(dāng)a=0時,且b≥0,則(無解);③當(dāng)a<0時,解為()（二）一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系、用圖象法解不等式1.由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為或(，是常數(shù)，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作當(dāng)一次函數(shù)的值大于(或小于)0時，求出相應(yīng)的自變量的取值范圍，當(dāng)時，表示直線在軸上方的部分，當(dāng)時，表示直線在軸下方的部分，當(dāng)時，表示直線與軸的交點。2.用圖像法解(或)型不等式的步驟是：(1)將一元一次不等式轉(zhuǎn)化成標準形式，即或；(2)在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖像，確定圖像與軸的交點；(3)圖像在軸上方的部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍是一元一次不等式的解集；圖像在軸下方的部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍是一元一次不等式的解集。（三）一元一次不等式組1.定義:由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.3.解一元一次不等式組的步驟:(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.(3)兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實數(shù),且a<b)一元一次不等式解集圖示敘述語言表達x>b兩大取較大x>a兩小取小a<x<b大小交叉中間找無解在大小分離沒有解(是空集)三、鞏固練習(xí)(10min)1.如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b1與y2=k2x+b2的圖象相交于A（3，2），則不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集為_________．2.解下列不等式組（1）（2）四、知識點梳理一.分解因式1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.2.因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.二.提公共因式法1.如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:2.概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:3.易錯點點評:(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.三.運用公式法1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:(2)完全平方公式:3.易錯點點評:因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.4.運用公式法:(1)平方差公式:①應(yīng)是二項式或視作二項式的多項式;②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項式;②其中兩項同號,且各為一整式的平方;③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.五、講練結(jié)合：理解分解因式的意義【例1】下列從左到右的變形，是分解因式的為()A.x2－x=x(x－1) B.a(a－b)=a2－abC.(a+3)(a－3)=a2－9 D.x2－2x+1=x(x－2)+1【例2】下列各式從左到右的變形是分解因式的是（）A．a(chǎn)（a－b）＝a2－ab；B．a(chǎn)2－2a＋1＝a（a－2）＋1C．x2－x＝x（x－1）；D．x2－＝（x＋）（x－）【例3】把下列各式分解因式正確的是（）A．xy2－x2y＝x（y2－xy）；B．9xyz－6x2y2＝3xyz（3－2xy）C．3a2x－6bx＋3x＝3x（a2－2b）；D．xy2＋x2y＝xy（x＋y）練習(xí)1（－2）2001＋（－2）2002等于（）A．－22001B．－22002C．22001D．－2練習(xí)2－6xn－3x2n分解因式正確的是（）A．3（－2xn－x2n）B．－3xn（2－xn）C．－3（2xn＋x2n）D．－3xn（xn＋2）練習(xí)3計算下列各式：(1)(a+b)(a－b)=________.(2)(a+b)2=________.(3)8y(y+1)=________.(4)a(x+y+1)=________.(5)ax+ay+a=()()(6)a2－b2=()()(7)a2+2ab+b2=()()(8)8y2+8y=()()練習(xí)4.連一連：a2－1————————————(a+1)(a－1)a2+6a+9 (3a+1)(3a－1)a2－4a+4 a(a－b)9a2－1 (a+3)2a2－ab (a－2)2【例4】.32002－32001－32000能被5整除嗎？為什么？【例5】.對于任意自然數(shù)n，2n+4－2n能被15整除嗎？為什么？練習(xí)5.計算：××2008－×2008練習(xí)6.已知公式V=IR1+IR2+IR3，當(dāng)R1，R2，R3，I，求V的值.練習(xí)7．分解因式與整式乘法的關(guān)系是__________.練習(xí)8．計算93－92－8×92的結(jié)果是__________.練習(xí)9．如果a＋b＝10，ab＝21，則a2b＋ab2的值為_________.練習(xí)10．利用簡便方法計算：（1）23×2.718+59×2.718+18×；（2）×××（－20）練習(xí)11．32000－4×31999＋10×31998能被7整除嗎？試說明理由.提公因式法【例6】.下列多項式中，公因式是5a2b的是()a2b－20a2b2a2b3－15ab4－10a3b2a2b2－20a2b3+50a4b5a2b4－10a3b3+15a4b2【例7】.下列分解因式結(jié)果正確的是()A.a2b+7ab－b=b(a2+7ax2y－3xy+6y=3y(x2－x+2)xyz－6x2y2=2xyz(4－3xy)D.－2a2+4ab－6ac=－2a(a－2b－3c)練習(xí)12.下列分解因式結(jié)果正確的是() A.6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x)B.x3+2x2+x=x(x2+2x)C.a(a－b)2+ab(a－b)=a(a－bxn+1+6xn=3xn(x+2)練習(xí)13.分解因式b2(x－2)+b(2－x)正確的結(jié)果是()A.(x－2)(b2+b) B.b(x－2)(b+1)C.(x－2)(b2－b) D.b(x－2)(b－1)練習(xí)14.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是() B.－ D.－13【例8】.多項式14abx－8ab2x+2ax各項的公因式是________.練習(xí)15.7ab4+14a2b2－49a3b2=7ab2(________).練習(xí)16.若4x3－6x2=2x2(2x+k)，則k=________.練習(xí)17.2(a－b)3－4(b－a)2=2(a－b)2(________).練習(xí)18.36×29－12×33=________.【例9】.分解因式(1)15a3b2+5a2b(2)－5a2b3+20ab2－5ab(3)(x+y)(x－y)－(x+y)2(4)8a(x－y)2－4b(y－x)【例10】.計算與求值(1)29×20.03+72×20.03+13×－14×20.03.(2)已知S=πrl+πRl，當(dāng)r=45，R=55，l=25，π時，求S的值.練習(xí)19.先化簡，再求值a(8－a)+b(a－8)－c(8－a)，其中a=1，b=，c=.練習(xí)20.已知2x－y=，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.運用公式法【例11】．（一題多解）若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．【例12】．（巧題妙解題）若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．【例13】．（科內(nèi)交叉題）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．【例14】．（科外交叉題）在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是：如對于多項式x4－y4因式分解的結(jié)果是（x－y）·（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時，則各個因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式4x3－xy2，取x=10，y=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是_________．（寫出一個即可）【例15】．如圖，在一個大圓盤中，鑲嵌著四個大小一樣的小圓盤，已知大小圓盤的半徑都是整數(shù)，陰影部分的面積為5cm2，請你求出大小兩個圓盤的半徑．【例16】．（結(jié)論開放題）多項式4x2+1加上一個單項式后，使它成為一個整式的平方，則加上的單項式可以是_______．（填上一個你認為正確的即可）【例17】．（存在探究題）是否存在這樣一個滿足下列條件的正整數(shù)，當(dāng)它加上98時是一個完全平方數(shù)，當(dāng)它加上121時是另一個完全平方數(shù)，若存在，請求出該數(shù)；若不存在，請說明理由．【例18】．（閱讀理解題）觀察下面計算過程：（1－）（1－）=（1－）（1+）（1－）（1+）=×××=×；（1－）（1－）（1－）=×××××=×；（1－）（1－）（1－）（1－）=×××××××=×；…你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用含n的式子表示這個規(guī)律，并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出（1－）（1－）（1－）（1－）（1－）…（1－）的值．練習(xí)21．下列因式分解正確的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2D．x2－y2=（x－y）2練習(xí)22．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2+4x+1B．x2－2xy+y2C．x2y2+2xy+1D．m2－mn+n2練習(xí)23．下列多項式能用完全平方公式分解因式的是（）A．m2－mn+n2B．（a+b）2－4abC．x2－2x+D．x2+2x－1練習(xí)24．某同學(xué)粗心大意，分解因式時，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）中的兩個數(shù)字弄污了，則式子中的■，▲對應(yīng)的一組數(shù)字可以是（）A．8，1B．16，2C．24，3D．64，8練習(xí)25．若a+b=4，則a2+2ab+b2的值是（）A．8B．16C．2D．4練習(xí)26．分解因式：a3－4a=______．練習(xí)27．已知x2－y2=69，x+y=3，則x－y=______．練習(xí)28．把a2b+b3－2ab2分解因式的結(jié)果是______．練習(xí)29．請你寫一個能先提公因式，再運用公式來分解因式的三項式，并寫出分解因式的結(jié)果．___________．練習(xí)30．分解因式：（x2+4）2－16x2．練習(xí)31．已知a，b，c為△ABC的三條邊長，且b2+2ab=c2+2ac，試判斷△ABC的形狀．練習(xí)32．在邊長為179m的正方形農(nóng)田里，修建一個邊長為21m的正方形建筑，問所剩農(nóng)田為多少平方米？經(jīng)典中考題練習(xí)33．一個長方形的面積是（x2－9）2米，其長為（x+3）米，用含有x的整式表示它的寬為_______米．練習(xí)34．分解因式：a3－ab2=______．六、家庭作業(yè)一、選擇題1.下列等式從左到右的變形是因式分解的是a2b=3a·4ab B.（x+3）（x－3）=x2－9x2+8x－1=4x（x+2）－1 D.ax－ay=a（x－y）2.分解因式－4x2y+2xy2－xy的結(jié)果是A.－4（x2+2xy2－xy） B.－xy（－4x+2y－1）C.－xy（4x－2y+1） D.－xy（4x－2y）3.下列各式中,能用平方差公式進行因式分解的是A.x2－xy2 B.－1+y2y2+2 D.x3－y34.下列各式能用完全平方公式分解因式的是x2+1 x2－4x－1C.x2+xy+y2 D.x2－4x+4二、填空題m2n+18n的公因式是__________;2.分解因式x（2－x）+6（x－2）=__________;3.x2－y2=（x+y）·（）;4.x2－（）+25y2=（）2;5.（x2+y2）2－4x2y2=.三、解答題1.把下列各式分解因式（1）12a3b2－9a2b+3ab;（2）a（x+y）－（a－b）（x+y）;（3）121x2－144y2;（4）4（a－b）2－（x－y）2;（5）（x－2）2+10（x－2）+25;（6）a3（x+y）2－4a3c2.2.用簡便方法計算（1）2－2;（2）21042－1042（3）2×9－2×36附鞏固練習(xí)答案：1.解：由圖知：x＜3時，y1＜y2，即y2﹣y1＞0；∴當(dāng)x＜3時，k2x+b2﹣（k1x+b1）＞0；化簡得：（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0；因此所求不等式的解集為：x＜3．2.（1）（2）無解理解分解因式的意義參考答案【例1】.A【例2】．C【例3】．D練習(xí)1．C練習(xí)2．D練習(xí)3.(1)a2－b2(2)a2+2ab+b2(3)8y2+8y(4)ax+ay+a(5)a(x+y+1)(6)(a+b)(a－b)(7)(a+b)(a+b)(8)8(y+1)練習(xí)4.a2+6a+9=(a+3)2a2－4a+4=(a－2)29a2－1=(3a+1)(3a－1)a2－ab=a(a－b)【例4】.能被5整除32002－32001－32000=32000·(32－3－1)=32000×5【例5】.能被15整除2n+4－2n=2n(24－1)=2n×15練習(xí)5.20080練習(xí)6.220練習(xí)7．互逆的過程練習(xí)8．0練習(xí)9．210練習(xí)10．（1）原式＝×（23+59+18）＝（2）原式＝×（）＝0練習(xí)11.能.因為原式＝31998（32－4×3＋10）＝31998×7，顯然它能被7整除.提公因式法參考答案【例6】.A【例7】.B練習(xí)12.D練習(xí)13.D練習(xí)14.A【例8】.2ax練習(xí)15.b2+2a－7a2練習(xí)16.－3練習(xí)17.a－b－2練習(xí)18.720【例9】.(1)5a2b(3ab+1)(2)－5ab(ab2－4b+1)(3)－2y(x+y)(4)4(x－y)(2ax－2ay+b)【例10】.(1)2003(2)7850練習(xí)19.0練習(xí)20.1公式法參考答案：【例11】．解法一：a2+b2=（a+b）2－2ab．因為a+b=1，ab=－1，所以a2+b2=12－2×（－1）=3．解法二：因為a+b=1，所以（a+b）2=1，即a2+b2+2ab=1，因為ab=－1，所以a2+b2=1－2ab=1－2×（－1）=3．【例12】．解：因為9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）=（3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．所以所以所以m+n+p=+1+2=【例13】．解：（1012+25）2－（1012－25）2=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n所以n=14．【例14】．103010或301010或101030點撥：4x3－xy2=x（4x2－y2）=x（2x+y）（2x－y）．當(dāng)x=10，y=10時，2x+y=30，2x－y=10．所以x（2x+y）（2x－y）103010，（2x+y）（2x－y）301010（2x－y）x（2x+y）101030．答案不唯一，寫出一個即可．【例15】．解：設(shè)大圓盤的半徑為Rcm，一個小圓盤的半徑為rcm，根據(jù)題意，得：R2－4r2=5，即（R+2r）（R－2r）=5．因為R，r均為正整數(shù)，所以R+2r，R－2r也為正整數(shù)，所以：解得答：大圓盤的半徑為3cm，一個小圓盤的半徑為1cm．【例16】．±4x或4x4或－1或－4x2【例17】．解：假設(shè)存在這樣的正整數(shù)m，由題意得m+98=x2，①m+121=y2，②．②－①得y2－x2=23．所以（y+x）（y－x）=23×1．只有當(dāng)x+y=23，y－x=1時，成立，即解得所以m=x2－98=112－98=121－98=23．【例18】．解：（1－）（1－）…（1－）=×××…××=×=．當(dāng)n=2007時，上式=．練習(xí)21．B點撥：x2+y2不能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，（x－y）2=x2－2xy+y2．練習(xí)22．A點撥：x2－2xy+y2=（x－y）2；x2y2+2xy+1=（xy）2+2xy+1=（xy+1）2；m2－mn+n2=m2－2·m·n+（n）2=（m－n）2．練習(xí)23．B點撥：（a+b）2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2=（a－b）2．練習(xí)24．B點撥：x4－16=（x2）2－42=（x2+4）（x2－4）=（x2+4）（x+2）（x－2）．練習(xí)25．B點撥：因為a+b=4，所以a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．練習(xí)26．a(chǎn)（a+2）（a－2）點撥：a3－4a=a（a2－4）=a（a+2）（a－2）．練習(xí)27．23點撥：因為x2－y2=69，所以（x+y）（x－y）=69，因為x+y=3，所以3（x－y）=69，所以x－y=23．練習(xí)28．b（a－b）2點撥