第2課時(shí)向量共線定理及其應(yīng)用(教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評(píng)式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.理解向量共線的概念,掌握向量共線定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.會(huì)應(yīng)用向量共線定理證明兩直線平行及三點(diǎn)共線問(wèn)題.1.向量共線定理設(shè)a為非零向量,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使,那么b與a是共線向量;反之,如果b與a是共線向量,那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使.

2.常用結(jié)論(1)設(shè)a,b均為實(shí)數(shù),若OA,OB不共線,點(diǎn)P滿足OP=aOA+bOB,a+b=1,則A,B,P三點(diǎn)共線.(2)中線向量公式:在△ABC中,若D是BC的中點(diǎn),則AD=12(AC+AB)(3)與AB同方向的單位向量為ABAB,與AB共線的單位向量為±AB(4)O是△ABC的重心的充要條件是OA+OB+OC=0.題型(一)向量共線的判定[例1]已知非零向量a,b,且AB=a+2b,BC=-3a+4b,CD=a-3b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D聽課記錄:|思|維|建|模|證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.具體依據(jù)如下:若存在實(shí)數(shù)λ,使AB=λAC,則A,B,C三點(diǎn)共線.[針對(duì)訓(xùn)練]1.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),BC+BA=2BP,則()A.P,A,C三點(diǎn)共線 B.P,A,B三點(diǎn)共線C.P,B,C三點(diǎn)共線 D.以上均不正確2.在四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是()A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.無(wú)法判斷題型(二)向量共線中的參數(shù)問(wèn)題[例2](1)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,求實(shí)數(shù)k的值;(2)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)λ,μ,使d=λa+μb與c共線?聽課記錄:|思|維|建|模|1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法一般來(lái)說(shuō),要判定A,B,C三點(diǎn)是否共線,只需看是否存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC(或BC=λAB等)即可.2.利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.[針對(duì)訓(xùn)練]3.已知向量AB=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值等于()A.10 B.-10 C.2 D.-24.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,若向量ka+2b與8a+kb的方向相反,則k=.第2課時(shí)向量共線定理及其應(yīng)用1.b=λab=λa[例1]選D∵AB=a+2b,BC=-3a+4b,CD=a-3b,∴AD=AB+BC+CD=-a+3b.∴AC=AB+BC=-2a+6b=2AD.又AC與AD有公共點(diǎn)A,∴A,C,D三點(diǎn)共線.[針對(duì)訓(xùn)練]1.選A在△ABC中,取AC的中點(diǎn)D(圖略),則BC+BA=2BD,∴2BD=2BP.∴D和P重合.∴P,A,C三點(diǎn)共線.2.選C∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b,∴AD=2BC,即AD∥BC.∵AD≠BC,∴四邊形ABCD為梯形.[例2]解:(1)若A,B,D三點(diǎn)共線,則AB與BD共線.設(shè)AB=λBD(λ∈R),∵BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,∴2e1+ke2=λe1-4λe2.由e1與e2不共線可得2=λ,k=-4λ,解得λ=2(2)d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d與c共線,則存在實(shí)數(shù)k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.所以2λ+2μ=2k,-3λ+3μ=-9k,解得λ=-2μ.故存在實(shí)數(shù)λ和μ,[針對(duì)訓(xùn)練]3.選C∵A,B,D三點(diǎn)共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λBD=λ(CD-CB),∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,∴1-解得λ=1,k=2.4.