11.1余弦定理第1課時(shí)余弦定理(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,了解余弦定理的推導(dǎo)過程.2.掌握余弦定理及其變形,并能利用余弦定理解決相關(guān)問題.1.余弦定理在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則有文字語(yǔ)言三角形任何一邊的平方等于_______________符號(hào)語(yǔ)言a2=,b2=,c2=_______________

推論cosA=b2+c2-a2cosC=a2.解三角形的定義我們把三角形的三個(gè)角和三條邊叫作三角形的.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作.|微|點(diǎn)|助|解|1.余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.(2)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系,它含有四個(gè)不同的量,知道其中的三個(gè)量,就可求得第四個(gè)量.2.余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2<a2+b2?C為銳角.3.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角,可以用余弦定理解三角形.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.在△ABC中,已知a=9,b=23,C=150°,則c等于()A.39 B.83 C.102 D.732.在△ABC中,若a=7,b=3,c=2,則A=()A.30° B.60° C.45° D.90°3.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,則cosC=.題型(一)已知兩邊和一角解三角形[例1](1)在△ABC中,已知b=3,c=23,A=30°,求a的值;(2)在△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,解這個(gè)三角形.聽課記錄:|思|維|建|模|已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角,可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.(2)若已知角是兩邊的夾角,則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角.[針對(duì)訓(xùn)練]1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,b=7,B=60°,則c=()A.1 B.3 C.3 D.1或32.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若cosB=45,c=5,a=3,則b=()A.58 B.34 C.24 D.10題型(二)已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形[例2]在△ABC中,已知a=26,b=6+23,c=43,求A,B,C的大小.聽課記錄:|思|維|建|模|已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.[針對(duì)訓(xùn)練]3.若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,b=3,且c2+ab-a2=3,則角C的大小為()A.π6 B.πC.π2 D.4.在△ABC中,已知a=42,b=5,c=7.(1)求cosA的值;(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且BD=3CD,求AD的長(zhǎng).題型(三)判斷三角形的形狀[例3]在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的形狀.聽課記錄:|思|維|建|模|利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后,注意等式兩邊不要輕易約分,否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.[針對(duì)訓(xùn)練]5.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試確定△ABC的形狀.第1課時(shí)余弦定理?課前預(yù)知教材1.其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC2.元素解三角形[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.選D由余弦定理得c=92+(23)2.選B因?yàn)閍=7,b=3,c=2,所以由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=9+4-72×3×2=12.又3.解析:∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcosC,∴2cosC=1.∴cosC=12答案:1?課堂題點(diǎn)研究[例1]解:(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=32+(23)2-2×3×23×cos30°=3.所以a=3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.當(dāng)a=3時(shí),A=B=30°,C=120°;當(dāng)a=6時(shí),由余弦定理得cosA=b2+又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°.綜上,當(dāng)a=3時(shí),A=30°,C=120°;當(dāng)a=6時(shí),A=90°,C=60°.[針對(duì)訓(xùn)練]1.選C由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故選C.2.選D由cosB=45,c=5,a=3以及余弦定理得b==9+25-2×3×5×45=10,故選[例2]解:根據(jù)余弦定理的推論,得cosA=b=(6+23)2∵A∈(0,π),∴A=π6cosC=a=(26)2∵C∈(0,π),∴C=π4.∴B=π-A-C=π-π6-π4=7π12,∴A=π6,B=[針對(duì)訓(xùn)練]3.選B∵c2+ab-a2=3且b=3,∴c2+ab-a2=b2,即ab=a2+b2-c2.根據(jù)余弦定理可得cosC=a2+b又∵0<C<π,∴C=π34.解:(1)cosA=52+7(2)如圖所示,cosB=422+因?yàn)锽D=3CD,a=42,所以BD=32.所以AD2=72+(32)2-2×7×32×22=25,即AD=5[例3]解:將已知等式變形為b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理并整理,得b2+c2-b2a2+b2-c22ab2-∴b2+c2=[(=4a44a2=a2.∴A=90°[針對(duì)訓(xùn)練]5.解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,∴a2=b2+c2-bc.而a2=b2+c2-2bccosA,∴2cosA=1.∴cos