高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算第七章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.掌握復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的法則,能夠進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.掌握虛數(shù)單位i冪值的周期性,能進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解有關(guān)方程問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思我們知道,兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘法對(duì)加法來說滿足分配律,即a,b,c∈R時(shí),有(a+b)c=ac+bc,而且,實(shí)數(shù)的正整數(shù)次冪滿足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均為正整數(shù),那么,復(fù)數(shù)的乘法應(yīng)該如何規(guī)定,才能使得類似的運(yùn)算法則仍成立呢?知識(shí)點(diǎn)撥識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律1.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1,z2,z3∈C,有交換律z1z2=z2z1結(jié)合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3要點(diǎn)筆記(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法類似,注意有一點(diǎn)不同,即必須在所得結(jié)果中把i2換成-1,再把實(shí)部、虛部分別合并.(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍為復(fù)數(shù),可推廣,任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).微思考in(n∈N*)有什么規(guī)律?提示i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即in(n∈N*)是以4為周期的.微練習(xí)(1)(4-i)(3+2i)=

.

(2)(-3+2i)2=

.

答案(1)14+5i

(2)5-12i解析(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的除法

微練習(xí)(2019天津卷)i是虛數(shù)單位,則

的值為

.

知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的解法1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),任何實(shí)系數(shù)一元二次方程都是有根的,當(dāng)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ<0時(shí),其求根公式為2.若復(fù)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)根,通常將這個(gè)根設(shè)出,代入方程,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行求解.微思考已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的實(shí)根?提示①求出判別式Δ=b2-4ac的值,判斷根的情況,若Δ>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;若Δ=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)根;若Δ<0,方程無實(shí)根.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算例1計(jì)算下列各題:分析按照復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.解(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15.(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i.反思感悟1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的技巧(1)復(fù)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘法類似,在計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積時(shí),先按照多項(xiàng)式的乘法展開,再將i2換成-1,最后合并同類項(xiàng)即可.(2)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算,混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致.(3)在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí),若符合乘法公式,則可直接運(yùn)用公式計(jì)算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)對(duì)于復(fù)數(shù)的高次乘方運(yùn)算,可以利用公式

=zmn(m,n∈Z)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則,通過分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù),使“分母實(shí)數(shù)化”,這個(gè)過程與“分母有理化”類似.(2)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的結(jié)果要進(jìn)行化簡(jiǎn),通常要寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,即實(shí)部與虛部要完全分開的形式.變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各題:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);探究二i冪值的周期性及其應(yīng)用例2計(jì)算下列各式的值:(1)i2016;(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+…+i2016.分析根據(jù)i冪值的周期性以及復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.解(1)i2016=i4×504=i4=1.(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.(3)1+i+i2+…+i2016

=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2012+i2013+i2014+i2015)+i2016=0×504+i2016=1.要點(diǎn)筆記利用i冪值的周期性解題的技巧(1)熟記i的冪值的4個(gè)結(jié)果,當(dāng)冪指數(shù)除以4所得的余數(shù)是0,1,2,3時(shí),相應(yīng)的冪值分別為1,i,-1,-i.(2)對(duì)于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.變式訓(xùn)練2若A=,則集合A的子集的個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.4 C.8 D.16答案B解析當(dāng)n=1時(shí),x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,當(dāng)n=2時(shí),x=i4+i-4=1+1=2,當(dāng)n=3時(shí),x=i6+i-6=-2,當(dāng)n=4時(shí),x=i8+i-8=2,因此A={2,-2},故A有4個(gè)子集.探究三與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題例3設(shè)關(guān)于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實(shí)數(shù)根,則銳角θ以及實(shí)數(shù)根分別為(

)分析可將實(shí)數(shù)根設(shè)出,代入,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.答案C解析設(shè)方程的實(shí)根為a,則a2-a(tanθ+i)-(2+i)=0,即a2-atanθ-2-(a+1)i=0,∵a,tanθ∈R,要點(diǎn)筆記與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題,一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解,一元二次方程一類問題中,根與系數(shù)的關(guān)系仍適用.變式訓(xùn)練3已知關(guān)于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)數(shù)根b,求實(shí)數(shù)a,b的值.解∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實(shí)根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,解得a=b=3.素養(yǎng)形成共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

(1)答案A(2)解(方法一)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i.又因?yàn)?1-2i)z是實(shí)數(shù),所以b-2a=0,方法點(diǎn)睛(1)由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算給出的復(fù)數(shù),求其共軛復(fù)數(shù),可先按復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式,再寫出其共軛復(fù)數(shù).(2)注意共軛復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的運(yùn)用.延伸探究在典例(1)條件不變的情況下,把結(jié)論改為

當(dāng)堂檢測(cè)1.(2021江蘇淮安期末)已知復(fù)數(shù)z滿足i(z+1)=1-i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

為(

)A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i答案B2.m∈R,i為虛數(shù)單位,若(m+i)(2-3i)=5-i,則m的值為(

)A.1 B.-1 C.2 D.-2答案A解析由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,3.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=+i2019在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)