高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣東五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，所以的虛部為.故選：A2.已知向量，若，則（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，解?故選：D.3.下列命題中為真命題的是（）A.圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形B.用任意一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體是棱柱D.五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，11條棱【答案】C【解析】對(duì)于A，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)的一部分，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱柱的定義知，C正確；對(duì)于D，五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，10條棱，D錯(cuò)誤.故選：C4.若銳角，滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由題意設(shè)，因?yàn)?，所以，所以?故選：B.5.已知向量，若向量滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，又，所以因?yàn)樗裕?，所以，?duì)于A，，滿足，故A正確；對(duì)于B，，不滿足，故B不正確；對(duì)于C，，不滿足，故C不正確；對(duì)于D，，不滿足，故D不正確；故選：A6.如圖，某校高一幾位同學(xué)測(cè)量平地上某建筑物的高度，從地面上一點(diǎn)觀察建筑物頂部的仰角為，朝建筑物方向向前20m到達(dá)點(diǎn)，從點(diǎn)觀察的仰角為，則建筑物的高度為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)建筑物高度為，點(diǎn)到建筑物底部的水平距離點(diǎn)到的水平距離，由題意可知，米，且，因此，三角恒等變換得：，化簡(jiǎn)得：，即，則.故選：A7.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖如圖所示，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，且，則中邊上的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知在中，，移項(xiàng)可得.根據(jù)余弦定理，將代入可得：.因?yàn)?，所?已知，即，那么中邊上的高.根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)，在斜二測(cè)畫(huà)法中，平行于軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么原三角形中邊上的高.將代入可得.所以中邊上的高為.故選：C.8.現(xiàn)有一塊棱長(zhǎng)為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個(gè)平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正四面體木料知，底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，故底面面積為，因?yàn)槠矫嫫叫杏谠撃玖系酌?，故該平面在木料上的截面也為正三角形，設(shè)該正三角形與底面的相似比為k，則該平面在木料上的截面面積為，截下部分一部分為小四面體，一部分為正三棱臺(tái)，其中小四面體部分的表面積即，正三棱臺(tái)表面積為，故，解得，所以該平面在木料上的截面面積為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，設(shè)該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形AOB，O為扇形圓心，則（）A.扇形AOB的圓心角為B.圓錐的高h(yuǎn)為C.圓錐的表面積為D.從點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的最短距離為【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖所得扇形的圓心角為，可得，即，解得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓錐的高為，所以B正確；對(duì)于C中，由圓錐的側(cè)面積為，底面積為，所以圓錐的表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，可得，即從點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的最短距離為，所以D正確.故選：BCD.10.定義復(fù)數(shù)運(yùn)算：，已知復(fù)數(shù)，w滿足，則（）A.w可以是 B.的最小值為C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限 D.的實(shí)部是5【答案】BCD【解析】設(shè)，則，整理得，故即，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故B成立；對(duì)于C，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，此時(shí)不成立，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限，故C正確；對(duì)于D，，故的實(shí)部是5，故D正確.故選：BCD.11.記是的外接圓，且，，，則（）A. B.C.的面積為 D.圓O的周長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭堑耐饨訄A，所以是的外心，在的中垂線上，若符合，則也應(yīng)在的中垂線上，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭堑耐庑?，所以在的中垂線上，所以，故B正確；對(duì)于C，對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以，則，所以，解得，故，，所以的面積為，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圓的半徑為，其周長(zhǎng)為，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】3【解析】由為純虛數(shù)，得，所以.故答案為：313.______．【答案】【解析】.故答案為：14.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意等價(jià)于，所以或，解得，或，所以，，故所求范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知在正方形中，，．（1）設(shè)，，用，表示；（2）若AC上一點(diǎn)R滿足，求的值．解：（1），（2）由題意，設(shè)，因?yàn)椴还簿€，從而，解得.16.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，點(diǎn)是底面圓周上異于的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足．（1）證明：平面；（2）設(shè)球與圓錐的側(cè)面和底面均相切，求球的半徑；（3）證明：“平面”是“”的充要條件．解：（1）依題意，是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，而，因此，而平面，平面，所以平面.（2）由球與圓錐的側(cè)面和底面均相切，得圓錐軸截面等腰內(nèi)切圓是球的截面大圓，圓錐的母線，設(shè)球M的半徑為，由，得，所以球M的半徑是.（3）由，得點(diǎn)四點(diǎn)共面，平面平面，由平面，平面，得，因此四邊形是平行四邊形，則；反之，由，，得四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，因此平面，所以“平面”是“”的充要條件17.已知在面積為S的中．（1）證明：；（2）若，求S的最大值．解：（1）在中，由余弦定理，得，由，得所以.（2）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以S的最大值為.18.設(shè)函數(shù)，其部分圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)如圖所示．（1）若，，，求；（2）在中，記內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（ⅰ）證明：是等腰三角形；（ⅱ）若，求當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒槎嗌贂r(shí)，的中線能取得最大值．解：（1）已知，當(dāng)時(shí)，，所以.令，即，則（為整數(shù)）.解得.當(dāng)，，得；當(dāng)，，得.，.根據(jù)公式.（2）（?。┯桑氲茫?，化簡(jiǎn)得.若，則，與圖知條件矛盾，所以.所以是等腰三角形；（ⅱ），兩邊平方.因?yàn)椋?，由正弦定理可得：?代入得.設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).此時(shí)，周期，BD最大值為.19.設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，且內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，定義的值為的“徑比”．（1）若為等腰直角三角形，求的徑比f(wàn)；（2）證明：；（3）若，求f的最值．解：（1）由為等腰直角三角形，設(shè)直角邊長(zhǎng)為，則斜邊長(zhǎng)為，所以外接圓的半徑為，且的周長(zhǎng)為，