高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市等2地2025屆高三模擬預測數學試題一、單選題1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x∣x+2∈A}，則A∩B=（A．1 B．1,2 C．1,2,3 D．1,2,3,4【答案】C【解析】因為集合A={1,2,3,4,5}，所以由x+2∈{1,2,3,4,5}，可得B={-1,0,1,2,3}，所以A∩B=1,2,3故選：C.2．已知向量a=1,2，b=2,x，若a∥A．5 B．25 C．5 D．【答案】B【解析】向量a=1,2，b=2,x，由a∥所以|b故選：B3．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位:km/s）和燃料的質量M（單位:kg）、火箭（除燃料外）的質量m（單位：kg）的函數關系是v=alg1+Mm（a是參數）．當質量比Mm比較大時，函數關系中真數部分的1可以忽略不計，按照上述函數關系，將質量比Mm從A．52% B．42% C．32% D．22%【答案】B【解析】當質量比Mm為2000時，最大速度v當質量比Mm為50000時，最大速度vv2v1所以將質量比Mm從2000提升至50000，則v大約增加了42故選：B4．在某互聯網大會上，為了提升安全級別，將5名特警分配到3個重要路口執(zhí)勤，每個人只能選擇一個路口，每個路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一個路口，則不同的安排方法有（

）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種【答案】D【解析】先不管條件甲和乙不能安排在同一個路口，分兩種情況：①三個路口人數情況3，1，1，共有C5②三個路口人數情況2，2，1，共有C52若甲乙在同一路口，則把甲乙看作一個整體，則相當于將4名特警分配到三個不同的路口，則有C4故甲和乙不能安排在同一個路口，不同的安排方法有60+90-36=114種.故選：D.5．數列an滿足an+2+(-1)nan=2n-1，前A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】因為an+2+(-1)a3因為前12項和為164，所以a1所以a1+a3+?+故選：C.6．已知四面體A-BCD的各頂點均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD，則球O的表面積為（

）A．28π3 B．14π C．28π【答案】A【解析】因為平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD，所以可將四面體A-BCD看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體A-BCD的外接球即直三棱柱的外接球，因為底面三角形ABC的外心到三角形ABC的頂點的長度為23所以直三棱柱的外接球的半徑r=1則球O的表面積S=4π故選：A.7．點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，則點PA．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【解析】因為點P是曲線y=x所以當點P處的切線和直線y=x-4平行時，點P到直線y=x-4的距離最?。驗橹本€y=x-4的斜率等于1，曲線y=x2-令y'=1，可得x=1或x=-12所以在曲線y=x2-lnx所以點P到直線y=x-4的最小距離為|1-1-4|1+1故選：D.8．將雙曲線繞其中心旋轉一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數圖象，比如反比例函數y=1x，“對勾”函數y=x+1x，“飄帶”函數y=x-1x等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉而得.現將雙曲線C1:x2a2-A．233 B．213 C．21【答案】B【解析】“飄帶”函數y=x43-1設兩漸近線夾角為α（0<α<π2），則整理得tanα=43，又所以2tanα2由0<α<π2，解得所以旋轉之前雙曲線的一條漸近線斜率為k=tan所以雙曲線的離心率為e=1+故選：B二、多選題9．函數f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<πA．m=-B．f(x)=2C．f(-D．f(x)在區(qū)間[-2π,2π【答案】ABC【解析】對于A，觀察圖象得m+π12=2?-π對于B，觀察圖象得A=2，最小正周期T=4π12-所以f(x)=2sin由f(-π6)=2又|φ|<π，所以φ=5π6，故對于C，f(-5f(π8)=2對于D，由f(x)=0，得2x+5π6由x∈[-2π,2π]，得因此k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}，故f(x)在區(qū)間[-2π,2π]上恰有8故選：ABC.10．已知x>0,y>0,2x+y=1，則（

）A．4x+2y的最小值為22C．y-x-xy的最小值為-1 D．2x2【答案】ABD【解析】對于A，由于x>0,y>0,2x+y=1，故4x當且僅當2x=y，結合2x+y=1，即x=1即4x+2y的最小值為對于B，由于x>0,y>0，2x+y=1≥22xy，則xy≤當且僅當x=1故log2x+log2y=log2對于C，又x>0,y>0,2x+y=1，得y=1-2x，故y-x-xy=(1-2x)-x-x(1-2x)=2由于0<2x<1∴0<x<12，而y=2x則y=2x2-4x+1在(0,1對于D，令m=x+2,n=y+1，則|x=m-2,y=n-1，故2x由于x>0,y>0，故m>2,n>1，2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6，則8m當且僅當8nm=2mn，結合所以2m+n+8即2x2x+2+y故選：ABD11．已知A，B為兩個事件，則下列命題正確的是（

）A．若A?B，P(B)>0，則P(A)≤P(AB．若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互獨立，則AB≠?C．若P(A)=0.6，P(B)=0.8，則P(AB)的最小值可能為0.38D．若AB=?，則【答案】ABD【解析】對于A，由A?B，得P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)，而0<P對于B，若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，則AB≠?，B正確；對于C，由P(A)=0.6,P(B)=0.8，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥0.4，則P(AB)的最小值不可能為0.38，C錯誤；對于D，若AB=?，則A?B，所以P(A∣B)=故選：ABD三、填空題12．數列an的前n項和Sn滿足：Sn=n2+2n+3,n∈【答案】6,n=1【解析】當n=1時,S1當n≥2時,an顯然a1=6不符合故通項公式an故答案為：6,n=12n+1,n≥213．已知p:2-3x≤7；q:x2-4x+4-9m2≤0m>0，若q是p的充分不必要條件，【答案】0【解析】由p:2-3x≤7可得-7≤2-3x≤7，即由q:x2-4x+4-9m2≤0m>0可得x-22≤9m2又因為q是p的充分不必要條件，所以-3m+2,3m+2?所以-3m+2≥-533m+2≤3m>0(等號不同時成立故答案為：(0,114．已知函數fx=log2x-1，0<x≤43-x【答案】(16,36)【解析】作出函數的圖象，設f(x1)=f(且1-log2x1=log2故x1x2x3=4(k-3)即x1x2故答案為：(16,36).四、解答題15．在銳角三角形ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足2cos（1）求B；（2）求ac解：（1）因為2cosA-C+1=4所以cosA+C=-1因為B∈0,π，所以（2）由（1）知B=π3，所以由正弦定理知ac因為△ABC為銳角三角形，B=π3，所以0<C<π所以tanC>33，可得0<所以ac的取值范圍是116．已知O為坐標原點，直線l:y=kx+m(km≠0)與雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的漸近線交于A，B兩點，與橢圓D:x22（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與C相切，證明：△OAB的面積為定值.（1）解：設Ax因為2OA+OB由y=kx+my=bx，得x1=mb-k由y=kx+mx22+y所以2kmb2-k2=-6km所以雙曲線C的方程為x2（2）證明：雙曲線的漸近線方程為y=±3由（1）得A-mk-3,-所以OA=4mS△OAB由y=kx+mx2-因為直線l與雙曲線C相切，所以Δ=4k2m所以S△OAB17．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點F的直線l交C于A,B兩點，與l平行的直線交C于D,E兩點，其中B,D在x軸上方，M,N（1）當直線l不垂直于x軸時，證明：直線MN//x軸；（2）若AN⊥BN，求DEAB（3）若AD⊥BE，求DEAB（1）證明：拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0)，直線l不垂直于y直線DE方程為x=ty+m(m≠1)，A(x由x=ty+1y2=4x，消去x得y2-4ty-4=0則點M(2t由x=ty+my2=4x，消去x得y2-4ty-4m=0則點N(2t由直線l不垂直于x軸，得t≠0，所以直線MN//x軸.（2）解：由（1）可得，|AB|=1+t2由AN⊥BN，得|MN|=12|AB|=2+2t2，即|DE|==41+所以DEAB（3）解：令AD,BE與MN分別交于點P,P'，設由DE//AB，得|NP||PM|=|DN||AM|=λ則|PM|=|P'M|，故點P與P'重合，由則|MN|=(1+λ)|MP|=(1+λ)(2+2t2)，即|m-1|=(1+λ)(2+2即m=(1+λ)(2+2t2)+1，由（2故可得：|DE|=41+又|AB|=4(1+t2)于是3+2λ=λ，而λ>0，解得λ=3所以DEAB18．在正三棱臺ABC-A1B1C1中，AB=2A1B（1）求證：四邊形B1（2）若A1B1=A（3）若一只電子貓從點A出發(fā)，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個頂點，設在nn∈N*次運動后電子貓仍停留在下底面ABC的概率為p（1）證明：延長AA1，BB1，CC1交于點T，過點T作TO⊥平面在正三棱臺ABC-A1B1C因為P，Q分別是AB，AC的中點，所以BC∥PQ，且BC=2PQ，又BC∥B1C所以B1C1∥PQ，且B因為幾何體ABC-A所以三棱錐T-ABC是正三棱錐，O是底面正△ABC的中心，所以AO⊥BC.又TO⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以TO⊥BC.因為AO∩TO=O，AO，TO?平面AOT，所以BC⊥平面AOT，又AA1?平面AOT，所以BC⊥A在正三棱臺ABC-A1B1C1中，所以A1B1所以四邊形A1B1所以PQ⊥B所以四邊形B1PQ（2）解：法一：延長AO交BC于點M，連結TM，過點A作AH⊥TM，垂足為H，連結CH.由（1）可知，BC⊥平面AOT，即BC⊥平面AMT，因為AH?平面AMT，所以AH⊥BC，又AH⊥TM，BC∩TM=M，BC，TM?平面TBC，所以AH⊥平面TBC.所以∠ACH為直線AC與平面BCC1在正三棱臺ABC-A1B1C1中，則TA=2，AM=TM=3，AO=在等腰△MTA中，AH=TO=T在Rt△AHC中，sin所以直線AC與平面BCC1B法二：過O作Oy∥BC.以O為坐標原點，OA，Oy，OT所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.在正三棱臺ABC-A1B1C1中，則A233,0,0，C-設上底面A1B1C1的中心為OA1O1=1故O10,0,6所以C1-3設m=x,y,z為平面即m?CB=-2y=0x,y,zm?C所以m=22,0,-1又CA=所以cosm設直線AC與平面BCC1B所以sinθ=所以直線AC與平面BCC1B（3）解：記電子貓在n次運動后“在下底面ABC”為事件Mn，“在上底面A1B1顯然，當n≥2，n∈N*時，PM由全概率公式，當n≥2，n∈N可得PM即pn=p所以當n≥2，n∈N*時，又p1=23，所以當n≥2，n∈N*時，所以數列pn-12是首項為故pn可得pn19．已知雙曲線C:x2-y2b2=1b>0的兩條漸近線分別為l1:y=3x，l2:y=-3x，若點A，B分別在l1，l2上（A，B不同于原點O（1）寫出C的一個“漸切三角形”的頂點A，B的坐標及切線AB的方程，并求出其面積；（2）已知點Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0分別在l（3）若△OAB是C的“漸切三角形”，AB與C相切的切點M的橫坐標大于0，F為C的左焦點，證明：∠AFB為定值．（1）解：由題意可得，雙曲線的漸近線方程為y=±bx,b>0，故b=3則C:x2-y23=1不妨取切點為1,0，則切線方程為x=1，此時A1,則S△OAB（2）解：若直線AB斜率不存在，不妨設AB:x=m，則Am,則S△OAB=1此時直線AB:x=±1與曲線C相切，即△OAB是C的“漸切三角形”，若直線AB斜率存在，設AB:y=kx+m，聯立y=kx+mx2-則k2≠3,x則AB=又點O到直線AB的距離d