高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.兩個(gè)單位向量一定相等B.兩個(gè)相等的向量起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同C.共線的單位向量必相等D.若與不共線，則與都是非零向量【答案】D【解析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)單位向量的定義，單位向量的方向不確定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，兩個(gè)向量相等只需要長(zhǎng)度相等，方向相同，但起點(diǎn)不一定相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，共線的單位向量可能方向相反，此時(shí)兩向量不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都共線，故若與不共線，則與都是非零向量，D正確.故選：D2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.4 C. D.4i【答案】A【解析】依題意，，其虛部為.故選：A3.在中，已知角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則由正弦定理可設(shè)，.由余弦定理得.故選：C.4.已知三點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C5.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，所?故選：C6.在中，邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故，故選：A.7.如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內(nèi)水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時(shí)，有，整理得．因?yàn)?，，，，則D選項(xiàng)更接近．故選：D．8.如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合線段，如圖所示，所以求的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，求的最小值．因此作于，則與的距離即為所求的最小值，，故的最小值是1．故選：A．二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】因?yàn)橄蛄?，，若，則，所以，故A正確；若，則，所以，故B正確；若，解得，故C錯(cuò)誤；若，則，所以，故D正確；故選：ABD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（）A.該圓錐的母線長(zhǎng)為B.該圓錐的體積為C.該圓錐的側(cè)面積為D.該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為【答案】ABD【解析】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，如下圖所示：因?yàn)檩S截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設(shè)該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯(cuò)誤；設(shè)該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選：ABD．11.已如的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列結(jié)論證確的是（）A.若，則B.若，則是直角三角形C.若，則是銳角三角形D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，在中，，則，由正弦定理得，A正確；對(duì)于B，，則，在中，，則，即，則，，即是直角三角形，B正確；對(duì)于C，由，得，即，而為內(nèi)角，因此為鈍角，即是鈍角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，同理，則，即，而，因此，即，D正確.故選：ABD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，.故答案為：.13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得．又，所以，故．又因?yàn)?，所以．故答案為?14.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長(zhǎng)為4，則它的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R，給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又和交于點(diǎn)，平面，所以平面，所以為正八面體的中心，所以到八個(gè)面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面切于點(diǎn)，所以平面，所以即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以，因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為4，所以，，，所以，，因?yàn)?，，所以，即，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為：．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)復(fù)數(shù)，．（1）若是實(shí)數(shù)，求；（2）若是純虛數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)．解：（1），是實(shí)數(shù)，，即，．（2）．是純虛數(shù)，，即，，的共軛復(fù)數(shù)為．16.已知與是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）在平面直角坐標(biāo)系下，若，求在方向上的投影向量的坐標(biāo).解：（1）.（2）因?yàn)?，所?（3）在方向上的投影向量為.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求．（2）若，且三角形的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）∵，又，所以．（2），即，由余弦定理得：．解得：所以的周長(zhǎng)18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，截去三棱錐.（1）求截去的三棱錐的表面積與剩余的幾何體的體積；（2）在剩余的幾何體中連接，求四棱錐的體積.解：（1）在正方體中，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，可得，所以截去的三棱錐的表面積為：.在正方體中，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，可得正方體的體積為，又因?yàn)槠矫?，即為三棱錐的高，可得，所以幾何體的體積為.（2）由（1）可得：四棱錐的體積.19.在中，角的對(duì)邊分別為，向量