第十章第54講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式計(jì)數(shù)原理、概率及其分布鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.(人A必二P250習(xí)題T1)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為 (

)A.互斥 B.互為對(duì)立事件 C.相互獨(dú)立 D.相等【解析】C2.(人A必二P250習(xí)題T2)假設(shè)P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝_______，P(A∪B)＝_______．【解析】因?yàn)镻(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94.0.560.943.(人A選必三P48習(xí)題T1)設(shè)A?B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，則P(B|A)＝____，P(A|B)＝_____．【解析】14.(人A選必三P52習(xí)題T3)甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6，乙命中目標(biāo)的概率為0.5，若目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為_______．【解析】0.755.(人A選必三P52練習(xí)T4)甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球．則摸到紅球的概率是_____．【解析】P(A)P(B)BP(A)·P(B|A)3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有________________________，我們稱上面的公式為全概率公式．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1相互獨(dú)立事件的判斷(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．事件甲＝“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件丙＝“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件?。健皟纱稳〕龅那虻臄?shù)字之和是7”，則 (

)A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立1【解析】【答案】B求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法：(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．(2024·湛江一模)在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng)．設(shè)事件M＝“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”，事件N＝“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件X＝“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件Y＝“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則 (

)A.事件M與事件N相互獨(dú)立 B.事件X與事件Y相互獨(dú)立C.事件M與事件Y相互獨(dú)立 D.事件N與事件Y相互獨(dú)立變式1

【解析】【答案】C目標(biāo)2條件概率2【解析】【答案】ACD【解析】變式2

A目標(biāo)3全概率公式3(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；【解答】(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個(gè)班的可能性最大．【解答】若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體怎樣未知，那么：①如果要求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；②如果第二階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式．(2024·惠州一模)全國“村BA”籃球賽點(diǎn)燃了全民的運(yùn)動(dòng)激情，深受廣大球迷的喜愛．每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某個(gè)賽季的所有比賽中，甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)情況如下表：變式3

甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)勝負(fù)上場(chǎng)40

45未上場(chǎng)

3

合計(jì)42

【解答】根據(jù)題意，可得如下2×2列聯(lián)表：(1)完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值

α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān)？(附：x0.01＝6.635)甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)勝負(fù)上場(chǎng)40545未上場(chǎng)235合計(jì)42850【解答】設(shè)事件A＝“甲球員上場(chǎng)打前鋒”，事件B＝“甲球員上場(chǎng)打中鋒”，事件C＝“甲球員上場(chǎng)打后衛(wèi)”，事件D＝“球隊(duì)贏球”，則P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.7，P(D|B)＝0.8，P(D|C)＝0.6，所以當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，球隊(duì)贏球的概率P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.7＋0.5×0.8＋0.2×0.6＝0.73.(2)由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.①當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；【解答】②當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率(精確到0.01).4抽象事件的概率及運(yùn)算新視角【解析】【答案】BD可用如圖所示的Venn圖來解決此類問題：【解析】D(2024·濱州二模)已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則下列說法正確的是 (

)A.若P(AB)＝0.9，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B相互獨(dú)立，則P(A|B)＝0.6C.若P(A|B)＝0.5，則P(AB)＝0.25 D.若B?A，則P(B|A)＝0.8變式4

1.(2024·青島一模)(多選)袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B＝“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C＝“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則

(

)A.事件A與B是互斥事件B.事件A與B是對(duì)立事件C.事件B與C是互斥事件D.事件B與C相互獨(dú)立【解析】【答案】AB【解析】【答案】A【解析】【答案】BCD4.(2024·上海卷)某校舉辦科學(xué)競技比賽，有A，B，C三個(gè)題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是_______．【解析】0.85配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、

單項(xiàng)選擇題1.(2023·全國甲卷理)有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部．若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為 (

)A.0.8

B.0.4

C.0.2

D.0.1【解析】A【解析】D【解析】【答案】D4.(2024·福州2月質(zhì)檢)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為5∶3∶2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則x的可能取值為 (

)A.1.21

B.1.34

C.1.49

D.1.51【解析】【答案】D【解析】BC6.(2024·呂梁二模)甲、乙兩名同學(xué)分別從a，b，c，d四門不同的選修課中隨機(jī)選修兩門．設(shè)事件X＝“a，b兩門選修課中，甲同學(xué)至少選修一門”，事件Y＝“乙同學(xué)一定不選修c”，事件Z＝“甲、乙兩人所選選修課至多有一門相同”，事件W＝“甲、乙兩人均選修d”，則 (

)A.P(X)＝P(Z)

B.P(Y)＝P(W)C.X與Y相互獨(dú)立 D.Z與W相互獨(dú)立【解析】AC【解析】【答案】ABD三、

填空題8.(2024·天津卷)A，B，C，D，E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加．甲選到A的概率為_____；已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為_____．【解析】【解析】10.某校中學(xué)生籃球隊(duì)集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球(即沒有用過的球)，3個(gè)是舊球(即至少用過一次的球)．每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為_____．【解析】四、

解答題11.(2025·肇慶期初聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)一種零件，該零件的質(zhì)量分為三種等級(jí)：一等品、二等品和次品．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該工廠生產(chǎn)一等品、二等品和次品的概率分別為0.7，0.2和0.1.現(xiàn)對(duì)一批剛生產(chǎn)出來的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方式分為兩種：自動(dòng)檢測(cè)和人工抽檢，自動(dòng)檢測(cè)能將一等品全部正確識(shí)別，但有5%的概率將二等品誤判為次品，有15%的概率將二等品誤判為一等品，也有10%的概率將次品誤判為二等品．(1)求在自動(dòng)檢測(cè)下，一個(gè)被判斷為次品的零件實(shí)際上就是次品的概率．【解答】11.(2025·肇慶期初聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)一種零件，該零件的質(zhì)量分為三種等級(jí)：一等品、二等品和次品．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該工廠生產(chǎn)一等品、二等品和次品的概率分別為0.7，0.2和0.1.現(xiàn)對(duì)一批剛生產(chǎn)出來的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方式分為兩種：自動(dòng)檢測(cè)和人工抽檢，自動(dòng)檢測(cè)能將一等品全部正確識(shí)別，但有5%的概率將二等品誤判為次品，有15%的概率將二等品誤判為一等品，也有10%的概率將次品誤判為二等品．(2)假設(shè)零件先經(jīng)過自動(dòng)檢測(cè)，若判斷為一等品，則進(jìn)行人工抽檢；若判斷為二等品或次品，則直接淘汰．求人工抽檢一個(gè)零件，該零件恰好是一等品的概率．【解答】11.(2025·肇慶期初聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)一種零件，該零件的質(zhì)量分為三種等級(jí)：一等品、二等品和次品．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該工廠生產(chǎn)一等品、二等品和次品的概率分別為0.7，0.2和0.1.現(xiàn)對(duì)一批剛生產(chǎn)出來的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方式分為兩種：自動(dòng)檢測(cè)和人工抽檢，自動(dòng)檢測(cè)能將一等品全部正確識(shí)別，但有5%的概率將二等品誤判為次品，有15%的概率將二等品誤判為一等品，也有10%的概率將次品誤判為二等品．12.(2024·寧波二模)三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為3n(n≥2，