2.6函數(shù)模型及其應(yīng)用(1)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型得出數(shù)學(xué)結(jié)果解決實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)要求1．了解解實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟；2．初步學(xué)會(huì)根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式的方法；3．滲透建模思想，初步具有建模的能力.【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)1．?dāng)?shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題，得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述．2.數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式后一般都要考察定義域．【精典范例】例1．寫(xiě)出等腰三角形頂角（單位：度）與底角的函數(shù)關(guān)系．【解】點(diǎn)評(píng):函數(shù)的定義域是函數(shù)關(guān)系的重要組成部分．實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域，不僅要使函數(shù)表達(dá)式有意義，而且要使實(shí)際問(wèn)題有意義．聽(tīng)課隨筆例2．某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為萬(wàn)元,生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為元,每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為元.分別寫(xiě)出總成本(萬(wàn)元)、單位成本（萬(wàn)元）、銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）以及利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于總產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式.聽(tīng)課隨筆分析：銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本,其中成本(固定成本可變成本).【解】總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為.單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為.銷(xiāo)售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為.利潤(rùn)與總產(chǎn)量的關(guān)系為．例3．大氣溫度隨著離開(kāi)地面的高度增大而降低，到上空為止，大約每上升，氣溫降低，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變（設(shè)地面溫度為）．【解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，．綜上，所求函數(shù)關(guān)系為；（2）由（1）知，處的氣溫為，處的氣溫為．點(diǎn)評(píng):由于自變量在不同的范圍中函數(shù)的表達(dá)式不同，因此本例第1小題得到的是關(guān)于自變量的分段函數(shù)；第2小題是已知自變量的值，求函數(shù)值的問(wèn)題．追蹤訓(xùn)練一1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱(chēng)為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為件時(shí)的成本函數(shù)是（元），若每售出一件這種商品的收入是元，那么生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種商品的數(shù)量是件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到.2．有部同樣的機(jī)器一起工作，需要小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù).設(shè)由部機(jī)器（為不大于的正整數(shù)）完成同一任務(wù)，求所需時(shí)間（小時(shí)）與機(jī)器的部數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.分析：解答應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)是要轉(zhuǎn)化題意，該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知機(jī)器的部數(shù)，求所需時(shí)間，需要先求出每部機(jī)器單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量.解：一部機(jī)器一小時(shí)完成這項(xiàng)任務(wù)的，部機(jī)器一小時(shí)完成這項(xiàng)任務(wù)的，所以部機(jī)器完成這項(xiàng)任務(wù)所需時(shí)間（小時(shí)）為，其中為不大于的正整數(shù)3．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量（微克）與時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).（為線(xiàn)段，為某二次函數(shù)圖象的一部分，為原點(diǎn)）.（1）寫(xiě)出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，對(duì)治療有效，求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間.聽(tīng)課隨筆聽(tīng)課隨筆解：（1）由已知得（2）當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，∴∴，∴，因此服藥一次治療疾病有效的時(shí)間約為小時(shí).【選修延伸】一、函數(shù)與圖象高考熱點(diǎn)1:（2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用電量（千瓦時(shí)）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系，如圖所示，圖（1）表示某年個(gè)月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年個(gè)月中每個(gè)月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（）A.氣溫最高時(shí)，用電量最多B.氣溫最低時(shí)，用電量最少C.當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加D.當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫漸低而增加答案：C分析：該題考查對(duì)圖表的識(shí)別和理解能力.【解】經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，月份用電量最多，而月份氣溫明顯不是最高.因此項(xiàng)錯(cuò)誤.同理可判斷出項(xiàng)錯(cuò)誤.由、、三個(gè)月的氣溫和用電量可得出項(xiàng)正確.思維點(diǎn)拔：數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般求解程序（1）審題：弄清題目意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將題目條件的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）結(jié)論：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義，并根據(jù)題意下結(jié)論．追蹤訓(xùn)練二1.有一塊半徑為的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是⊙O的直徑，上底的端點(diǎn)在圓周上，寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)和腰長(zhǎng)間的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域．分析：關(guān)鍵是用半徑與腰長(zhǎng)表示上底，由對(duì)稱(chēng)性：，故只要求出．聽(tīng)課隨筆解：設(shè)腰長(zhǎng)，作垂足為，連結(jié)，則，∴∽，聽(tīng)課隨筆∴，，∴∴周長(zhǎng)，∵是圓內(nèi)接梯形∴，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?．一個(gè)圓柱形容器的底部直徑是，