試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省2024-2025高一數(shù)學下學期模擬卷（3）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________（三角函數(shù)與解三角形、平面向量、立體幾何、概率統(tǒng)計、復數(shù)）一、單選題1．已知，則（

）A．1 B． C． D．22．如圖，用三種不同元件連接成系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其它元件的影響．當元件都正常工作或正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率分別為，則系統(tǒng)正常工作的概率為（

）A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.9563．已知向量滿足：.則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．54．如圖所示，在空間直角坐標系中，三棱錐各個頂點的坐標分別為，，，，則該三棱錐側視圖的面積為（

）A．9 B．8 C．7 D．65．已知，則（

）A． B． C． D．6．從五棱錐的6個頂點中隨機選取4個，則這4個頂點在同一個平面內的概率是（

）A． B． C． D．7．已知平面向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．38．在中，為的三等分點，則A． B． C． D．二、多選題9．對任意復數(shù)，，定義，其中是的共軛復數(shù)，對任意復數(shù)，，，下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．10．已知事件滿足，則下列判斷可能正確的是（

）A．獨立 B．對立C． D．11．如圖，在棱長為4的正方體中，分別為的中點，是線段（含端點）上的一個動點，則（

）A．點到平面的距離為定值B．平面截正方體所得的截面為六邊形C．若，且，則為線段的中點D．直線與平面所成角的正切值的取值范圍為三、填空題12．一只青蛙在正方體的頂點A處，每次等概率的跳躍到相鄰三個頂點中的一個，那么六次跳躍后回到頂點A的概率為．13．以點O為球心，半徑為的球的表面與以點O為頂點，棱長為6的正四面體表面的交線為P，則P的總長度為．14．在中，，，在邊上存在一點，滿足，作，為垂足，若角，則的取值范圍是．四、解答題15．已知四邊形是平行四邊形，且，，.(1)求點的坐標；(2)求平行四邊形的面積.16．象棋是中華民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化遺產，為弘揚棋類運動精神，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，豐富校園文化生活，培養(yǎng)學生良好的心態(tài)和認真謹慎的生活觀，某學校高一年級舉辦象棋比賽.比賽分為初賽和決賽.初賽采用線上知識能力競賽，共有500名學生參加，從中隨機抽取了50名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如圖頻率分布直方圖：(1)根據(jù)直方圖，求的值，并估計這次知識能力競賽的平均數(shù)；(2)決賽環(huán)節(jié)學校決定從知識能力競賽中抽出成績最好的兩個同學甲和乙進行現(xiàn)場棋藝比拼，比賽采取三局兩勝制.若甲每局比賽獲勝的概率均為，且各輪比賽結果相互獨立.求甲最終獲勝的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，分別是棱的中點．(1)證明：；(2)證明：平面．18．在中，.（1）若，求的值；（2）設向量，，且，求的值.19．借助三角函數(shù)定義及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖象的旋轉問題.試解答下列問題.（1）在直角坐標系中，點，將點繞坐標原點按逆時針方向旋轉到點，如果終邊經過點的角記為，那么終邊經過點的角記為.試用三角函數(shù)定義，求點的坐標；（2）如圖，設向量，把向量按逆時針方向旋轉角得向量，試用h、k、θ表示向量的坐標；（3）設、為不重合的兩定點，將點B繞點A按逆時針方向旋轉角得點C.判斷C是不能夠落在直線上，若能，請求出θ的三角函數(shù)值（正弦、余弦、正切不限），若不能，說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《山東省2024-2025高一數(shù)學下學期模擬卷（3）》參考答案題號12345678910答案BDBADCCBABAC題號11答案ACD1．B【分析】利用復數(shù)的除法法則求得，進而可求.【詳解】由，可得，所以.故選：B.2．D【分析】利用對立事件的概率公式將目標事件合理轉化，再結合獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意得，，，且系統(tǒng)正常工作的對立事件為系統(tǒng)不都正常工作且也不正常工作，而每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，則相互獨立，可得不都正常工作的概率為，故系統(tǒng)不正常工作的概率為，由對立事件的概率公式得系統(tǒng)正常工作的概率為，故D正確.故選：D3．B【分析】根據(jù)條件及不等式求最大值即可.【詳解】因為，當且僅當時等號成立，所以的最大值為.故選：B4．A【分析】由題意，畫出三棱錐的側視圖，利用割補法即可求解側視圖的面積.【詳解】解：由題意，該三棱錐側視圖為如圖所示的四邊形及對角線（實線）和（虛線），過作垂直于軸，過作垂直于軸，所以側視圖的面積為，故選：A.5．D【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得結果.【詳解】.故選：D．6．C【分析】計算出所有可能情況及符合要求的情況即可得.【詳解】從五棱錐的6個頂點中隨機選取4個的不同選取方法有種，其中選取的4個頂點在同一個平面內的不同選取方法有種，則所求概率．故選：C.7．C【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉化為求的最值，利用外接圓數(shù)形結合可求最值.【詳解】設，如圖，

由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長至，使，則，由正弦定理，三點所在外接圓的直徑，所以，設圓心為，如圖，

所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C8．B【詳解】試題分析：因為，所以，即，即．所以，故應選．考點：1、平面向量的數(shù)量積的應用．9．AB【分析】利用新定義和復數(shù)的運算性質求解．【詳解】對任意復數(shù)，，定義，其中是的共軛復數(shù)，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，令，，則，，所以，故D錯誤．故選：AB．10．AC【分析】根據(jù)事件獨立、對立的概念和公式進行逐項判斷.【詳解】對于選項A：若獨立，則，在范圍內，所以A可能正確.對于選項B：因為，所以不對立，所以B錯誤；對于選項C：，.若，則，所以，解得.當獨立時，，C可能正確.對于選項D：，解得，所以D錯誤.故選：AC.11．ACD【分析】由正方體及線面平行的性質判斷A；由平面的基本性質直接判斷B；由空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出，即可判斷C；根據(jù)對稱性求出點到平面的距離，結合確定線面角正弦值范圍，進而得到正切值范圍判斷D.【詳解】由題意，，面，面，可得面，又，故點到平面的距離為定值，A對；由，則平面截正方體所得為四邊形，B錯；由圖，令且，所以，即為線段的中點，C對；由A分析及題設知，點到平面的距離，即為點到平面的距離，即點到線段的距離，故所求距離，而，若直線與平面所成角為，則，所以，D對.故選：ACD12．【分析】移動偶數(shù)次返回的路徑數(shù)，考慮從出發(fā)移動次后所在點，再分類探討得遞推公式，利用累加法求出，進而求出概率即可得解.【詳解】由點A出發(fā)，經過偶數(shù)次移動只能到達點，經過奇數(shù)次移動后只能到達，考慮移動（為偶數(shù)）次返回到的路徑數(shù)為，顯然；由于移動次后只能位于點，其中位于再移動1次可回到，則考慮移動次后所在點，把這4個點分成兩類，點和點，若在點，路徑數(shù)為，再移動2次返回到只有3種折返路徑；若在（路徑數(shù)為）中的一個，再移動2次返回路徑數(shù)，每個點處都有2條路徑（），因此移動（為偶數(shù)）次返回到的路徑數(shù)，即，累加得，總路徑數(shù)為，因此青蛙跳躍（為偶數(shù)）次后恰好回到的概率，所以六次跳躍后回到頂點A的概率為故答案為：13．【分析】先在正四面體中求出高，判斷出底面與球相交，交線是一個圓，進而求出底面圓的半徑為，即可求出球與底面相交的交線長；然后在側面在三個側面等邊三角形中，求出到對邊中點的距離都是，即可得知每個側面與球的交線是以為圓心，以為半徑，圓心角為的圓弧，算出三個側面與球相交的總弧長，即可求出交線P的總長度.【詳解】

如圖所示的正四面體，棱長為6，設底面中心為，在等邊中，為邊的中點，可知，所以在中，求得正四面體的高，所以正四面體的底面與球相交，交線是一個圓，圓心恰為，設底面圓的半徑為，則，所以球與底面交線的周長為.在三個側面等邊三角形中，到對邊中點的距離都是，例如，所以每個側面與球的交線是以為圓心，以為半徑，圓心角為的圓弧，所以弧長為，所以三個側面的總弧長為.所以交線P的總長度為.故答案為：14．【詳解】由題意可得，由正弦定理，，所以，填．15．(1)(2)12【分析】（1）設點D的坐標為，結合即可求解；（2）根據(jù)題意，先求出的夾角余弦值，進而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）設點D的坐標為．由題意得，．因為，所以，解得，所以點D的坐標為．（2）由，，則，，，則，所以，則平行四邊形的面積為.16．(1)，78(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各組頻率之和等于1求出，由頻率分布直方圖估算平均數(shù)計算得解；（2）由題，甲最終獲勝，比分可能是，，分別求出概率，再根據(jù)互斥事件的概率公式求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，的頻率為的頻率為的頻率為0.42，的頻率為0.08，所以的頻率為，所以，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數(shù)：分.（2）因為甲最終獲勝，比分可能是，，設甲獲勝為事件A，獲勝為事件，若甲獲勝，則概率為，若甲獲勝，則概率為，又A，B兩個事件互斥，則甲最終獲勝的概率為.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證和，再由線線垂直證明線面垂直，易得；（2）取的中點，易證，得到，則得，由線線平行即得線面平行.【詳解】（1）如圖，連接交于點，由四邊形是正方形，可得，

因平面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）如圖，取的中點，連接，由分別是棱的中點．可得，又，則，即得，所以因平面，平面，所以平面．18．（1）；（2）.【分析】(1)先由推出，再由向量數(shù)量積條件得出，最后利用等式求出的值.(2)由向量平行條件推出，再用求值.【詳解】因為在中，，所以，.(1)若，則，，.，解得或.若，則，，，，不符合題意，舍去.所以.(2)因為，所以，，所以，..19．(1)；(2)；(3)能，【分析】（1）計算出以及、的值，利用兩角和的正弦和余弦公