2025年余干中競賽試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∩B=空集，則a的取值范圍是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,∞)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(0,∞)2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.在等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_5=5，則a_10的值為（）A.9B.10C.11D.124.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則z^2的模為（）A.1B.-1C.±1D.05.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到直線3x+4y-5=0的距離為d，若d的最小值為1，則點P的軌跡方程為（）A.3x+4y=6B.3x+4y=4C.3x-4y=6D.3x-4y=46.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，則f(2025)的值為（）A.0B.1C.-1D.無法確定7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，則cosA的值為（）A.1/2B.1/3C.3/4D.1/48.已知拋物線y^2=2px（p>0）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則p的值為（）A.1B.2C.3D.49.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a:b:c=3:4:5，則sinA:sinB:sinC的值為（）A.3:4:5B.6:8:10C.9:12:15D.12:16:2010.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(x)的極值點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題4分，共20分）1.若直線y=kx+1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=1相交于兩點，則k的取值范圍為________。2.在等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，則a_7的值為________。3.已知銳角△ABC中，角A=60°，邊a=1，邊b=2，則sinB的值為________。4.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為________。5.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和為1，則點P的軌跡方程為________。三、解答題（共50分）1.(10分)解方程x^3-3x^2+2x=0。2.(10分)已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的極值。3.(10分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，求cosA的值。4.(10分)已知拋物線y^2=2px（p>0）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，求拋物線的方程。5.(10分)在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和為1，求點P的軌跡方程。答案及解析一、選擇題1.C解析：A={x|x<1或x>2}，B={x|x=1/a}，若A∩B=空集，則1/a不能在(-∞,1)∪(2,∞)中，即a不能在(-1,0)∪(0,1)中。2.C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點x到點1和點-2的距離之和，最小值為3。3.C解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，a_5=a_1+4d=5，d=1，a_10=a_1+9d=10+1=11。4.A解析：|z^2|=|z|^2=1。5.A解析：點P到直線3x+4y-5=0的距離為d=|3x+4y-5|/5，最小值為1，即|3x+4y-5|=5，解得3x+4y=6或3x+4y=0。6.A解析：f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，周期為4，f(2025)=f(1)=0。7.D解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(9+16-4)/(234)=1/4。8.B解析：焦點到準(zhǔn)線的距離為p/2=2，p=4。9.B解析：由正弦定理，sinA:a=sinB:b=sinC:c，即sinA:sinB:sinC=a:b:c=6:8:10。10.C解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，極值點個數(shù)為2。二、填空題1.(-3-√5)/4<k<(-3+√5)/4解析：聯(lián)立直線和圓的方程，得到(x-1)^2+(kx+1-2)^2=1，化簡為(x-1)^2+(kx-1)^2=1，解得k的取值范圍。2.128解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，a_4=a_1q^3，q=2，a_7=a_1q^6=264=128。3.√3/2解析：由正弦定理，sinA=a/bsinB，sinB=asinA/b=1√3/2/2=√3/4。4.1解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。5.x^2+y^2=1解析：由橢圓定義，點P到A和B的距離之和為1，軌跡為圓。三、解答題1.解方程x^3-3x^2+2x=0解析：因式分解為x(x^2-3x+2)=0，解得x=0，x=1，x=2。2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的極值解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，f(x)在x=1-√3/3處取得極大值，在x=1+√3/3處取得極小值。3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，求cosA的值解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(9+16-4)/(234)=1/4。4.已知拋物線y^2=2px（p>0）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，求拋物線的方程解析：焦