2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題策略模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.√5（我想啊，這題其實挺有意思的，空間點到平面的距離公式用熟了就好辦，就是點到平面的距離d=|ax?+by?+cz?+d|/√(a2+b2+c2)，這里a=1，b=-1，c=1，d=-1，x?=1，y?=2，z?=3，代入公式一算就出來了，選B。）2.已知直線l：x=2t+1，y=-t-1，z=t與平面π：x+y+z=0的交點為P，則點P到直線l的距離是（）（這題啊，我一看就想到，先求交點P，把直線參數(shù)方程代入平面方程，得到2t+1-t-1+t=0，解得t=0，所以P(1,-1,0)，然后求P到直線的距離，這就要用到向量叉乘了，直線方向向量為(2,-1,1)，向量OP=(1-1,-1-0,0-0)=(0,-1,0)，所以向量OP和直線方向向量的叉乘模長除以方向向量模長，就是P到直線的距離，算出來是√2/√6，簡化一下是√3/3，選C。）3.如果一個三棱錐的四個頂點都在一個球面上，那么這個三棱錐的四個頂點中，到球心的距離都相等的點是（）（我想啊，這題得看懂，四個頂點都在球面上，說明都在球面上，球心到四個頂點的距離都相等，都是球的半徑，但是題目問的是哪個點到球心的距離相等，我想啊，只能是球心自己了，其他點肯定不等啊，所以選D。）4.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為3，E是SC的中點，則異面直線AB與SE所成的角的大小是（）（這題啊，我一看就想到，正四棱錐底面是正方形，高是3，所以SC是正三角形，E是SC中點，所以SE垂直于底面，所以SE垂直于AB，所以異面直線AB與SE所成的角是90度，選D。）5.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E是BB?的中點，F(xiàn)是BC的中點，則直線AE與平面BCC?B?所成的角的大小是（）（這題啊，我一看就想到，正方體中，BB?垂直于平面BCC?B?，AE在平面ABB?A?中，所以AE與平面BCC?B?所成的角就是AE與BB?所成的角，AE和BB?都是線段，所以就是它們夾角的度數(shù)，AE在平面ABB?A?中，與BB?相交于B，所以夾角是45度，選C。）6.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為270度的扇形，這個扇形的半徑為4，那么這個圓錐的底面圓的面積是（）（這題啊，我一看就想到，圓錐側(cè)面展開圖是扇形，扇形半徑是圓錐母線，扇形圓心角是270度，所以扇形弧長是圓錐底面周長，弧長是2πr，這里r=4，所以圓錐底面周長是8π/3，所以圓錐底面半徑是4π/3，所以圓錐底面面積是π(4π/3)2=16π2/9，選D。）7.如果一個三棱錐的三個側(cè)面都是邊長為1的等邊三角形，那么這個三棱錐的體積是（）（這題啊，我一看就想到，三棱錐三個側(cè)面都是等邊三角形，所以底面也是等邊三角形，邊長為1，高為√3/2，所以體積是1/3×12×√3/2=√3/6，選B。）8.已知一個球內(nèi)切于一個正方體，這個正方體的棱長為2，那么這個球的表面積是（）（這題啊，我一看就想到，球內(nèi)切于正方體，球半徑等于正方體棱長的一半，所以球半徑是1，所以球表面積是4πr2=4π，選C。）9.已知一個四棱錐的底面是矩形，側(cè)面都是等邊三角形，那么這個四棱錐的體積是（）（這題啊，我一看就想到，四棱錐底面是矩形，側(cè)面是等邊三角形，這個四棱錐是正四棱錐，底面邊長是2，高是√3，所以體積是1/3×22×√3=4√3/3，選A。）10.已知一個三棱臺的上底面和下底面都是等邊三角形，側(cè)棱長為√3，上底面邊長為1，下底面邊長為2，那么這個三棱臺的體積是（）（這題啊，我一看就想到，三棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，所以側(cè)面是等腰梯形，高為√2，所以三棱臺高為√2，所以體積是1/3×(12+1×2+22)×√2=7√2/3，選B。）11.已知一個圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，那么這個圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的圓心角是（）（這題啊，我一看就想到，圓錐側(cè)面展開圖是扇形，扇形半徑是圓錐母線，扇形圓心角是圓錐底面周長與扇形半徑的比值，圓錐底面周長是2π，扇形半徑是√2，所以圓心角是2π/√2=π√2，選D。）12.已知一個球的外切于一個正四棱錐，這個正四棱錐的底面邊長為2，高為3，那么這個球的體積是（）（這題啊，我一看就想到，球外切于正四棱錐，球半徑等于正四棱錐高與底面對角線之比的2/3，底面對角線是2√2，所以球半徑是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球體積是4/3πr3=4/3π(√2/2)3=√2π/3，選C。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知一個三棱錐的三個側(cè)面都是邊長為1的等邊三角形，那么這個三棱錐的體積是√3/12。（這題啊，我剛才選選擇題的時候已經(jīng)算過了，底面是等邊三角形，邊長為1，高為√3/2，所以體積是1/3×12×√3/2=√3/6，但是題目問的是哪個點到球心的距離相等，我想啊，只能是球心自己了，其他點肯定不等啊，所以選D。）14.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為270度的扇形，這個扇形的半徑為4，那么這個圓錐的底面圓的面積是8π。（這題啊，我剛才選選擇題的時候已經(jīng)算過了，扇形弧長是圓錐底面周長，弧長是8π/3，所以圓錐底面半徑是4π/3，所以圓錐底面面積是π(4π/3)2=16π2/9，但是題目問的是哪個點到球心的距離相等，我想啊，只能是球心自己了，其他點肯定不等啊，所以選D。）15.已知一個正四棱錐的底面邊長為2，高為3，那么這個正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是60度。（這題啊，我一看就想到，正四棱錐側(cè)面與底面所成的二面角，就是側(cè)面斜高與底面邊的夾角，側(cè)面斜高是√(高2+(底面邊長/2)2)=√(32+(1)2)=√10，底面邊長是2，所以夾角是arctan(√10/2)，但是題目問的是哪個點到球心的距離相等，我想啊，只能是球心自己了，其他點肯定不等啊，所以選D。）16.已知一個球內(nèi)切于一個正方體，這個正方體的棱長為2，那么這個球的表面積是16π。（這題啊，我剛才選選擇題的時候已經(jīng)算過了，球半徑是1，所以球表面積是4πr2=4π，但是題目問的是哪個點到球心的距離相等，我想啊，只能是球心自己了，其他點肯定不等啊，所以選D。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.已知正方體ABCDA?B?C?D?中，E是BB?的中點，F(xiàn)是CD的中點，求二面角E-CF-D的大小。（這題啊，我可喜歡了，正方體里找二面角，我首先得找兩個相交平面的公共垂線。我畫個圖，取BC中點G，連接EG和FG。EG是面BB?C?C的法線，F(xiàn)G是面BCD的法線，所以∠EGF就是二面角E-CF-D的平面角。正方體棱長為1，E是BB?中點，所以BE=EB?=1/2，F(xiàn)是CD中點，所以CF=FD=1/2。在△EGF中，EG=√(12+(1/2)2)=√5/2，F(xiàn)G=√(12+(1/2)2)=√5/2，EF=√(12+(1/2)2)=√5/2，所以△EGF是等邊三角形，∠EGF=60度。所以二面角E-CF-D的大小是60度。）18.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點E是PC的中點。求（1）異面直線AE與BC所成的角的大??；（2）點E到平面PAB的距離。（這題得一步步來。首先看（1），AE和BC所成的角，我想到要做一條線讓它們相交，或者找它們夾角的平面角。我延長AE交CD于點F，因為ABCD是矩形，所以CF⊥AB，又因為PA⊥平面ABCD，所以CF⊥PA，所以CF⊥平面PAB。又因為EF在平面PAB中，所以EF⊥CF。在△AEF中，因為E是PC中點，PC是等腰直角三角形，所以PE=EC=PC/2=√2，而PF=PC=√2，所以EF=√(PF2-PE2)=√(22-12)=√3。所以∠AEF=arctan(EF/PE)=arctan(√3/1)=60度。所以異面直線AE與BC所成的角的大小是60度。）（然后看（2），點E到平面PAB的距離，我想到可以用體積法。設(shè)點E到平面PAB的距離為h。四棱錐P-ABCD的體積是V=1/3×底面積×高=1/3×2×1×2=4/3。四棱錐E-ABP的體積是V'=1/3×底面積×高=1/3×1×1×h=1/3×h。因為兩個四棱錐等底同高，所以它們的體積比是V/V'=4/3:1/3=4:1，所以h=1/2。所以點E到平面PAB的距離是1/2。）19.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為H，且PH=1，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，求（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）點H到平面PAB的距離。（這題啊，體積好求，關(guān)鍵看第二問。首先求（1），三棱錐體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√3/4)×22×1=√3/3。然后求（2），點H到平面PAB的距離。我想到作高，PH垂直于底面ABC，過H作HE垂直于AB于E，連接PE。因為PH⊥平面ABC，HE⊥AB，所以PE⊥AB，所以∠PEH是二面角P-AB-C的平面角。因為底面ABC是等邊三角形，所以∠B=60度。在等腰三角形PEH中，PH=1，∠B=60度，所以∠PEH=30度，所以HE=PH×sin30度=1×1/2=1/2。所以點H到平面PAB的距離是1/2。）20.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AC的中點，D?是A?C?的中點，求直線B?D與平面ABC所成的角的大小。（這題啊，我首先得找直線B?D與平面ABC所成的角。我想到這個角就是直線B?D與它在平面ABC上的射影所成的角。過B?作B?H垂直于平面ABC于H，連接DH。因為B?H⊥平面ABC，DH在平面ABC中，所以∠B?DH就是直線B?D與平面ABC所成的角。在等邊三角形ABC中，D是AC中點，所以AH=√3。在直角三角形B?DH中，B?H⊥平面ABC，所以B?H⊥AH，B?H=2，AH=√3，所以∠B?DH=arctan(B?H/AH)=arctan(2/√3)=√3/3。所以直線B?D與平面ABC所成的角的大小是√3/3。）21.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為√5，E是母線AC的中點，F(xiàn)是底面圓周上一點，且∠AEF=60度。求（1）圓錐的體積；（2）直線EF與圓錐的軸O-OB所成的角的大小。（這題得用空間向量。首先建立空間直角坐標系，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸。則O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,√4)=P(0,0,2)。母線AC的方向向量為AC=(1,0,2)，單位向量=(1/√5,0,2/√5)。E是AC中點，所以E=(1/2,0,1)。F在底面圓上，且∠AEF=60度，設(shè)F(x,y,0)，則AF=(x-1,y-0,-2)=(x-1,y,-2)。因為AF·AC=|AF||AC|cos60度，所以(x-1)×1/√5+y×0+(-2)×2/√5=√(x-1)2+y2+(-2)2×1/√5×1/2，解得x=3/5，y=4/5，所以F(3/5,4/5,0)。）（然后求（1），圓錐體積V=1/3×底面積×高=1/3×π×12×2=2π/3。）（接著求（2），直線EF的方向向量為EF=(1/2-3/5,0-4/5,1-0)=(1/10,-4/5,1)，圓錐軸O-OB的方向向量為OB=(0,1,0)。所以cosθ=|EF·OB|/|EF||OB|=|(1/10,-4/5,1)·(0,1,0)|/√(1/100+16/25+1)×1=4/√181/5=20/√181。所以直線EF與圓錐的軸O-OB所成的角的大小是arccos(20/√181)。）22.已知球O的半徑為R，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2R，高為√2R，球的球心O在正四棱錐的高PC上。求（1）正四棱錐P-ABCD的體積；（2）球O與正四棱錐P-ABCD的四個面所成的二面角的大小。（這題啊，得好好想想。首先求（1），正四棱錐底面是正方形，邊長2R，高√2R，所以體積V=1/3×底面積×高=1/3×(2R)2×√2R=4√2R3/3。）（然后求（2），球心O在PC上，且O到底面中心的距離是R，PC=√(2R)2+(√2R)2=2√3R，所以PO=√3R。過O作OE垂直于面PAB于E，連接PE。因為OE⊥面PAB，PE在面PAB中，所以PE⊥AB，又因為AB⊥BC，所以PE⊥BC。在等腰直角三角形PEA中，PE=AE=R，所以∠PEO=45度。所以球O與正四棱錐P-ABCD的四個面所成的二面角的大小都是45度。）本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離d=|1*1+(-1)*2+1*3+(-1)|/√(12+(-1)2+12)=|1-2+3-1|/√3=√2，選B。2.C解析：把直線參數(shù)方程代入平面方程得2t+1-t-1+t=0，解得t=0，交點P(1,-1,0)。直線l方向向量為(2,-1,1)，向量OP=(0,-1,0)，向量OP和直線方向向量的叉乘模長除以方向向量模長，即|(-1)*1-0*1+0*(-1)|/√(22+(-1)2+12)=|-1|/√6=√3/3，選C。3.D解析：四個頂點都在球面上，球心到四個頂點的距離都相等，都是球的半徑，只有球心自己到球心的距離相等，選D。4.D解析：正四棱錐底面ABCD是正方形，E是SC中點，所以SE垂直于底面ABCD，AB在底面內(nèi)，所以SE垂直于AB，異面直線AB與SE所成的角是90度，選D。5.C解析：正方體中，BB?垂直于平面BCC?B?，AE在面ABB?A?中，所以AE與平面BCC?B?所成的角就是AE與BB?所成的角，AE與BB?相交于B，AE=√(AB2+BE2)=√(22+(1/2)2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2，BB?=1，所以sin∠ABE=BE/AB=1/2，所以∠ABE=30度，選C。6.A解析：扇形弧長是圓錐底面周長，弧長是2πr=2π，扇形半徑是圓錐母線，扇形圓心角是270度，所以扇形弧長是(270/360)×2πr=3π/4r，所以3π/4r=2π，解得r=8/3，所以圓錐底面半徑是8/3，所以圓錐底面面積是π(8/3)2=64π/9，選A。7.C解析：正四面體高h=√(a2-(a/√3)2)=√(3a2/3-a2/3)=√(2a2/3)=a√2/√3，體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√3/4)a2×a√2/√3=a3√2/12，選C。8.B解析：球內(nèi)切于正方體，球半徑r等于正方體棱長的一半，正方體棱長為2，所以r=1，所以球表面積是4πr2=4π，選B。9.D解析：正四棱錐底面是正方形，側(cè)面都是等邊三角形，這個四棱錐是正四棱錐，底面邊長為2，高是√(22-(1)2)=√3，所以體積V=1/3×底面積×高=1/3×22×√3=4√3/3，選D。10.B解析：三棱臺側(cè)面是等腰梯形，高為√(22-(1)2)=√3，所以三棱臺高為√3，體積V=1/3×(12+1×2+22)×√2=7√2/3，選B。11.C解析：圓錐側(cè)面展開圖是扇形，扇形圓心角是圓錐底面周長與扇形半徑的比值，圓錐底面周長是2π，扇形半徑是√2，所以圓心角是2π/√2=π√2，選C。12.C解析：球外切于正四棱錐，球半徑r等于正四棱錐高與底面對角線之比的2/3，底面對角線是2√2，所以球半徑是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球體積是4/3πr3=4/3π(√2/2)3=√2π/3，選C。二、填空題13.√3/12解析：底面是等邊三角形，邊長為1，高為√3/2，所以體積是1/3×12×√3/2=√3/6，選C。14.8π解析：扇形弧長是圓錐底面周長，弧長是8π/3，所以圓錐底面半徑是4π/3，所以圓錐底面面積是π(4π/3)2=16π2/9，選A。15.60度解析：正四棱錐側(cè)面與底面所成的二面角，就是側(cè)面斜高與底面邊的夾角，側(cè)面斜高是√(高2+(底面邊長/2)2)=√(32+(1)2)=√10，底面邊長是2，所以夾角是arctan(√10/2)，選D。16.16π解析：球外切于正四棱錐，球半徑r等于正四棱錐高與底面對角線之比的2/3，底面對角線是2√2，所以球半徑是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球表面積是4πr2=4π，選B。三、解答題17.60度解析：取BC中點G，連接EG和FG。EG是面BB?C?C的法線，F(xiàn)G是面BCD的法線，所以∠EGF就是二面角E-CF-D的平面角。正方體棱長為1，E是BB?中點，所以BE=EB?=1/2，F(xiàn)是CD中點，所以CF=FD=1/2。在△EGF中，EG=√(12+(1/2)2)=√5/2，F(xiàn)G=√(12+(1/2)2)=√5/2，EF=√(12+(1/2)2)=√5/2，所以△EGF是等邊三角形，∠EGF=60度。18.(1)60度(2)1/2解析：延長AE交CD于點F，因為ABCD是矩形，所以CF⊥AB，又因為PA⊥平面ABCD，所以CF⊥PA，所以CF⊥平面PAB。又因為EF在平面PAB中，所以EF⊥CF。在△AEF中，因為E是PC中點，PC是等腰直角三角形，所以PE=EC=PC/2=√2，而PF=PC=√2，所以EF=√(PF2-PE2)=√(22-12)=√3。所以∠AEF=arctan(EF/PE)=arctan(√3/1)=60度。設(shè)點E到平面PAB的距離為h。四棱錐P-ABCD的體積是V=1/3×底面積×高=1/3×2×1×2=4/3。四棱錐E-ABP的體積是V'=1/3×底面積×高=1/3×1×1×h=1/3×h。因為兩個四棱錐等底同高，所以它們的體積比是V/V'=4/3:1/3=4:1，所以h=1/2。19.(1)√3/3(2)1/2解析：PH垂直于底面ABC，過H作HE垂直于AB于E，連接PE。因為PH⊥平面ABC，HE⊥AB，所以PE⊥AB，所以∠PEH是二面角P-AB-C的平面角。因為底面ABC是等邊三角形，所以∠B=60度。在等腰三角形PEH中，PH=1，∠B=60度，所以∠PEH=30度，所以HE=PH×sin30度=1×1/2=1/2。所以點H到平面PAB的距離是1/2。三棱錐體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√3/4)×22×1=√3/3。20.√3/3解析：過B?作B?H垂直于平面ABC于H，連接DH。因為B?H⊥平面ABC，DH在平面ABC中，所以∠B?DH就是直線B?D與平面ABC所成的角。在等邊三角形ABC中，D是AC中點，所以AH=√3。在直角三角形B?DH中，B?H⊥平面A