成都市列五中學（雙橋校區(qū)）八年級上冊壓軸題數(shù)學模擬試卷及答案一、壓軸題1．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點B在A點下方，點C在射線AM上，點B、C不與點A重合，點D在直線11上，點A的右側(cè)，過D作l3⊥l1，點E在直線l3上，點D的下方．（1）l2與l3的位置關(guān)系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點C在射線AM上運動，∠BDC的角平分線交EB的延長線于點N，在點C的運動過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請說明理由；若不變化，請直接寫出比值．2．如圖，在平面直角坐標系中，，，，點、在軸上且關(guān)于軸對稱．（1）求點的坐標；（2）動點以每秒2個單位長度的速度從點出發(fā)沿軸正方向向終點運動，設運動時間為秒，點到直線的距離的長為，求與的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當點到的距離為時，連接，作的平分線分別交、于點、，求的長．3．在《經(jīng)典幾何圖形的研究與變式》一課中，龐老師出示了一個問題：“如圖1，等腰直角三角形的三個頂點分別落在三條等距的平行線，，上，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長度”.在研究這道題的解法和變式的過程中，同學們提出了很多想法：（1）小明說：我只需要過B、C向作垂線，就能利用全等三角形的知識求出AB的長.（2）小林說：“我們可以改變的形狀.如圖2，，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長.”（3）小謝說：“我們除了改變的形狀，還能改變平行線之間的距離.如圖3，等邊三角形ABC三個頂點分別落在三條平行線，，上，且與之間的距離為1，與之間的距離為2，求AB的長、”請你根據(jù)3位同學的提示，分別求出三種情況下AB的長度.4．在中，，是直線上一點，在直線上，且．（1）如圖1，當D在上，在延長線上時，求證：；（2）如圖2，當為等邊三角形時，是的延長線上一點，在上時，作，求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線交于點，連，過點作于點，當，時，求的長度．5．學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．（初步思考）我們不妨將問題用符號語言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．（深入探究）第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡要說明．6．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來進行探究．（1）如圖1，展開后，測得，則可判定a//b，請寫出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應該滿足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點，AB//，，求出的長．7．在中，若存在一個內(nèi)角角度，是另外一個內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另外一個內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．8．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．①請直接寫出∠AEB的度數(shù)為_____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足為點D，M為線段DB上一動點（不包括端點），點N在直線AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如圖①．（1）求證：∠ACN=∠AMC；（2）記△ANC得面積為5，記△ABC得面積為5．求證：；（3）延長線段AB到點P，使BP=BM，如圖②．探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點M，AN=CP始終成立？（寫出探究過程）10．某校七年級數(shù)學興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC=゜，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R=゜．11．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點O勻速移動，Q點從O點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結(jié)束．AC的中點D的坐標是（4，3），設運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．12．如圖，在中，，，點為內(nèi)一點，且．（1）求證：；（2）若，為延長線上的一點，且．①求的度數(shù)．②若點在上，且，請判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③若點為直線上一點，且為等腰，直接寫出的度數(shù)．13．在我們認識的多邊形中，有很多軸對稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸．回答下列問題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對稱軸，非正方形的長方形有________條對稱軸，等邊三角形有___________條對稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實線畫出），它們的共同點是只有1條對稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，并用實線畫出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長方形，圖2中是他沒有完成的圖形，請用實線幫他補完整個圖形；（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標出對稱軸．14．現(xiàn)給出一個結(jié)論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則．請結(jié)合上述結(jié)論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系____________；QE與QF的數(shù)量關(guān)系是__________（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(3)如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．15．在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖，當點D在BC延長線上移動時，若∠BAC=40°，則∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）設∠BAC=α，∠DCE=β．①當點D在BC延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當點D在直線BC上（不與B，C兩點重合）移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為15°，試探究∠ACB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程）．16．如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當時，，（2）當DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．17．已知在中，，點在上，邊在上，在中，邊在直線上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線的方向平移，當點在上時，求度數(shù)；（3）將在直線上平移，當以為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出度數(shù)．18．完全平方公式：適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學問題．例如：若，求的值．解：因為所以所以得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．19．如圖，在中，，過點做射線，且，點從點出發(fā)，沿射線方向均勻運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為，當點停止運動時，點也停止運動．連接，設運動時間為．解答下列問題：（1）用含有的代數(shù)式表示和的長度；（2）當時，請說明；（3）設的面積為，求與之間的關(guān)系式．20．如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐為，點的坐標為，在中，軸交軸于點．（1）求和的度數(shù)；（2）如圖，在圖的基礎上，以點為一銳角頂點作，，交于點，求證：；（3）在第（）問的條件下，若點的標為，求四邊形的面積．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）互相平行；（2）35，20；（3）見解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關(guān)系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形進行推理是解題的關(guān)鍵．2．（1）C（4，0）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)知為等邊三角形，利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用面積法可求得，再利用坐標系中點的特征即可求得答案；（3）利用(2)的結(jié)論求得，利用角平分線的性質(zhì)證得，求得，利用面積法求得，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵點、關(guān)于軸對稱，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴點C的坐標為：；（2）連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即：；（3）∵點到的距離為，∴，∴，∴，延長交于點，過點作軸于點，連接、，∵為的角平分線，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，設，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，涉及的知識有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理、靈活運用面積法求線段的長是解本題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，證明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于點P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，證明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通過△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的長；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交l3于點P，過A作l3的垂線，交l3于點Q，證明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，從而得到PC，結(jié)合BP算出BC的長，即為AB.【詳解】解：（1）如圖，分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，由題意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=BM，NQ=NC，∵PB=1，CQ=2，設PM=a，NQ=b，∴，，解得：，，∴CN=AM==，∴AB===；（3）如圖，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交于點P，過A作l3的垂線，交于點Q，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，，即，解得：NP=，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，，即，解得：QM=，∴AM==CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=，在△BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，∴AB=BC=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用平行線構(gòu)造全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解.4．（1）見解析；（2）見解析；（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過E作EF∥AC交AB于F，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，推出△BEF是等邊三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接AF，證明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再證明DH=AH=CF=3．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF與△CAD中，，∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）連接AF，如圖3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=AF=CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．5．（1）HL；（2）見解析；（3）如圖②，見解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等運用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過點C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長線上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細．6．（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當B1在B的左側(cè)時，如圖2，當B1在B的右側(cè)時，如圖3，分別求出的長，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應該滿足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當B1在B的左側(cè)時，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當B1在B的右側(cè)時，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長度相等”是解題的關(guān)鍵．7．（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關(guān)系，分情況進行解答即可得到答案；(3)可設未知數(shù)表示2倍角三角形的各個內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設其中一個內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內(nèi)角為：①當小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當時，解得：，此時：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．8．（1）①60°；②AD=BE.證明見解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由見解析.【解析】【分析】（1）①由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°；根據(jù)DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM．【詳解】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，,∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°；②AD=BE.證明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題時需注意運用已有的知識和經(jīng)驗解決相似問題．9．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N，AN=CP始終成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；（2）過點N作NE⊥AC于E，由“AAS”可證△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面積公式可求解；（3）過點N作NE⊥AC于E，由“SAS”可證△NEA≌△CDP，可得AN=CP．【詳解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；（2）過點N作NE⊥AC于E，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，∴△NEC≌△CDM（AAS），∴NE=CD，CE=DM；∵S1AC?NE，S2AB?CD，∴；（3）當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N，AN=CP始終成立，理由如下：過點N作NE⊥AC于E，由（2）可得NE=CD，CE=DM．∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，∴AE=BD+BP=DP．∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，∴△NEA≌△CDP（SAS），∴AN=PC．【點睛】本題三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．10．（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)（1），（3）的結(jié)論可以得出∠BPC的度數(shù)；根據(jù)（2）的結(jié)論可以得到∠R的度數(shù)．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論．（4）由（3）可知，，再根據(jù)（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．11．（1）6；8；24；（2）存在時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，見解析【解析】【分析】（1）利用非負性即可求出a，b即可得出結(jié)論,即可求出△ABC的面積；（2）先表示出OQ，OP，利用那個面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由時,∴存在時,使得△ODP與△ODQ的面積相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（1）證明見解析；（2）①；②，理由見解析；③7.5°或15°或82.5°或150°【解析】【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明；（2）①利用SSS證得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解題；②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三種情形討論，畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵CB=CA，DB=DA，∴CD垂直平分線段AB，∴CD⊥AB；（2）①在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180-45°-15°=120°；②結(jié)論：ME=BD，理由：連接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD為等邊三角形，∴CM=CD，∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（AAS），∴ME=BD；③當EN=EC時，∠=7.5°或∠==82.5°；當EN=CN時，∠==150°；當CE=CN時，點N與點A重合，∠CNE=15°，所以∠CNE的度數(shù)為7.5°或15°或82.5°或150°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．13．（1）1，2，3；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進行畫圖即可；（3）長方形具有兩條對稱軸，在長方形的右側(cè)補出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎上加以修改，即可得到恰好有3條對稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對稱軸，非正方形的長方形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對稱軸的凸六邊形如圖所示．14．（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結(jié)論成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS得到，得到、QE=QF，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長EQ交BF于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長EQ交FB的延長于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．【詳解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF證明：延長EQ交BF于D，,（3）當點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結(jié)論成立證明：延長EQ交FB的延長于D因為AE//BF所以EQ=QF【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質(zhì)，根據(jù)P點位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關(guān)鍵．15．（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②當點D在BC上移動時，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．【解析】【分析】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求出即可；（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；②分三種情況：（Ⅰ）當D在線段BC上時，證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）當點D在線段BC反向延長線上時，α=β，同理可證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；（Ⅲ）當點D在線段BC的延長線上時，由①得α=β；（3）當點D在線段BC的延長線上或在線段BC反向延長線上移動時，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易證∠ABC=∠ACB=∠BAC，則△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°；當D在線段BC上時，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易證∠ABC=∠ACB=∠BAC，則△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°．【詳解】（1）如圖1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案為：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三種情況：（Ⅰ）當D在線段BC上時，α+β=180°，如圖2所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）當點D在線段BC反向延長線上時，α=β，如圖3所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）當點D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，α=β；綜上所述：當點D在BC上移動時，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵當點D在線段BC的延長線上或在線段BC反向延長線上移動時，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；∵當D在線段BC上時，α+β=180°，即∠BAC+∠DCE=180°．∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE=180°，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；綜上所述：當CE∥AB時，若△ABD中最小角為15°，∠ACB的度數(shù)為60°．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和等知識．本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（1）30，100；（2），見解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據(jù)平角的定義，可求出∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)和定理，即可求出∠DEC；（2）當AB=DC時，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；②當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED>∠C，得出此時不符合；③當EA=ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當時，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當時，∵，∴∴∵∴②當時，∵∴又∵∴∴點D與點B重合，不合題意．③當時，∴∵∴綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．17．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，得出，即可得出結(jié)論；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即