吉林大學(xué)隨機(jī)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在隨機(jī)事件的基本概念中，事件A和事件B互斥是指（）。

A.A和B不可能同時(shí)發(fā)生

B.A發(fā)生時(shí)B一定發(fā)生

C.A和B至少有一個(gè)發(fā)生

D.A和B同時(shí)發(fā)生概率為1

2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5，則E(X)等于（）。

A.2

B.3

C.4

D.5

3.對于二維隨機(jī)變量（X,Y），如果存在兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量U和V，使得X=U+V且Y=U-V，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY等于（）。

A.-1

B.0

C.1

D.無法確定

4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(X>0)等于（）。

A.0

B.0.5

C.1

D.無法確定

5.對于隨機(jī)變量X和Y，如果E(XY)=E(X)E(Y)，則X和Y（）。

A.一定獨(dú)立

B.一定不相關(guān)

C.可能獨(dú)立

D.可能不相關(guān)

6.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，θ未知，X1,X2,...,Xn為樣本，則θ的無偏估計(jì)量是（）。

A.max(X1,...,Xn)

B.min(X1,...,Xn)

C.(X1+...+Xn)/n

D.(X1+...+Xn)/2

7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記為α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為β，則（）。

A.α+β=1

B.α+β<1

C.α+β>1

D.α和β互不影響

8.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=λe^{-λx},x>0，則X的分布函數(shù)F(x)等于（）。

A.1-e^{-λx}

B.λx

C.e^{-λx}

D.1

9.對于線性回歸模型Y=β0+β1X+ε，若要檢驗(yàn)H0:β1=0，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。

A.t統(tǒng)計(jì)量

B.F統(tǒng)計(jì)量

C.χ2統(tǒng)計(jì)量

D.Z統(tǒng)計(jì)量

10.設(shè)X1,...,Xn為來自正態(tài)總體N(μ,σ^2)的樣本，若要檢驗(yàn)H0:μ=μ0，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。

A.t統(tǒng)計(jì)量

B.F統(tǒng)計(jì)量

C.χ2統(tǒng)計(jì)量

D.Z統(tǒng)計(jì)量

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于隨機(jī)變量的說法中，正確的有（）。

A.隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)

B.隨機(jī)變量一定是連續(xù)的

C.隨機(jī)變量可以是離散的也可以是連續(xù)的

D.隨機(jī)變量的期望一定存在

2.對于二維隨機(jī)變量（X,Y），下列說法中正確的有（）。

A.如果X和Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)

B.如果E(XY)=E(X)E(Y)，則X和Y一定獨(dú)立

C.如果X和Y不相關(guān)，則X和Y一定獨(dú)立

D.如果X和Y相關(guān)，則X和Y一定不獨(dú)立

3.下列關(guān)于樣本均值和樣本方差的性質(zhì)中，正確的有（）。

A.樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量

B.樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量

C.樣本均值和樣本方差都是總體均值和總體方差的無偏估計(jì)量

D.樣本均值和樣本方差都是總體均值和總體方差的一致估計(jì)量

4.下列關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論中，正確的有（）。

A.如果接受H0，則犯第二類錯(cuò)誤的概率為β

B.如果拒絕H0，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為α

C.如果H0為真，則拒絕H0的概率為α

D.如果H0為假，則接受H0的概率為β

5.下列關(guān)于線性回歸模型的說法中，正確的有（）。

A.線性回歸模型描述了因變量和自變量之間的線性關(guān)系

B.線性回歸模型中的誤差項(xiàng)ε應(yīng)該服從正態(tài)分布

C.線性回歸模型中的自變量可以存在多重共線性

D.線性回歸模型中的誤差項(xiàng)ε應(yīng)該相互獨(dú)立

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5，則X的方差DX=________。

2.對于二維隨機(jī)變量（X,Y），如果X和Y的協(xié)方差COV(X,Y)=0，則稱X和Y________。

3.設(shè)總體X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為f(x)=λe^{-λx},x>0，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________。

4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)H0為真，但拒絕了H0，則犯的錯(cuò)誤稱為________錯(cuò)誤，其概率記為α。

5.對于線性回歸模型Y=β0+β1X+ε，若要檢驗(yàn)H0:β1=0，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從________分布。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P(X=k)=c*k,k=1,2,3,4

其中c為常數(shù)。求：(1)常數(shù)c的值；(2)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差DX。

2.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表所示：

Y\X|1|2

----|------|-----

1|0.1|0.2

2|0.3|0.4

求：(1)隨機(jī)變量X和Y的邊緣分布律；(2)隨機(jī)變量X和Y是否獨(dú)立？并說明理由。

3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1)，Y~N(2,4)。求隨機(jī)變量Z=2X-Y的分布。

4.從正態(tài)總體N(μ,4)中隨機(jī)抽取樣本容量為n=9的樣本，樣本均值為x?=5。假設(shè)檢驗(yàn)問題為H0:μ=4vsH1:μ>4。若檢驗(yàn)的顯著性水平為α=0.05，求拒絕域，并說明檢驗(yàn)的臨界值。

5.在某次考試中，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的成績，數(shù)據(jù)如下：85,78,90,82,88,80,85,90,85,82。假設(shè)成績服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)假設(shè)H0:成績的方差σ^2=16vsH1:成績的方差σ^2>16。(提示：使用χ^2檢驗(yàn)，顯著性水平α=0.05)

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：事件A和事件B互斥的定義是它們不能同時(shí)發(fā)生，即P(A∩B)=0。

2.B

解析：E(X)=Σk*P(X=k)=(1/15)*(1+2+3+4+5)=3。

3.B

解析：相關(guān)系數(shù)ρXY衡量的是線性關(guān)系強(qiáng)度，如果X=U+V且Y=U-V，則U是X和Y的線性組合，但V也是X和Y的線性組合，這意味著X和Y的協(xié)方差為0，因此相關(guān)系數(shù)為0。

4.B

解析：由于正態(tài)分布關(guān)于y軸對稱，P(X>0)=0.5。

5.B

解析：E(XY)=E(X)E(Y)是X和Y不相關(guān)的定義，但不一定獨(dú)立，因?yàn)楠?dú)立還需要滿足聯(lián)合分布等于邊緣分布的乘積。

6.A

解析：對于均勻分布U(0,θ)，最大值max(X1,...,Xn)是θ的無偏估計(jì)量。

7.B

解析：α是犯第一類錯(cuò)誤的概率，即H0為真但拒絕H0的概率；β是犯第二類錯(cuò)誤的概率，即H0為假但接受H0的概率。α+β表示不犯第一類或第二類錯(cuò)誤的概率，即至少犯一個(gè)錯(cuò)誤的概率，這個(gè)值小于1。

8.A

解析：指數(shù)分布的密度函數(shù)f(x)=λe^{-λx},x>0，其分布函數(shù)F(x)是通過對密度函數(shù)積分得到的，即F(x)=∫[0,x]λe^{-λt}dt=1-e^{-λx}。

9.A

解析：在線性回歸模型中，檢驗(yàn)H0:β1=0的統(tǒng)計(jì)量是t統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)自變量X對因變量Y的影響是否顯著。

10.D

解析：當(dāng)總體方差σ^2已知時(shí)，檢驗(yàn)H0:μ=μ0的統(tǒng)計(jì)量是Z統(tǒng)計(jì)量，即Z=(x?-μ0)/(σ/√n)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C

解析：隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，可以是離散的也可以是連續(xù)的。

2.A,C

解析：如果X和Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)；如果X和Y不相關(guān)，則它們的協(xié)方差為0，但這不一定意味著它們獨(dú)立。

3.A,D

解析：樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量；樣本均值和樣本方差都是總體均值和總體方差的一致估計(jì)量。

4.A,B,C

解析：接受H0則犯第二類錯(cuò)誤的概率為β；拒絕H0則犯第一類錯(cuò)誤的概率為α；如果H0為真，則拒絕H0的概率為α。

5.A,B,D

解析：線性回歸模型描述了因變量和自變量之間的線性關(guān)系；誤差項(xiàng)ε應(yīng)服從正態(tài)分布；誤差項(xiàng)ε應(yīng)相互獨(dú)立。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：DX=Σ(k-E(X))^2*P(X=k)=Σ(k^2/15-3^2/15)=(1/15)*(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)-9=2。

2.不相關(guān)

解析：隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差COV(X,Y)=0意味著它們不相關(guān)。

3.1/λ

解析：指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望E(X)等于1/λ。

4.第一類

解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)H0為真但拒絕了H0，則犯的錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤。

5.卡方

解析：在線性回歸模型中，檢驗(yàn)H0:β1=0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從t分布。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：

(1)c=1/10，因?yàn)棣睵(X=k)=1，所以c*(1+2+3+4)=1，解得c=1/10。

(2)E(X)=Σk*P(X=k)=(1/10)*(1+2+3+4)=3。

E(X^2)=Σk^2*P(X=k)=(1/10)*(1^2+2^2+3^2+4^2)=5。

DX=E(X^2)-(E(X))^2=5-3^2=2。

2.解：

(1)X的邊緣分布律：P(X=1)=0.1+0.3=0.4，P(X=2)=0.2+0.4=0.6。

Y的邊緣分布律：P(Y=1)=0.1+0.2=0.3，P(Y=2)=0.3+0.4=0.7。

(2)X和Y不獨(dú)立，例如P(X=1,Y=1)=0.1≠P(X=1)*P(Y=1)=0.12。

3.解：Z=2X-Y~N(2*0-2,4*1^2+4*2^2)=N(-2,20)。

4.解：拒絕域?yàn)閆>z_0.05，其中z_0.05是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0.95分位點(diǎn)，即z_0.05≈1.645。

臨界值為x?>μ0+z_0.05*(σ/√n)=4+1.645*(2/√9)≈5.15。

5.解：計(jì)算樣本方差s^2=Σ(xi-x?)^2/(n-1)≈17.11。

χ^2統(tǒng)計(jì)量=(n-1)s^2/σ^2_0=(9*17.11)/16≈9.68。

拒絕域?yàn)棣謂2>χ^2_0.05(9)，其中χ^2_0.05(9)≈16.919。

由于9.68<16.919，因此不拒絕H0。

知識點(diǎn)總結(jié)及題型考察詳解

1.隨機(jī)變量及其分布：考察了離散隨機(jī)變量的分布律、數(shù)學(xué)期望、方差，以及連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度