54.數(shù)列凸凹性及其在新概念壓軸中的應(yīng)用一．基本原理定義1.若實數(shù)列滿足條件，則稱是一個凸數(shù)列.若上述不等式反向,則稱數(shù)列是一個凹數(shù)列.定義2.若非負(fù)實數(shù)列滿足條件，則稱是一個對數(shù)凸數(shù)列.若上述不等式反向,則稱數(shù)列是一個對數(shù)凹數(shù)列.注1：這個定義完全是類比函數(shù)的凸凹性得到的：凸函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不大于凌晨講數(shù)學(xué)函數(shù)值的平均數(shù)，幾何解釋：凸函數(shù)的圖象上弧線位于線段的下方；凹函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不小于函數(shù)值的平均數(shù)，幾何解釋：凹函數(shù)的圖象上弧線位于線段的上方；(圖1：凸函數(shù))(圖2：凹函數(shù))注2.顯然，等比數(shù)列滿足，即既是對數(shù)凸數(shù)列也是對數(shù)凹數(shù)列.二．典例分析例1．對于數(shù)列{}，若對任意，都有，則稱該數(shù)列{}為“凸數(shù)列”．設(shè)，若是凸數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：數(shù)列，，，是“上凸數(shù)列”，得，，即，即，化簡得，當(dāng)時，，若恒成立，則恒成立，令則單調(diào)遞增，當(dāng)時，取最小值，故又當(dāng)時，的最大值為，所以，則的取值范圍是，故選：D例2.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為凹數(shù)列．已知等差數(shù)列的公差為，，且數(shù)列是凹數(shù)列，則的取值范圍為_______.解析：因為等差數(shù)列的公差為，，所以，因為數(shù)列是凹數(shù)列，所以恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即，恒成立，因為，所以，兩邊同乘以，得，即，恒成立，所以，解得，所以的取值范圍為，故答案為：例3.定義：數(shù)列對一切正整數(shù)均滿足，稱數(shù)列為“凸數(shù)列”，以下關(guān)于“凸數(shù)列”的說法：①等差數(shù)列一定是凸數(shù)列；②首項，公比且的等比數(shù)列一定是凸數(shù)列；③若數(shù)列為凸數(shù)列，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；④若數(shù)列為凸數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的項構(gòu)成的子數(shù)列也為凸數(shù)列．其中正確說法的序號是__________.解析：在①中，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，不滿足，所以數(shù)列不是“凸數(shù)列”；故不正確在②中，因為數(shù)列的首項，公比且，所以，所以＝，所以數(shù)列一定是凸數(shù)列；故正確.在③中，因為數(shù)列為凸數(shù)列，所以數(shù)列對一切正整數(shù)均滿足，所以，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故正確的；在④中，數(shù)列為凸數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的項構(gòu)成的子數(shù)列也為凸數(shù)列是正確的．綜上所述，②③④正確．例4（2024屆浙江金華高三三模）若正實數(shù)數(shù)列滿足，則稱是一個對數(shù)凸數(shù)列；若實數(shù)列滿足，則稱是一個凸數(shù)列.已知是一個對數(shù)凸數(shù)列，．(1)證明：；(2)若，證明：；(3)若，，求的最大值．解析：（1）法一：由題意得：，∴，∴，，，，，將以上式子累乘得：，也即成立．（2）法一：∵，∴，∴，則，∴，∴．法二：∵，∴，也即，同時，由可得：，∴，也即，∴，，…，，將以上式子累加得：，也即，同理可得：，，……，將以上式子累加得：，∴，∴，∴成立．（3）由可得：，∴，也即，∴，，…，，將以上式子累加得：①，另外，，，…，，將以上式子累加得：②，結(jié)合①②式可得：，∴，化簡得：，另外，顯然有符合題意，此時，綜上，的最大值為10．例5.若實數(shù)列滿足條件，、、，則稱是一個“凸數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列和是否為“凸數(shù)列”?（2）若是一個“凸數(shù)列”，證明：對正整數(shù)、、，當(dāng)時，有；（3）若是一個“凸數(shù)列”，證明：對，有.解析：（1）因為，所以數(shù)列不是“凸數(shù)列”，因為，所以數(shù)列為“凸數(shù)列”；（2）由題意得，所以，而，所以，又，所以，故，證畢；（3）①當(dāng)時，即，由（2）得，所以，故，成立；②當(dāng)時，即，顯然成立；③當(dāng)時，由（2）得，所以，所以，故成立.綜上所述，對，有.例6.（2024屆山東青島高三二模）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，對任意，有，則稱數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列．(1)已知數(shù)列1，3，2，4和數(shù)列1，2，4，3，2，判斷它們是否為“對數(shù)凹性”數(shù)列，并說明理由；(2)若函數(shù)有三個零點，其中．證明：數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列；(3)若數(shù)列的各項均為正數(shù)，，記的前n項和為，，對任意三個不相等正整數(shù)p，q，r，存在常數(shù)t，使得．證明：數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列．解析（1）根據(jù)“對數(shù)凹性”數(shù)列的定義可知數(shù)列1，3，2，4中不成立，所以數(shù)列1，3，2，4不是“對數(shù)凹性”數(shù)列；而數(shù)列1，2，4，3，2中均成立，所以數(shù)列1，2，4，3，2是“對數(shù)凹性”數(shù)列；（2）根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知有兩個不等實數(shù)根，所以，又，所以，顯然，即不是的零點，又，令，則也有三個零點，即有三個零點，則有三個零點，所以有兩個零點，所以同上有，故數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列（3）將互換得：，所以，令，得，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列，記，所以，所以，又因為，所以，所以，所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以.所以，所以，數(shù)列是“對數(shù)凹性”數(shù)列例7．如果數(shù)列的任意相鄰三項，，滿足，則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．（1）已知是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．記．①求數(shù)列的前項和；②判斷數(shù)列是不是“凸數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)項正數(shù)數(shù)列是“凸數(shù)列”，求證：，，解析：（1）①設(shè)an的公比為，bn的