利用曲線方程研究曲線的對稱性一．基本原理1.關(guān)于軸對稱代數(shù)判斷方法：若對于曲線方程，將換為后方程與原方程等價(jià)，則曲線關(guān)于軸對稱.2.關(guān)于軸對稱代數(shù)判斷方法：若對于曲線方程，把換為后方程與原方程等價(jià)，那么曲線關(guān)于軸對稱.3.關(guān)于原點(diǎn)對稱代數(shù)判斷方法：對于曲線方程，把換為，換為后方程與原方程等價(jià)，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱.4.關(guān)于直線對稱代數(shù)判斷方法：將曲線方程中的與互換，得到方程，若它與原方程等價(jià)，則－曲線關(guān)于直線對稱.5.關(guān)于直線對稱代數(shù)判斷方法：將曲線方程中的換為，換為，得到，若與原方程等價(jià)，則曲線關(guān)于直線對稱.二．典例分析例1.（四川省成都市2025屆高三二診）．對于一個(gè)平面圖形，如果存在一個(gè)圓能完全覆蓋住這個(gè)平面圖形，則稱這個(gè)圖形被這個(gè)圓能夠完全覆蓋，其中我們把能覆蓋平面圖形的最小圓稱為最小覆蓋圓.則曲線的最小覆蓋圓的半徑為_________.解析：因?yàn)榘褤Q成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因?yàn)榘褤Q成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因?yàn)榘褤Q成，同時(shí)把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；因?yàn)榘褤Q成，同時(shí)把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，因此最小覆蓋圓圓心必在坐標(biāo)原點(diǎn)，從而最小覆蓋圓的半徑為曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）因此最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：例2．已知曲線的方程為，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線圍成的圖形面積為C．若點(diǎn)在曲線上，則D．若圓能覆蓋曲線，則的最小值為解析：曲線上任意點(diǎn)有：，該點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)有，即由線上任意點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在曲線上，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，點(diǎn)也都在曲線上，則曲線關(guān)于軸，軸對稱，當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點(diǎn)），因此，曲線是四個(gè)頂點(diǎn)為，，，的正方形各邊為直徑向正方形外作半圓圍成，如圖，所以曲線圍成的圖形的面積是，故選項(xiàng)B正確；點(diǎn)，在曲線上，則，，，，解得，故選項(xiàng)C正確；曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，故選項(xiàng)D不正確．故選：ABC．例3．（2025·安徽合肥·一模）我們把既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“優(yōu)美曲線”，“優(yōu)美曲線”與其對稱軸的交點(diǎn)叫作“優(yōu)美曲線”的頂點(diǎn).對于“優(yōu)美曲線”，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線有4個(gè)頂點(diǎn)C．曲線與直線有4個(gè)交點(diǎn)D．曲線上動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為解析：對于A，將交換方程依然成立，所以曲線關(guān)于對稱，A正確；對于B，易得曲線有四條對稱軸軸，軸，直線，直線，共有8個(gè)頂點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對于C，由得，即，可得，對于方程，，則方程有兩不等實(shí)根，且方程的根不為0和3，所以方程有4個(gè)不等實(shí)根，從而曲線C與直線有4個(gè)交點(diǎn)，C正確；對于D，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為，曲線C上動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值，D錯(cuò)誤；故選：AC三．習(xí)題演練1.在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：①線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓；②銳角三角形ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓．已知x，y滿足方程，記其構(gòu)成的平面圖形為W，平面圖形W為中心對稱圖形，，，，為平面圖形W上不同的四點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)t的值及三角形ABC的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程；（3）求平面圖形W的最小覆蓋圓的方程．解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)滿足，則，解得或（舍），故，設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，故的外接圓的方程為，又是銳角三角形，所以的最小覆蓋圓的方程為；（2）因?yàn)榫€段BD的最小覆蓋圓是以BD為直徑的圓，所以線段BD的最小覆蓋圓的方程為，又，故點(diǎn)A，C在圓內(nèi)，所以四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程為；（3）因?yàn)槠矫鎴D形W是中心對稱圖形，設(shè)是平面圖形W上的一點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故平面圖形W的最小覆蓋圓的方程為．2．?dāng)?shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對稱；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心?邊長為的正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：對于①，用替換方程中的，方程形式不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，故①正確，對于②，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，