·【課標解讀】 新課標中明確要求：用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及所反映的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進行歸納，猜想，找出一般規(guī)律，進而列出通用的代數(shù)式，稱之為規(guī)律探究。規(guī)律探究問題是指給出一定條件(可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表)，讓學(xué)生認真分析，仔細觀察，綜合歸納，大膽猜想，得出結(jié)論，進而加以驗證的數(shù)學(xué)探究題.【解題策略】解決此類問題的關(guān)鍵是：“細心觀察，大膽猜想，精心驗證”。筆者認為：只要善于觀察，細心研究，知難而進，就會走出“山窮水盡疑無路”的困惑，收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。解答策略：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗證結(jié)論.【考點深剖】★考點一數(shù)式規(guī)律探究通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。【典例1】（2018山東日照）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，F(xiàn)（n）=3n+1；②當n為偶數(shù)時，F(xiàn)（n）=（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運算交替重復(fù)進行，例如，取n=24，則：若n=13，則第2018次“F”運算的結(jié)果是（）A．1 B．4 C．2018 D．42018【分析】算出n=13時第一、二、三、四、五、六次運算的結(jié)果，找出規(guī)律再進行解答即可．解：若n=13，第1次結(jié)果為：3n+1=40，第2次結(jié)果是：=5，★考點二圖形規(guī)律探究由結(jié)構(gòu)類似，多少和位置不同的幾何圖案的圖形個數(shù)之間也有一定的規(guī)律可尋，并且還可以由一個通用的代數(shù)式來表示。這種探索圖形結(jié)構(gòu)成元素的規(guī)律的試題，解決思路有兩種：一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，再用函數(shù)法、觀察法解決問題；另一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律，常用“拆圖法”解決問題?！镜淅?】201北州3分我將圖示種排形的的數(shù)別稱“角數(shù)如13，6，1…和正形（如1，，，1…小于200的中設(shè)的“角數(shù)為m，大的“正形為n則mn的為（ ）A．33 B．301 C．386 D．571【分析】圖知第n三角數(shù)為+2++…n，第n個方數(shù)為n據(jù)此出大三形數(shù)和方數(shù)可．解：圖第n個角數(shù)為1+23+n★考點三坐標規(guī)律探究“圖形與坐標”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一其中有這樣一類問題，根據(jù)已知點的變化情況，利用猜想、歸納、驗證等方法，探究點的坐標變化規(guī)律.這類問題要求通過歸納概括，得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，這是提高合情推理能力的重要途徑，也是培養(yǎng)創(chuàng)新精神的重要方法.現(xiàn)結(jié)合實例，對點的坐標規(guī)律探索作一個歸類整理.【典例3】（2018東營）（4.00分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分別在直線y=x+b和x軸上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果點A1（1，1），那么點A2018的縱坐標是．【分析】因為每個A點為等腰直角三角形的直角頂點，則每個點A的縱坐標為對應(yīng)等腰直角三角形的斜邊一半．故先設(shè)出各點A的縱坐標，可以表示A的橫坐標，代入解析式可求點A的縱坐標，規(guī)律可求．解：分別過點A1，A2，A3，…向x軸作垂線，垂足為C1，C2，C3，…∵點A1（1，1）在直線y=x+b上，∴代入求得：b=∴y=x+∵△OA1B1為等腰直角三角形，∴OB1=2設(shè)點A2坐標為（a，b）∵△B1A2B2為等腰直角三角形∴A2C2=B1C2=b∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b把A2（2+b，b）代入y=x+解得b=∴OB2=5同理設(shè)點A3坐標為（a，b）★考點四函數(shù)規(guī)律探究函數(shù)規(guī)律問題解決時要充分利用圖形中的線段與坐標的關(guān)系，把坐標和圖形聯(lián)系起來，然后利用點的坐標滿足函數(shù)解析式代入求解?！镜淅?】如圖，已知等邊△OA1B1，頂點A1在雙曲線y=（x＞0）上，點B1的坐標為（2，0）．過B1作B1A2∥OA1交雙曲線于點A2，過A2作A2B2∥A1B1交x軸于點B2，得到第二個等邊△B1A2B2；過B2作B2A3∥B1A2交雙曲線于點A3，過A3作A3B3∥A2B2交x軸于點B3，得到第三個等邊△B2A3B3；以此類推，…，則點B6的坐標為．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征分別求出B2、B3、B4的坐標，得出規(guī)律，進而求出點B6的坐標．解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，∴點B3的坐標為（2，0）；同理可得點B4的坐標為（2，0）即（4，0）；…，∴點Bn的坐標為（2，0），∴點B6的坐標為（2，0）．故答案為（2，0）．★考點五變換規(guī)律探究圖形的變化具有周期性，要先確定循環(huán)周期及圖形的變化特點，然后用所求總數(shù)除以循環(huán)周期，得到余數(shù)，進而使所求問題得以解決.【典例5】（2018黑龍江龍東）（3.00分）如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=．解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根據(jù)勾股定理得：AB1=，∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×（）2=（）1；∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根據(jù)勾股定理得：AB2=，∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為×（）2=（）2；依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n．故答案為：（）n．*網(wǎng)【講透練活】變式1：（2018南寧）觀察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根據(jù)其中規(guī)律可得30+31+32+…+32018的結(jié)果的個位數(shù)字是．變式2：（2017?黑龍江）觀察下列圖形，第一個圖形中有一個三角形；第二個圖形中有5個三角形；第三個圖形中有9個三角形；…．則第2017個圖形中有個三角形．【分析】結(jié)合圖形數(shù)出前三個圖形中三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：后一個圖形中三角形的個數(shù)總比前一個三角形的個數(shù)多4．【解答】解：第1個圖形中一共有1個三角形，第2個圖形中一共有1+4=5個三角形，第3個圖形中一共有1+4+4=9個三角形，…第n個圖形中三角形的個數(shù)是1+4（n﹣1）=4n﹣3，當n=2017時，4n﹣3=8065，故答案為：8065．變式3：（2018齊齊哈爾）在平面直角坐標系中，點A（，1）在射線OM上，點B（，3）在射線ON上，以AB為直角邊作Rt△ABA1，以BA1為直角邊作第二個Rt△BA1B1，以A1B1為直角邊作第三個Rt△A1B1A2，…，依次規(guī)律，得到Rt△B2017A2018B2018，則點B2018的縱坐標為．【分析】根據(jù)題意，分別找到AB、A1B1、A2B2……及BA1、B1A2、B2A3……線段長度遞增規(guī)律即可∴當A（B）點橫坐標為時，由①AB=2，則BA1=2，則點A1橫坐標為，B1點縱坐標為9=32當A1（B1）點橫坐標為3時，由①A1B1=6，則B1A2=6，則點A2橫坐標為，B2點縱坐標為27=33當A2（B2）點橫坐標為9時，由①A2B2=18，則B2A3=18，則點A3橫坐標為，B3點縱坐標為81=34依稀類推點B2018的縱坐標為32019故答案為：32019變式4：（2018遼寧撫順）（3.00分）如圖，正方形AOBO2的頂點A的坐標為A（0，2），O1為正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的對角線AB為邊，在AB的右側(cè)作正方形ABO3A1，O2為正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的對角線A1B為邊，在A1B的右側(cè)作正方形A1BB1O4，O3為正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的對角線A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1O5A2，O4為正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則點O2018的坐標為．【分析】由題意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…觀察可知，下標為偶數(shù)的點的縱坐標為2，下標為偶數(shù)的點在直線y=x+1上，點O2018的縱坐標為21009，可得21009=x+1，同側(cè)x=21010﹣2，可得點O2018的坐標為（21010﹣2，21009）．變式5：（2017黑龍江佳木斯）如圖，四條直線l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，過點A1作A1A2⊥x軸，交l1于點A2，再過點A1作A1A2⊥l1交l2于點A2，再過點A2作A2A3⊥l3交y軸于點A3…，則點A2017坐標為[（）2015，（）2016]．【分析】先利用各直線的解析式得到x軸、l1、l2、y軸、l3、l4依次相交為30的角，各點的位置是每12個一循環(huán)，由于2017=168×12+1，則可判定點A2016在x軸的正半軸上，再規(guī)律得到OA2016=（）2015，然后表示出點A2017坐標．

一、選擇題（10×3=30分）1.（2017廣西百色）觀察以下一列數(shù)的特點：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，則第11個數(shù)是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11個數(shù)是﹣（11﹣1）2=﹣100，故選B．2.（2017日照）觀察下面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川達州·3分）如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三次操作；…根據(jù)以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的次數(shù)是（）A．25 B．33 C．34 D．50【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4個；第二次操作后，三角形共有4+3=7個；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10個；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1個；當3n+1=100時，解得：n=33，故選：B．4.（2017湖北隨州）在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)（n）和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當n=11時，芍藥的數(shù)量為（）A．84株 B．88株 C．92株 D．121株5.（2017·煙臺）用棋子擺出下列一組圖形(如圖)：按照這種規(guī)律擺下去，第n個圖形用的棋子個數(shù)為 ()A．3n B．6nC．3n＋6 D.3n＋3【解析】∵第1個圖需棋子3＋3＝6；第2個圖需棋子3×2＋3＝9；第3個圖需棋子3×3＋3＝12；…∴第n個圖需棋子(3n＋3)個．6.將從1開始的自然數(shù)，按如圖所示的規(guī)律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，處分別拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次彎，則第33次拐彎處的那個數(shù)是（）A．290B．226C．272D．302【解析】：拐彎處的數(shù)與其序數(shù)的關(guān)系如下表：拐彎的序數(shù)01234拐彎處的數(shù)12357拐彎的序數(shù)5678…拐彎處的數(shù)10131721…由此可見相鄰兩數(shù)的差是1，1，2，2，3，3，4，4，…，則第33次拐彎處的數(shù)是1+2×（1+2+…+16）+17=290.故選A.@網(wǎng)7.用菱形紙片按規(guī)律依次拼成如圖3-5-1的圖案．第1個圖案中有5張菱形紙片；第2個圖案中有9張菱形紙片；第3個圖案中有13張菱形紙片．按此規(guī)律，第6個圖案中的菱形紙片的張數(shù)為（）圖3-5-1A．21B．23C．25D．298.（2017浙江湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．從一個格點移動到與之相距的另一個格點的運動稱為一次跳馬變換．例如，在4×4的正方形網(wǎng)格圖形中（如圖1），從點A經(jīng)過一次跳馬變換可以到達點B，C，D，E等處．現(xiàn)有20×20的正方形網(wǎng)格圖形（如圖2），則從該正方形的頂點M經(jīng)過跳馬變換到達與其相對的頂點N，最少需要跳馬變換的次數(shù)是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：如圖1，連接AC，CF，則AF=3，∴從該正方形的頂點M經(jīng)過跳馬變換到達與其相對的頂點N，最少需要跳馬變換的次數(shù)是14次，故選：B．9.如圖所示，一動點從半徑為2的⊙O上的A0點出發(fā)，沿著射線A0O方向運動到⊙O上的點A1處，再向左沿著與射線A1O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A2處；接著又從A2點出發(fā)，沿著射線A2O方向運動到⊙O上的點A3處，再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A4處；…按此規(guī)律運動到點A2017處，則點A2017與點A0間的距離是（）A．4B．C．2D．010.（2017山東聊城）如圖，在平面直角坐標系中，直線l的函數(shù)表達式為y=x，點O1的坐標為（1，0），以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點P1，交x軸正半軸于點O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點P2，交x軸正半軸于點O3，以O(shè)3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點P3，交x軸正半軸于點O4；…按此做法進行下去，其中的長為．【解答】解：連接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的點，∴P1O1=OO1，∵直線l解析式為y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，二、填空題（6×4=24分）.11.（2018湖北荊州）（3.00分）如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為125，則第2018次輸出的結(jié)果是．【解答】解：∵第1次輸出的結(jié)果是25，第2次輸出的結(jié)果是5，第3次輸出的結(jié)果是1，第4次輸出的結(jié)果是5，第5次輸出的結(jié)果是5，…，∴第2n次輸出的結(jié)果是5，第2n+1次輸出的結(jié)果是1（n為正整數(shù)），∴第2018次輸出的結(jié)果是5．故答案為：5．@網(wǎng)12.（2017湖北江漢）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得到點P3，點P3繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到點P4，…，按此作法進行下去，則點P2017的坐標為．13.（2017貴州安順）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形AnBn﹣1Bn頂點Bn的橫坐標為．14.（218貴遵義4每層角的數(shù)層數(shù)關(guān)如所第208的三角形數(shù)．【解】：圖得，第1三形個為，第2三形個為，第3三形個為，第4三形個為，第5三形個為，……第n的角的數(shù)：2n1，∴當=208，角個數(shù)：×208﹣=40，故答為403．15.（2018廣西桂林）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按圖規(guī)律排列：規(guī)定位于第m行，第n列的自然數(shù)10記為（3，2），自然數(shù)15記為（4，2）…按此規(guī)律，自然數(shù)2018記為列行第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413……………第n行…………【分析】根據(jù)表格可知，每一行有4個數(shù)，其中奇數(shù)行的數(shù)字從左往右是由小到大排列；偶數(shù)行的數(shù)字從左往右是由大到小排列．用2018除以4，根據(jù)除數(shù)與余數(shù)確定2018所在的行數(shù)，以及是此行的第幾個數(shù)，進而求解即可．16.（2018廣西貴港）（3.00分）如圖，直線l為y=x，過點A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點A3；……，按此作法進行下去，則點An的坐標為（）．三、解答題（共46分）.17.（2017山東聊城）如圖，在平面直角坐標系中，直線l的函數(shù)表達式為y=x，點O1的坐標為（1，0），以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點P1，交x軸正半軸于點O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點P2，交x軸正半軸于點O3，以O(shè)3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點P3，交x軸正半軸于點O4；…按此做法進行下去，求的長．【分析】連接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x軸，可得為圓的周長，再找出圓半徑的規(guī)律即可解題．@網(wǎng)【解答】解：連接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的點，∴P1O1=OO1，∵直線l解析式為y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，18.（2017內(nèi)江）觀察下列等式：第一個等式：第二個等式：第三個等式：第四個等式：按上述規(guī)律，回答下列問題：（1）請寫出第六個等式：a6==﹣；（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an==﹣