第一節(jié)任意角與弧度制及任意角三角函數(shù)的概念【課程標準】1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.角的概念定義角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著其端點從初始位置旋轉到終止位置時所形成的圖形分類(1)按旋轉方向分為正角、負角和零角；(2)按終邊位置分為象限角和軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角用集合表示出來，即{β|β=α+k·360°，k∈Z}，當k=0時，角β就是角α本身[微提醒](1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍.(2)終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.2.弧度制定義長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1rad弧度數(shù)公式|α|=lr(弧長用l表示，半徑長用r表示角度與弧度的換算180°=πrad；1°=π180rad≈0.01745rad1rad=180π°≈57°18弧長公式弧長l=|α|r扇形面積公式S=12lr=12[微提醒](1)角度與弧度換算的關鍵是πrad=180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.(2)利用上表中的弧長和扇形面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度制.3.任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)的定義：設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sinα=yr，cosα=xr，tanα=(2)三角函數(shù)值在各象限的符號，如圖：[微提醒]記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【常用結論】(1)象限角的集合(2)軸線角的集合學生用書?第86頁【自主檢測】1.(多選)下列結論正確的是()A．銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角B．角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關C．不相等的角終邊一定不相同D．若α為第一象限角，則sinα+cosα>1答案：BD2.與－457°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α=k·360°+457°，k∈Z}B．{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C．{α|α=k·360°+263°，k∈Z}D．{α|α=k·360°－263°，k∈Z}答案：C解析：263°=－457°+360°×2，所以263°角與－457°角的終邊相同，所以與－457°角終邊相同的角可寫作α=k·360°+263°，k∈Z.故選C．3.若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：若sinθ<0，則角θ在第三或第四象限或在y軸負半軸上，若tanθ<0，則角θ在第二或第四象限，所以當sinθ<0且tanθ<0時，角θ在第四象限.故選D．4.在單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為.

答案：10π解析：單位圓的半徑r=1，200°的弧度數(shù)是200×π180=10π9，由弧長公式得l=5.已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，－3)，則sinα=，cosα=，tanα=.

答案：－31313213解析：由題知點P到原點的距離r=22+－32=13，則sinα=yr=－313=

－31313，cosα=xr=2考點一象限角與終邊相同的角自主練透1.若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B．α2C．3π2+αD．2α是第三或第四象限角或在y軸負半軸上答案：D解析：因為α是第二象限角，可得π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此時－α位于第三象限，故A錯誤；對于B，可得π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，當k為偶數(shù)時，α2位于第一象限；當k為奇數(shù)時，α2位于第三象限，故B錯誤；對于C，可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ，k∈Z，即2k+1π<3π2+α<π2+2k+1π，k∈Z，所以3π2+α位于第一象限，故C錯誤；對于D，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ，k∈Z2.若角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，則與2025°角終邊相同的最小正角為()A．25° B．135° C．225° D．335°答案：C解析：因為2025°=360°×5+225°，所以與2025°角終邊相同的最小正角為225°.故選C.3.如圖所示，終邊落在陰影部分的角α的取值集合為.

答案：{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}解析：終邊落在射線OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°，k∈Z}，終邊落在射線OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°，k∈Z}，所以終邊落在陰影部分(含射線OA，不含射線OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}.4.終邊在直線y=3x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為.

答案：－解析：如圖，在坐標系中畫出直線y=3x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3，在[0，2π)內(nèi)，終邊在直線y=3x上的角有兩個：π3，4π3；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個：－2π3，－5π1.象限角的判斷方法

(1)圖象法：在平面直角坐標系中作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.

(2)轉化法：將已知角化為α+2kπ(k∈Z，0≤α<2π)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，由角α所在象限判斷已知角所在象限.

2.判斷αk或kα(k≥2，且k∈N+)所在象限的方法步驟

第一步：先用終邊相同角的形式表示出角α的取值范圍；

第二步：寫出αk或kα的取值范圍；

第三步：根據(jù)k的可能取值討論確定αk或考點二弧度制及其應用師生共研(2022·全國甲卷)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB上，CD⊥AB.“會圓術”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CD2OA.當OA=2，∠AOB=60°時，s=(A．11－332C．9－332答案：B解析：由題意知，△OAB是等邊三角形，所以AB=OA=2.連接OC，因為C是AB的中點，所以OC⊥AB，OC=OA2－AC2=3，又CD⊥AB，所以O，C，D三點共線，所以CD=OD－OC=2－3，所以s=AB+CD2OA[變式探究]1.(變設問)若本例條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解：l=αR=π3×2=2π由已知得，S扇形AOB=12αR2=12×π3×22=2π3，S△AOB=12OA2sinπ3=3，所以弓形ADB的面積為學生用書?第87頁2.(變結論)若本例條件變?yōu)椋喝羯刃蜛OB的周長為4，求扇形AOB面積的最大值.解：設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=4，l=4－2r，0<r<2，則扇形的面積S=12lr=12(4－2r)r=(2－r)r=－r2+2r=－(r－1)2+所以當r=1時，S取得最大值1.應用弧度制解決問題的方法

1.利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

2.求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.

3.在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形. 對點練1.(多選)已知扇形的周長是6，面積是2，則下列選項可能正確的有()A．圓的半徑為2 B．圓的半徑為1C．圓心角的弧度數(shù)是1 D．圓心角的弧度數(shù)是2答案：ABC解析：設扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，則由題意得2r+αr=6，12αr2=2，解得r=1，α=4，或r=2對點練2.(2024·廣西貴港模擬)圖①是第19屆杭州亞運會會徽，名為“潮涌”，象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.圖②是會徽的幾何圖形，設弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環(huán)ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2.若l1l2=3，則S1A．3 B．4 C．6 D．8答案：D解析：因為l1l2=3，所以|OA||OB|=3.又因為S扇形AOD=12l1·|OA|，S扇形BOC=12l2·|OB|，所以S扇形AODS扇形BOC=l1考點三三角函數(shù)的概念及其應用多維探究角度1利用三角函數(shù)的定義求值(1)已知角α的終邊在直線y=－3x上，則10sinα+3cosα的值為(A．－610 B．610 C．0 D．－310(2)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα=－45，則m的值為(A．－12 B．－3C．12 D．答案：(1)C(2)C解析：(1)由題意知，cosα≠0，設角α的終邊上一點為(a，－3a)(a≠0)，則r=10|a|.當a>0時，r=10a，sinα=－31010，cosα=1010，所以10sin－310+310=0.當a<0時，r=－10a，sinα=31010，cosα=－1010，所以10sinα+3cosα=310－310=(2)由題意得點P(－8m，－3)，r=64m2+9，所以cosα=－8m64m2+9=－45，解得m=±12，又cosα=－45<0，所以－8m<0利用三角函數(shù)的定義解決問題的策略

1.已知角α終邊上一點P的坐標，求角α的三角函數(shù)值.先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解.

2.已知角α的某三角函數(shù)值，求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值.

3.已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.角度2三角函數(shù)值符號的判斷(1)若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，則角α是(A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不確定答案：(1)C(2)A解析：(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，則α為第二象限角或第三象限角.由cosαtanα<0可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知，α為第三象限角.(2)因為π2<2<3<π<4<3π2，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.故選三角函數(shù)值符號的判斷方法要判定三角函數(shù)值的符號，關鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定函數(shù)值的符號.如果角不能確定所在象限，那就要進行分類討論求解.對點練3.(1)已知角θ的終邊經(jīng)過點(2a+1，a－2)，且cosθ=35，則實數(shù)a的值是(A．－2 B．211C．－2或211 D．(2)若角θ是第四象限角，則y=sinθ|sinθ|+cosθ答案：(1)B(2)－1解析：(1)由題設可知，2a+12a+12+a－22=35且2a+1>0，即a>－12，所以4a2+4a+15a2+5=925，則11a2+20a－4(2)由題知，sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，所以y=sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|－1.學生用書?第88頁[真題再現(xiàn)](2020·全國Ⅱ卷)若α為第四象限角，則()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0答案：D解析：當α=－π6時，cos2α=cos－π3>0，故B錯誤；當α=－π3時，cos2α=cos－2π3<0，故A錯誤；由α在第四象限可得sinα<0，cosα>0，則sin2α=2sinαcosα<0，故C錯誤，[教材呈現(xiàn)](湘教版必修一P165例3)設sinθ<0且tanθ>0，試確定θ是第幾象限的角.點評：高考題和教材例題都考查了象限角的符號判斷，只是高考題與正弦、余弦的倍角公式相結合.課時測評27任意角與弧度制及任意角三角函數(shù)的概念對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共60分)1.時鐘的分針在8點到10點20分這段時間里轉過的弧度數(shù)為()A．143π B．－143C．718π D．－7答案：B解析：分針每分鐘轉6°，則分針在8點到10點20分這段時間里轉過度數(shù)為－6°×(2×60+20)=－840°，所以－840×π180=－143π.故選2.與－2026°終邊相同的最小正角是()A．136° B．134° C．56° D．44°答案：B解析：因為－2026°=－360°×6+134°，所以與－2026°終邊相同的最小正角是134°.故選B．3.已知弧長為πcm的弧所對的圓心角為π4，則這條弧所在的扇形的面積為(A．π2cm2 B．πcm2C．2πcm2 D．4πcm2答案：C解析：由題知扇形所在圓的半徑r=ππ4=4cm，則這條弧所在的扇形的面積S=12×π×4=2πcm4.下列各選項中正確的是()A．sin300°>0 B．cos(－305°)<0C．tan－22π3>0 D．sin10答案：D解析：300°=360°－60°，則300°角是第四象限角，故sin300°<0，故A錯誤；－305°=－360°+55°，則－305°角是第一象限角，故cos(－305°)>0，故B錯誤；－22π3=－8π+2π3，則－22π3是第二象限角，故tan－22π3<0，故C錯誤；3π<10<7π2，則10是第三象限角，故sin10<0，故5.已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，m)，B(m，4)，則cosα=()A．±55 B．5C．±255 D答案：B解析：記O為坐標原點，由題意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三點共線，則m≠0，所以m1=4m，解得m=±2，又A，B兩點在同一象限，所以m=2，則A(1，2)，所以cosα=112+22=6.“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有”懷袖雅物”的別號.當折扇所在扇形的圓心角為2π3時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長AB與弧長AB之比為(A．23π3 BC．332π D答案：C解析：設扇形的弧長為l，半徑為r，如圖，取AB的中點D，連接OD，圓心角α為2π3，則∠BOD=π3，所以弦長AB=2BD=2rsinπ3=3r.又弧長AB=2π3r，所以弦長AB與弧長AB之比為3r2π7.(多選)下列條件中，能使角α，β的終邊關于y軸對稱的是()A．α+β=540° B．α+β=360°C．α+β=180° D．α+β=90°答案：AC解析：假設角α，β為0°~180°內(nèi)的角.如圖所示.由角α和β的終邊關于y軸對稱，得α+β=180°.又根據(jù)終邊相同的角的概念，可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C．故選AC．8.(多選)下列說法正確的是()A．若角α是第一象限角，則角－α是第四象限角B．若角α，β是第一象限角，且α<β，則sinα<sinβC．若圓心角為π3的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為D．若扇形的圓心角為2π3，圓心角所對的弦長為43，則該扇形的弧長為答案：AD解析：對于A，若角α為第一象限角，則α∈2kπ，π2+2－α∈－π2－2kπ，－2kπ，k∈Z，是第四象限角，故A正確；對于B，若α=π3，β=13π6，滿足α，β是第一象限角，且α<β，但sinα>sinβ，故B錯誤；對于C，設扇形所在圓的半徑為r，則π3r=π，解得r=3，所以該扇形的面積S=12×π3×32=3π2，故C錯誤；對于D，若圓心角為2π3，圓心角所對的弦長為43，則扇形所在圓的半徑r=43×9.(多選)已知點P(sinθ－cosθ，tanθ)在第一象限，則在[0，2π]內(nèi)角θ的取值范圍可以是()A．π，5π4 C．π2，3π4答案：AB解析：因為點P(sinθ－cosθ，tanθ)在第一象限，所以sinθ－cosθ>0，tanθ>0，即角θ位于第一象限或第三象限，且滿足sinθ>cosθ，所以當角θ位于第一象限時，θ∈π4，π2，此時sinθ>cosθ；當角θ位于第三象限時，θ∈10.若角α是第二象限角，則180°－α是第象限角.

答案：一解析：若角α是第二象限角，則k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z，所以－k·360°－180°<－α<－k·360°－90°，k∈Z，所以－k·360°<180°－α<－k·360°+90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角.11.若角α的終邊經(jīng)過點P(3m，－4m)(m<0)，則sinα+cosα=.

答案：1解析：由題意得，r=|OP|=(3m)2+(－4m)2=5|m|=－5m(O為坐標原點)，則sinα=yr=－4m－5m=45，cosα=12.一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的23，面積等于圓面積的527，則扇形的弧長與圓周長之比為答案：5解析：設圓的半徑為r，則扇形的半徑為2r3，記扇形的圓心角為α，則12α2r32πr2=527(每小題8分，共16分)13.(多選)已知點P(sinx－cosx，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是()A．5π4，9π4C．－π2，π答案：AD解析：由點P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－3π4+2kπ<x<π4+2kπ，k∈Z.當k=0時，x所在的一個區(qū)間是－3π4，π4，當k=1時，x14.(新情境)我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，順利將探測器送入預定軌道，經(jīng)過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月球表面400千米，已知月球半徑約為1738千米