培優(yōu)課13球的切、接問題球的切、接問題，是歷年高考的熱點內容，經常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關鍵點是確定球心．一、正方體、長方體外接球1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3．補成長方體(1)若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖①所示．(2)若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖②所示.(3)正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長a＝PA2，如圖③所示(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖④所示．二、正四面體外接球如圖，設正四面體ABCD的棱長為a，將其放入正方體中，則正方體的棱長為22a，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為R＝22a·32＝三、對棱相等的三棱錐外接球四面體ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則&b2+c2＝m2，&a2+c2＝n2，&a2+b2＝t2，三式相加可得a四、直棱柱外接球如圖①，圖②，圖③，直三棱柱內接于球(同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：確定球心O的位置，O1是△ABC的外心，則OO1⊥平面ABC；學生用書第177頁第二步：算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝12AA1＝12h第三步：勾股定理：OA2＝O1A2＋O1O2?R2＝r2＋h22?R＝r2+五、正棱錐與側棱相等模型1．正棱錐外接球半徑：R＝r22．側棱相等模型：如圖，P的射影是△ABC的外心?三棱錐P-ABC的三條側棱相等?三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO1＝r，再算出棱錐的高PO1＝h(也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2＝O1A2＋O1O2?R2＝r2＋(h－R)2，解出R＝r2六、圓錐圓柱圓臺模型1．球內接圓錐：如圖①，設圓錐的高為h，底面圓半徑為r，球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來計算R.如圖②，當PC>CB時，球心在圓錐內部；如圖③，當PC<CB時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正棱錐問題情形相同，圖②和圖③兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖②、圖③可知，OC＝h－R或R－h(huán)，故(h－R)2＋r2＝R2，所以R＝h22．球內接圓柱：如圖，圓柱的底面圓半徑為r，高為h，其外接球的半徑為R，三者之間滿足h22＋r2＝R23．球內接圓臺：R2＝r22+r22-r1題型一外接球技法1定義法(1)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45?，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是()A．14π B．16πC．18π D．20π(2)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(A．100π B．128πC．144π D．192π答案：(1)D(2)A解析：(1)在△BAC中，∠BAC＝45?，AB＝22，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45?＝8＋16－2×22×4×22＝8，則BC2＋AB2＝AC2由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，又△PAC為直角三角形，所以PC是三棱錐P-ABC外接球直徑，設O是PC的中點，即為球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝AC2+PA2＝42+22＝2(2)由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2(圖略)，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上．設球O解得OO1＝4(舍去)；當球心O不在線段O1O2上時，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝綜上，該球的表面積為100π.故選A．到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可．對點練1．(2025·四川宜賓模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A．3172 B．C．132 D．3答案：C解析：由題意作圖如圖，過球心O作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.因為AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5，又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O學生用書第178頁技法2補形法(1)(2025·山東德州模擬)在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為22，32，62，則三棱錐A-A．6π B．26πC．36π D．46π(2)已知在三棱錐P-ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A．4π3 B．C．32π3 D．4答案：(1)A(2)A解析：(1)設AB，AC，AD的長度分別為a，b，c，由題意得&ab＝2，&bc＝3，&ca＝6，解得&a＝2，&b＝1(2)AB＝AC2+BC2＝3，設PB＝h，則由PA＝2PB，可得3+h2＝2h，解得h＝1，可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球，設外接球的半徑為R，則2R＝12+22+1．補形法的解題策略(1)側面為直角三角形，或對棱均相等的模型和正四面體，可以還原到長方體或正方體中去求解．(2)直三棱錐可以補成三棱柱求解．2．若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝a2+對點練2.(1)已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為()A．68π B．6C．38π D．3(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．答案：(1)A(2)136解析：(1)如圖，將棱長為1的正四面體B1-ACD1放入正方體ABCD-A1B1C1D1中，且正方體的棱長為1×cos45?＝22，所以正方體的體對角線AC1＝222+222+222＝62，所以正方體外接球的直徑2R＝AC1＝62，R＝64，所以正方體外接球的體積為(2)如圖，添加的三棱錐為直三棱錐E-ADF，可以將該多面體補成一個直三棱柱ADF-BCE，因為CE⊥平面ABCD，所以CE⊥DC，又DC⊥CB，所以DC⊥平面BCE，故該三棱柱為直三棱柱．又AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝12CE×BC＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF-BCE的體積V＝法一：如圖，分別取AF，BE的中點M，N，連接MN，與AE交于點O，因為四邊形AFEB為矩形，所以O為AE，MN的中點，在直三棱柱ADF-BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90?，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點O，AO即為球的半徑，因為AM＝12AF＝22，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝12+1＝32法二：因為CE，CB，CD兩兩垂直，故可將直三棱柱ADF-BCE補成長方體(圖略)，設外接球的半徑為R，則4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面積S＝4πR2＝6π.技法3截面法(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AB＝23，BB1＝25，則三棱柱ABC-A1B1A．64π B．36πC．27π D．16π(2)(2025·河南三門峽模擬)四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為________．答案：(1)B(2)16π解析：(1)如圖，取△ABC，△A1B1C1的外接圓的圓心分別為M，N，連接MN，取MN的中點O，則O是三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，設△ABC的外接圓的半徑為r，三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R，由正弦定理得，因為ABsinC＝23sin60?＝2r，所以r＝2，即AM＝2，又BB1＝25，所以OM＝5，所以R＝OA＝22+52＝3，所以外接球的表面積為4πR(2)如圖，連接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中點E，連接PE，EG.因為四邊形ABCD為矩形，所以G為四邊形ABCD的外接圓圓心；在線段PE上取ME＝13PE，因為△PAD為等邊三角形，所以M為△PAD外接圓圓心，過G，M分別作平面ABCD和平面PAD的垂線，則兩垂線的交點即為球O的球心O，連接OP，因為△PAD為等邊三角形，所以PE⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE∥OG，同理可得，OM∥EG，所以四邊形OMEG為矩形，所以OM＝EG＝12AB＝1，PM＝23PE＝23×9-94＝3，所以OP＝OM2對點練3.已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，圓臺的兩底面在球心的同側，則此正四棱臺的體積為________．答案：28解析：由題知，正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上，取正四棱臺上底面一點為A，正方形中心為O1，下底面一點為B，正方形中心為O2，正四棱臺外接球球心為O，連接AO1，OO1，BO2，OA，OB，如圖所示，記正四棱臺高O1O2＝h，OO1＝m，在Rt△AOO1中，AO＝3，AO1＝1，OO1＝m，所以有m2＋1＝9，解得m＝22，在Rt△BOO2中，BO＝3，BO2＝2，OO2＝m－h(huán)>0，所以有(m－h(huán))2＋4＝9，解得m－h(huán)＝5，即h＝22-5，因為四棱臺上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，所以四棱臺上、下底面正方形的邊長分別為2和22，所以S上＝2，S下＝8，h＝22-5，故正四棱臺體積為V＝13h(S上＋S下與球截面有關的解題策略1．定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到頂點的距離相等且為半徑．2．作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的．題型二內切球(1)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90?，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為()A．32π3，4 B．9C．6π，4 D．32π3(2)在正四棱錐P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，則該四棱錐內切球的表面積是()A．4π7 BC．36π7 D答案：(1)D(2)C解析：(1)由題意知，當健身手球與直三棱柱的三個側面均相切時，健身手球的體積最大．易知AC＝AB2+BC2＝10，設健身手球的半徑為R，則12×(6＋8＋10)×R＝12×6×8，解得R＝2.則健身手球的最大直徑為4.因為AA1＝13，所以最多可加工3個健身手球．于是一個健身手球的最大體積V＝43πR3＝43π(2)過點P作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，連接OA，如圖，因為AB＝6，所以OA＝32，所以OP＝PA2-OA2＝25-18＝7，則四棱錐P-ABCD的體積V＝13×62×7＝127，四棱錐P-ABCD的表面積S＝6×6＋12×6×25-9×4＝84.設四棱錐P-ABCD內切球的半徑為r，內切球的球心為O′，由V＝VO′-ABP＋VO′-BCP＋VO′-CDP＋VO′-ADP＋VO′-ABCD，可得“切”的處理解決與球有關的內切問題主要是指球內切于多面體或旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面．注意：正四面體的外接球的半徑R＝64a，內切球的半徑r＝612a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長對點練4．半球內放三個半徑為3的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋3 B．3C．5+7 D答案：D解析：三個小球的球心O1，O2，O3構成邊長為23的正三角形，則其外接圓半徑為2.設半球的球心為O，小球O1與半球底面切于點A.如圖，經過點O，O1，A作半球的截面，則半圓⊙O的半徑為OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于點B，則OA＝O1B＝2.設該半球的半徑是R，在Rt△OAO1中，由R-32＝22+3課時測評53球的切、接問題對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)(每小題5分，共50分)1．已知一個棱長為2的正方體的頂點都在某球面上，則該球體的體積為()A．823π B．4C．8π D．12π答案：B解析：因為正方體的體對角線等于外接球的直徑，且正方體的棱長為2，故該球體的直徑2R＝22+22+22＝23，所以R＝3.故該球體的體積V＝2．在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．494π B．56C．56143π D．答案：D解析：如圖，將三棱錐P-ABC補全為長方體，則長方體的外接球就是所求的外接球，設球的半徑為R，則4R2＝(2R)2＝PA2＋PB2＋PC2＝14，所以球的表面積為S＝4πR2＝14π.故選D．3．已知圓臺O1O2上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為22，圓臺的外接球的球心為O，半徑為R，且球心在圓臺的軸O1O2上，滿足O1O＝3OO2，則圓臺O1O2的外接球的表面積為()A．32π B．34πC．35π D．38π答案：B解析：由題意知O1O＝R2-22，OO2＝R2-222，且O1O＝3OO2，得R2－4＝9R2－72，解得R2＝4．若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為()A．π B．2πC．3π D．4π答案：C解析：過圓錐的旋轉軸作軸截面，得△ABC及其內切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意得⊙O1的半徑為r＝1，所以△ABC的邊長為23，所以圓錐的底面半徑為3，高為3，所以V＝13×π×3×3＝3π.故選C5．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側棱與底面垂直，一個體積為4π3的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是(A．63 B．123C．183 D．243答案：C解析：根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于23，所以這個三棱柱的表面積等于3×23×2+2×16．(數(shù)學文化)“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為1，則該多面體外接球的體積為()A．43π B．8C．4π D．8π答案：A解析：將該多面體放入正方體中，如圖所示．由于多面體的棱長為1，所以正方體的棱長為2，因為該多面體是由棱長為2的正方體連接各棱中點所得，所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點，其外接球直徑等于正方體的面對角線長，即2R＝22+22，所以R＝1，所以該多面體外接球的體積V＝43πR3＝47．(多選)(2025·河北承德模擬)在正四棱錐P-ABCD中，若側面與底面所成的角為π3，底面正方形的邊長為2，則下列說法正確的是(A．正四棱錐外接球的表面積是25B．正四棱錐內切球的體積是4C．正四棱錐的體積為43D．正四棱錐外接球的半徑R與內切球的半徑r之比為5答案：BD解析：如圖，O1為底面ABCD的中心，O為正四棱錐P-ABCD的外接球的球心，由正方形ABCD的邊長為2，側面與底面所成的角為π3，可知PO1＝3，斜高h＝2，則OO1＝3-R，O1B＝2，VP-ABCD＝13×2×2×3＝433，故C錯誤；在Rt△OO1B中，OO12＋O1B2＝OB2，即3-R2＋2＝R2，解得R＝536，則正四棱錐外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×5362＝258．(多選)已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝23，點D為AB的中點，過點D作球O的截面，則截面的面積可以是()A．π2 B．C．9π D．13π答案：BCD解析：三棱錐P-ABC的外接球即為以AB，AC，AP為鄰邊的長方體的外接球，所以2R＝62+22+232＝2所以O1為△ABC的外接圓圓心，所以OO1⊥平面ABC，且OO1＝3，如圖．當OD⊥截面時，截面的面積最小，因為OD＝OO12+O1D2＝32+32＝23，此時截面圓的半徑為r＝R2-OD2＝1，所以截面面積為π9．(2023·全國甲卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是________．答案：2解析：設球的半徑為R.當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑2R′為體對角線長AC1＝42+42+42＝43，即2R′＝43，R′＝23，故Rmax＝23；分別取側棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點M，H，G，N，顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且O為正方形MNGH的對角線交點，連接MG，則MG＝4210．(2023·全國乙卷)已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________．答案：2解析：如圖，設△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，則2r＝ABsin∠ACB＝332＝23，可得r＝3，設三棱錐S-ABC的外接球球心為O，連接OA，OO1，O1A，則OA＝2，OO1＝12SA，因為OO1⊥O1A，所以OA2＝OO12＋O(每小題8分，共32分)11．(2024·廣西河池模擬)在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8π B．12πC．20π D．24π答案：C解析：如圖，由于三棱錐P-ABC的四個面都為直角三角形，則△ABC是直角三角形，且∠ABC＝π2，所以BC＝AC2-AB2＝23.又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直徑為PC＝2R＝PA2+AC2＝20＝2512．兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32π3，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為(A．3π B．4πC．9π D．12π答案：B解析：如圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點D，設圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，即AD＝3BD，設球的半徑為R，則4πR33＝32π3，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，所以OD＝1，CD＝3，因此，這兩個圓錐的體積之和為13π×CD2·AD+BD＝113．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為()A．13