第四節(jié)函數(shù)的對稱性【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題.1.函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.(3)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x)或f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.2.兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于y軸對稱.(2)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于x軸對稱.(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于原點對稱.【常用結(jié)論】函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系(雙對稱問題求周期)(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a和x=b(a≠b)對稱，則y=f(x)的一個周期為2|b-a|.(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a，0)和(b，0)(a≠b)對稱，則y=f(x)的一個周期為2|b-a|.(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a和(b，0)(a≠b)對稱，則y=f(x)的一個周期為4|b-a|.【自主檢測】1.(多選)下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱B．函數(shù)y=f(x-1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱C．若函數(shù)f(x)滿足f(x-1)+f(x+1)=0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱D．若函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱答案：AD2.函數(shù)f(x)=x+1x圖象的對稱中心為(A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1)答案：B解析：因為f(x)=x+1x=1+1x，由y=1x向上平移一個單位長度得到y(tǒng)=1+1x，又y=1x關(guān)于(0，0)對稱，所以f(x)=1+1x的圖象關(guān)于(03.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為[-5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為.

答案：[-5，-2)∪(2，5]解析：由題圖可知，當(dāng)0<x<2時，f(x)>0；當(dāng)2<x≤5時，f(x)<0.又f(x)是偶函數(shù)，所以當(dāng)-2<x<0時，f(x)>0；當(dāng)-5≤x<-2時，f(x)<0.綜上，不等式f(x)<0的解集為[-5，-2)∪(2，5].4.偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且當(dāng)x∈[2，3]時，f(x)=2x-1，則f(-1)=.

答案：5解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(-1)=f(1)，由f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，可得f(1)=f(3)=2×3-1=5.學(xué)生用書?第27頁考點一軸對稱問題師生共研(1)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于直線x=2對稱的是()A．y=log2(2+x) B．y=log2(2-x)C．y=log2(4+x) D．y=log2(4-x)(2)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則ab=.

(3)(2023·全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=1x+aln(1+x)，是否存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱?若存在，求a答案：(1)D(2)120解析：(1)設(shè)所求函數(shù)的圖象上任意一點P(x，y)，則點P關(guān)于x=2對稱的點為Q(4-x，y)，由題意知點Q在y=log2x的圖象上，可得y=log2(4-x)，即函數(shù)y=log2x關(guān)于x=2對稱的函數(shù)解析式為y=log2(4-x).故選D．(2)因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，所以f(-3)=f(-1)，f(-5)=f(1)，即-89-3a+(3)假設(shè)存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱令g(x)=f1x=(x+a)ln1+1x=(x+a)ln因為曲線y=g(x)關(guān)于直線x=b對稱，所以g(x)=g(2b-x)，即(x+a)lnx+1x=(2b-x+a)ln2b-x+12b-于是a=-當(dāng)a=12，b=-12時，g(x)=x+g(-1-x)=-x-12ln-x-1-x=-x-12lnx1+所以曲線y=g(x)關(guān)于直線x=-12對稱，滿足題意故存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱，且a=12，b=-軸對稱問題的常用性質(zhì)

1.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f(x)=f(2a-x)?f(a-x)=f(a+x).

2.若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b對點練1.(1)(2024·山東東營模擬)已知函數(shù)f(x)=32-x+3x+a，其中a為常數(shù)，若存在x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，則x1+x2=()A．0 B．1 C．2 D．2a(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(-x2)>f(-1)的解集為.

答案：(1)C(2)(-1，1)解析：(1)因為f2-x=3x+32-x+a=f(x)，所以f(x)關(guān)于直線x=1對稱，又f(x1)=f(x2)，所以x1+x2=2.故選(2)因為f(x+2)是偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(-∞，2]上單調(diào)遞增.又-x2，-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f(-1)，所以-x2>-1，即x2<1，所以-1<x<1，所以原不等式的解集為(-1，1).考點二中心對稱問題師生共研(1)(2024·新疆烏魯木齊二模)若函數(shù)fx=ax-1x-1的圖象關(guān)于點1，A．-2 B．-1 C．1 D．2(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x+2)=0，若函數(shù)y=f(x)-1x-1有6個零點，則6個零點的和為答案：(1)D(2)6解析：(1)f(x)=ax-1x-1=a+a-1x-1關(guān)于(1，2)對稱，所以f(1+x)+f(1-x)=4，即a+a-1x+1(2)因為f(-x)+f(x+2)=0，所以f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，又y=1x-1的圖象也關(guān)于點(1，0)對稱，所以函數(shù)y=f(x)-1x-1(x≠1)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，該函數(shù)的零點之和為中心對稱問題的常用性質(zhì)

1.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?2b-f(x)=f(2a-x).

2.若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點a+b對點練2.(1)(2024·河南安陽期中)已知函數(shù)f(x)=2x-162xx∈R，則f(x)A．關(guān)于直線x=2對稱 B．關(guān)于點(2，0)對稱C．關(guān)于直線x=0對稱 D．關(guān)于原點對稱(2)已知函數(shù)fx=x3-3x2，則∑k=-2023A．-8098 B．-8096C．0 D．8100答案：(1)B(2)A解析：(1)對于A，由f4-x=24-x-1624-x=162x-2x≠f(x)，所以f(x)的圖象不關(guān)于直線x=2對稱，故A錯誤；對于B，由f4-x=24-x-1624-x=162x-2x=-f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，故B正確；對于C，由f(-x)=2-x-162-x=12x-16×2x≠f(x)，所以f(x)不是偶函數(shù)，故f(x)的圖象不關(guān)于直線x=0對稱，故C錯誤；對于D，由f(-x)=2-x-162-x=12x-16×2x(2)fx=x3-3x2=x-13-3x+1=x-13-3x-1-2，所以f1+x+f(1-x)=x3-3x-2-x3+3x-2=-4，即fx關(guān)于(1，-2)中心對稱，所以∑k=-20232025fk=[f-2023+f2025]+[f-2考點三兩個函數(shù)圖象的對稱師生共研已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+2)的圖象與y=f(4-x)的圖象()A．關(guān)于直線x=1對稱 B．關(guān)于直線x=3對稱C．關(guān)于直線y=3對稱 D．關(guān)于點(3，0)對稱答案：A解析：設(shè)P(x0，y0)為y=f(x+2)圖象上任意一點，則y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以點Q(2-x0，y0)在函數(shù)y=f(4-x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2-x0，y0)關(guān)于直線x=1對稱，所以函數(shù)y=f(x+2)的圖象與y=f(4-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.故選A．函數(shù)y=f(a+x)的圖象與函數(shù)y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=b-a學(xué)生用書?第28頁對點練3.(1)(2024·福建廈門高三質(zhì)檢)函數(shù)y=f(1-x)的圖象與函數(shù)y=f(2+x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱，其中m=()A．3 B．32C．-1 D．-1(2)下列函數(shù)與y=2x-cosx的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是()A．g(x)=-2x+cosxB．g(x)=2-x-cos(C．g(x)=-2-x+cos(D．g(x)=-2-x-cos(答案：(1)D(2)C解析：(1)設(shè)點P(x，y)在函數(shù)y=f(1-x)的圖象上，點P關(guān)于直線x=m的對稱點為Q(x'，y')，則x+x'=2m，y=y'，則x=2m-x'，y=y'，則y'=f(1-2m+x')，即y=f(1-2m+x)與(2)令f(x)=2x-cosx，f(x)與g(x)關(guān)于原點對稱，則g(x)+f(-x)=0，所以g(x)=-f(-x)=-[2-x-cos(-x)]=-2-x+cos(-x).故選[真題再現(xiàn)](2024·新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=lnx2-x+ax+b(x-證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形.證明：fx=lnx2-x+ax+bx-13的圖象是由函數(shù)gx=lnx+11-x+ax+bx3+a向右平移1個單位得到，而函數(shù)gx=lnx+11-x+ax+bx[教材呈現(xiàn)](湘教版必修一P86T13)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(1+x)=f(1-x).若當(dāng)x≥1時，f(x)=x2-1，試確定f13，f23，f3點評：該高考題是教材習(xí)題結(jié)論的直接應(yīng)用，推出fx+1-a=lnx+11-x+ax+bx3為奇函數(shù)即可.如果利用結(jié)論f(2-x)+f(x)課時測評9函數(shù)的對稱性對應(yīng)學(xué)生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共60分)1.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+2025)是偶函數(shù)，則f(x)圖象()A．關(guān)于點(2025，0)中心對稱B．關(guān)于點(-2025，0)中心對稱C．關(guān)于直線x=2025對稱D．關(guān)于直線x=-2025對稱答案：C解析：因為f(x+2025)為偶函數(shù)，所以f(x+2025)=f(-x+2025)，所以函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=2025對稱.故選C．2.函數(shù)f(x)=ex-2-e2-x的圖象關(guān)于()A．點(-2，0)對稱 B．直線x=-2對稱C．點(2，0)對稱 D．直線x=2對稱答案：C解析：因為f(x)=ex-2-e2-x，所以f2+x=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x，f2-x=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex，所以f(2+x)+f(2-x)=0，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2，0)對稱.3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+b的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，則b等于()A．-3 B．-1 C．1 D．3答案：C解析：因為f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，所以f(x)+f(2-x)=0，又f(2-x)=(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=-x3+(a+6)x2-(4a+13)x+10+4a+b，所以f(x)+f(2-x)=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0，所以2a+6=0，4a+12=0，10+4a+24.(2024·江蘇淮安模擬)定義在R上的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞，2)上是增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則()A．f(1)<f(5) B．f(1)>f(5)C．f(1)=f(5) D．f(0)=f(5)答案：C解析：因為y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f(-x+2)=f(2+x+2)=f(4+x)，所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，故f(1)=f(5).故選C．5.(2024·廣東順德模擬)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，那么函數(shù)y=-f(x+4)的圖象與函數(shù)y=f(6-x)的圖象之間()A．關(guān)于點(1，0)對稱 B．關(guān)于直線x=1對稱C．關(guān)于點(5，0)對稱 D．關(guān)于直線x=5對稱答案：A解析：設(shè)P(m，n)是y=-f(x+4)圖象上的任意一點，則n=-f(m+4)，作等量變換n=-f[6-(2-m)]，即-n=f[6-(2-m)]，則點P'(2-m，-n)在y=f(6-x)的圖象上，因為P(m，n)，P'(2-m，-n)關(guān)于點(1，0)對稱，所以函數(shù)y=-f(x+4)的圖象與函數(shù)y=f(6-x)的圖象之間關(guān)于點(1，0)對稱.故選A．6.已知函數(shù)f(x+2)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[2，+∞)上恒有fx1-fx2x1-x2<0xA．(-∞，e)∪(e3，+∞) B．(1，e2)C．(e，e3) D．(e，+∞)答案：C解析：因為函數(shù)f(x+2)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，因為f(x)在[2，+∞)上恒有fx1-fx2x1-x2<0x1≠x2，所以f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，f(x)在(-∞，2)上單調(diào)遞增，不等式f(lnx)>f(1)需滿足|lnx-2|<|1-2|?17.(多選)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，則下列說法正確的是()A．f(x)=f(-x)B．f(2+x)+f(2-x)=0C．f(3)=f(5)D．f(x+2)=f(x-2)答案：ABC解析：因為f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)，故A正確；因為f(x)的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，對于f(x)的圖象上的點(x，y)關(guān)于點(2，0)的對稱點(4-x，-y)也在函數(shù)圖象上，即f(4-x)=-y=-f(x)，用2+x替換x得到，f[4-(2+x)]=-f(2+x)，即f(2+x)+f(2-x)=0，故B正確；由f(2+x)+f(2-x)=0，令x=1，則f(3)=-f(1)，令x=3，則f(5)=-f(-1)=-f(1)，則f(3)=f(5)，故C正確；由B知，f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)，故D錯誤.故選ABC．8.(多選)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)f(x-2)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于原點對稱，則下列說法正確的是()A．f(-2)=0B．對?x∈R，f(x)=f(x+4)恒成立C．函數(shù)f(x)關(guān)于點(-1，0)中心對稱D．f(2023)=0答案：BCD解析：因為函數(shù)f(x-2)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，所以f(x-2)=f(-x-2)，則f(x)=f(-x-4)，因為函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-1，0)中心對稱，f(-1)=0，所以f(x-1)=-f(-x-1)，則f(x)=-f(-x-2)，故C正確；因為f(x)=f(-x-4)=-f(-x-2)，所以f(x-4)=-f(x-2)，故f(x)=f(x+4)，故B正確；f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=0，故D正確；沒有條件能確定f(-2)=0，故A錯誤.故選BCD．9.(多選)(2024·湖北襄陽模擬)已知函數(shù)f(x)定義域為R，f(x+2)為偶函數(shù)，f(-3x+1)為奇函數(shù)，則下列一定成立的是()A．f(2)=0 B．f(1)=0C．f(0)=0 D．f(-1)=0答案：BD解析：因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2)，函數(shù)f(x)關(guān)于x=2對稱，因為f(-3x+1)為奇函數(shù)，所以f(-3x+1)=-f(3x+1)，函數(shù)f(x)關(guān)于點(1，0)對稱，因為函數(shù)f(x)定義域為R，所以f(1)=0，故B正確；又因為函數(shù)f(x)關(guān)于x=2對稱，所以f(3)=0，由f(-3x+1)=-f(3x+1)可得令x=23，f-1=-f(3)=0，故D正確；可構(gòu)造函數(shù)f(x)=cosπ2x-2滿足題意，此時f(2)=cos0=1，f(0)=cos(-π)=-1，故10.函數(shù)fx=2x-2024+2025的答案：x=1012解析：因為fx=2x-2024+2025=2|x-1012|+2025，所以f2024-x=2|2024-x-1012|+2025=21012-x+202511.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4-x)+f(x)=2，若f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，則f(-2)=.

答案：1解析：因為f(4-x)+f(x)=2，令x=2，所以f(4-2)+f(2)=2f(2)=2，所以f(2)=1，又f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，所以f(6)=f(2)=1，令x=-2，則f[4-(-2)]+f(-2)=2?f(6)+f(-2)=2，即1+f(-2)=2，所以f(-2)=2-1=1.12.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)是偶函數(shù)，若函數(shù)y=|x2-4x-5|與函數(shù)y=f(x)圖象的交點為(x1，y1)，x2，y2，…，xn，yn，則橫坐標(biāo)之和x1+x2+答案：2n解析：因為f(x+2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，因為y=|x2-4x-5|=|(x-2)2-9|，所以函數(shù)y=|x2-4x-5|的圖象也關(guān)于直線x=2對稱，所以x1+x2+…+xn=n2·4=2n(每小題8分，共16分)13.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+2)，f(x-2)都為奇函數(shù)，則下面結(jié)論成立的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)=f(x+8)D．f(x+6)為奇函數(shù)答案：CD解析：因為f(x+2)，f(x-2)都為奇函數(shù)，即f(x)的圖象關(guān)于(-2，0)和(2，0)對稱，所以f(-x)+f(4+x)=0，f(-x)+f(-4+x)=0，所以f(-4+x)=f(4+x)，所以f(x)=f(8+x)，因為f(x-2)=-f(-x-2)，所以f(x-2+8)=-f(-x-2+8)，即f(x+6)=-f(-x+6)，所以f(x+6)為奇函數(shù).故選CD．14.(多選)(2025·海南?？谀M)已知函數(shù)fx的定義域為R，其圖象關(guān)于1，2中心對稱，若fx-f4-A．f4-B．f2+f4=4C．y=fx+1-2D．y=f2+x+2x答案：ACD解析：對于A，fx的定義域為R，其圖象關(guān)于1，2中心對稱，故f4-5x+f5x-2=4，故f4-5x+f5x-24=1，故A正確；對于B，由題意得f4-x+fx-2=4，又fx-f4-x4=2-x，故fx+fx-2-44=2-x，令x=4得f4+f2-44=2-4，即f4+f2=-8+4=-4，故B錯誤；對于C，由題意得f1-x+fx+1=4，即f1-x-2=-[f(x+1)-2]，令gx=fx+1-2，則g-x=-gx，所以y=fx+1-2為奇函數(shù)，故C正確；對于D，因為fx-f4-x4=2-x(每小題12分，共24分)15.(2024·山東德州模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-x2，x>0，x2+1-A．[-1，+∞) B．(-1，+∞)C．[1，+∞) D．(1，+∞)答案：D解析：y=x3-x2關(guān)于原點對稱的函數(shù)為-y=-x3-x2，即y=x3+x2，若函數(shù)f(x)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則y=x2+1-a與y=x3+x2在(-∞，0)上有交點，所以