第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省眉山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=i?(2+i)，則z=(

)A.?1+2i B.1+2i C.?1?2i D.1?2i2.函數(shù)f(x)=3cos(2x?π4)的一個對稱中心是A.(π8,?0) B.(3π8,?0)3.為落實“雙碳”目標(biāo)，某環(huán)保組織調(diào)研10個國家2024年度的人均碳排放強(qiáng)度(單位：噸/人?年)后，得到數(shù)據(jù)如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15.則該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)是(

)A.5 B.6 C.7 D.124.已知一個圓錐的母線長為3，表面積為10π，則該圓錐的底面半徑為(

)A.2 B.3 C.103 D.5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AE=12AD,FC=14AC，若A.1 B.54 C.2 D.6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)=2sin(2x+π6)

C.f(0)=7.廡殿頂是中國傳統(tǒng)建筑中等級最高的屋頂形式之一，形態(tài)為四面斜坡，有一條正脊和四條斜脊，《九章算術(shù)》中將類似廡殿頂?shù)膸缀误w稱為“芻甍”(圖1).據(jù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣(袤：南北方向長度；廣：東西方向長度)”，其體積公式為：16×(2×上袤+下袤)×廣×高.如圖2所示，芻甍是底面為矩形的五面體，頂部是一條與底面平行的正脊，四條斜脊長度相等，若下袤為24m，廣為12m，上袤是下袤的13，斜脊與底面所成角均為π4，則該芻甍的體積為(

)A.400m3 B.4002m38.設(shè)函數(shù)f(x)=23|x?2|,g(x)=2|sinπ2x|，則曲線A.8 B.10 C.12 D.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=1+i1?i，以下結(jié)論正確的是(

)A.z?=?i

B.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?1對應(yīng)的點位于第四象限

C.|z+i|=2

D.10.下列命題中為真命題的是(

)A.若直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n//α

B.兩條異面直線被兩個平行平面截得的線段的中點連線平行于這兩個平面

C.若平面α⊥平面β，直線m⊥平面α，直線n⊥平面β，則n⊥m

D.若直線m?平面α，直線n?平面α，直線m//平面β，直線n//平面β，則α//β11.在△ABC中，BC=2，A=30°，△ABC的重心為G，外心為O，則下列命題正確的是(

)A.BO=233

B.OA+OB+OC=3OG

C.若向量BA在BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某汽車4S店欲通過分層隨機(jī)抽樣了解A、B、C三個小區(qū)居民對新能源汽車的購買意愿.已知這三個小區(qū)的人口分別為1200人、800人、500人，若總樣本量為100人，則應(yīng)從C小區(qū)抽取______人.13.定義：向量a×b叫向量a與b的外積，且a×b的模為|a×b|=|a||b|sin?a,b?(其中14.已知，在三棱錐S?ABC中，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=23,BC=3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為深化共享單車監(jiān)管工作，某市交通管理部門隨機(jī)選取100名市民開展共享單車使用滿意度問卷調(diào)查.按照百分制評分標(biāo)準(zhǔn)，將這100份問卷的結(jié)果分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6組，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計本次問卷調(diào)查評分的眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)估計本次問卷調(diào)查評分的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．16.(本小題15分)

已知向量a,b，若|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4．

(1)求|17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(a?2b)cosC+ccosA=0．

(1)求C；

(2)若D是AB邊的中點，CD=3，求△ABC面積的最大值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π3)+2sin2(ωx2+π6)?1(ω>0)的兩條相鄰對稱軸的距離為π2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，再將所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象．

①若19.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=2，E為BC中點，側(cè)面BCC1B1為矩形．

(1)求證：A1E⊥BC；

(2)若A1A=A1B，四棱錐A1

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解．【解答】

解：因為z=i(2+i)=2i?1，所以z=?1+2i．

故選A．2.【答案】B

【解析】解：對于函數(shù)f(x)=3cos(2x?π4)，

令2x?π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=3π8+kπ2,k∈Z，

所以f(x)=3cos(2x?π4)圖象的對稱中心為(3π3.【答案】B

【解析】解：已知10個國家2024年度的人均碳排放強(qiáng)度從小到大為2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，

又10×0.3=3，

則該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)是5+72=6．

故選：B．

根據(jù)百分位數(shù)的定義計算求解．4.【答案】A

【解析】解：由題意圓錐的母線長為3，表面積為10π，

可設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，

即有S=πr2+πrl=10π，

即r2+3r?10=0，

解得r=2或r=?5(舍去)．

故選：A．

設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的表面積為10π，母線長為35.【答案】A

【解析】解：由已知得，EF=AF?AE=34AC?12AD=346.【答案】C

【解析】解：根據(jù)A>0，且f(x)的最大值是2，可知A=2，

根據(jù)f(x)的最小正周期T=4(π3?π12)=π，可知A選項錯誤；

由2πω=π，解得ω=2，因為x=π12時，f(x)取得最大值，所以π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，

結(jié)合|φ|<π2，求得φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)，可知B選項錯誤；

根據(jù)f(x)=2sin(2x+π3)，可得f(0)=2sin7.【答案】C

【解析】解：作出示意圖如下：

根據(jù)題意易知AB=24m，BC=12m，EF=8m，

過點F作FQ⊥AB于點Q，過點F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OQ，

因為FQ⊥AB，F(xiàn)O⊥AB，F(xiàn)O∩FQ=F，

所以AB⊥平面FOQ，所以O(shè)Q⊥AB，

又四條斜脊長度相等，所以BQ=24?82=8m，OQ=12BC=6m，

又斜脊與底面所成角均為π4，

所以FO=OB=OQ2+QB2=62+82=10m，

所以其體積V=16×(2×8+24)×12×10=800(m3)．

故選：C．

8.【答案】D

【解析】解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線y=23|x?2|與y=2|sinπ2x|，觀察圖象可知兩曲線有7個交點，

根據(jù)y=23|x?2|=23|(4?x)?2|=23|?x+2|，y=2|sinπ2x|=2|sinπ2(4?x)|=2|sin(2π?π2x)|=2|sinπ2x|9.【答案】ACD

【解析】解：復(fù)數(shù)z=1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=2i2=i，

則z?=?i，故A正確；

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?1=?1+i對應(yīng)的點(?1,1)，位于第二象限，故B錯誤；

|z+i|=|2i|=2，故C正確；

z2025=i2025=i10.【答案】BC

【解析】解：對于A，若直線m⊥平面α，直線n⊥m，

則n/?/α或n?α，

A選項錯誤；

對于B，如圖，平面α/?/β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β且AB，CD為兩條異面直線，

E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，

過點C作CG/?/AB交平面β于G，連接BG，GD，

設(shè)H是CG的中點，

則EH//BG，HF//GD，

又EH?β，BG?β，

所以EH//β，

因為HF?β，GD?β，

所以HF//β，

又EH∩HF=H，EH，HF?平面EHF，

所以平面EHF//平面β，

又α/?/β，

所以平面EHF//平面α，

又EF?平面EHF，

所以EF//α，EF//β，

即夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面，

故B選項正確；

對于C，若平面α⊥平面β，設(shè)α∩β=l，直線m⊥平面α，直線n⊥平面β，

所以m⊥l，n⊥l，m，n所成角為α，β所成面面角，

則n⊥m，

C選項正確；

對于D，當(dāng)m/?/n時，

則α，β可以是相交平面，

D選項錯誤．

故選：BC．

根據(jù)線面位置關(guān)系及面面位置關(guān)系判斷各個選項即可．

本題考查了空間點、線、面的位置關(guān)系，屬中檔題．11.【答案】BD

【解析】解：對于A，由正弦定理得，2BO=BCsinA=4，所以BO=2，選項A錯誤；

對于B，OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+(GA+GB+GC)，因為△ABC的重心為G，

所以GA+GB+GC=0，所以O(shè)A+OB+OC=3OG，選項B正確；

對于C，由題意知，點A在以O(shè)為圓心的優(yōu)弧BC上，BC=2，A=30°，由圓周角圓心角關(guān)系可得△OBC為等邊三角形，

過A做BC垂線，垂足為D，則BA在BC方向上的投影向量為BD=λBC，如圖所示：

當(dāng)A1D1，AD與圓O相切時，λ取最小值與最大值．

取BC的中點為E，連接OE，易得BD=BE+ED=BE+OD=3，

BD1=CD=BD?BC=1，則BD=32BC，BD1=?12BC，所以?12≤λ≤32，選項C錯誤；

對于D，由數(shù)量積定義及余弦定理得，

AB?AC=|AB||AC|cosA=AB2+AC12.【答案】20

【解析】解：因為三個小區(qū)的人口分別為1200人、800人、500人，

若總樣本量為100人，

所以應(yīng)從C小區(qū)抽取100×5001200+800+500=20人．

故答案為：20．

13.【答案】5

【解析】解：由題意可得AC=(3,1),BC=(1,2)，所以cos∠ACB=|CA?CB||CA|?|CB|=514.【答案】16π

【解析】解：如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為?，圓柱的外接球半徑為R，

取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點O到圓柱底面圓上每個點的距離都等于R，

則O為圓柱的外接球球心，

因為SA⊥平面ABC，設(shè)△ABC的外接圓為圓O1，

可將三棱錐S?ABC內(nèi)接于圓柱O1O2，如圖所示：

設(shè)△ABC的外接圓直徑為2r，SA=?=2，又BC=3,∠BAC=30°，

由正弦定理可得2r=BCsin∠BAC=23，

該三棱錐的外接球直徑為2R，

則2R=(2r)2+?2=(2315.【答案】75，75；

74．

【解析】(1)由頻率分布直方圖，可得眾數(shù)為70+802=75．

因為(0.005+0.010+a+0.030+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.020．

設(shè)中位數(shù)為x，則前3組頻率之和為0.05+0.1+0.2=0.35<0.5，

又前4組頻率之和為0.35+0.3=0.65>0.5，

所以中位數(shù)在第4組，由0.35+(x?70)×0.030=0.5，解得x=75，故中位數(shù)為75；

(2)平均數(shù)為x?=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74．16.【答案】13；

?2【解析】(1)因為|a|=1，|b|=2，a與b的夾角為π4，所以a?b=1×2×cosπ2=1，

所以|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a?b+(2b)2=1+4×1+4×2=13，

所以|17.【答案】π3；

3【解析】(1)法1：利用正弦定理化簡已知等式可得sinAcosC?2sinBcosC+sinCcosA=0，

∴sin(A+C)=2sinBcosC，

∴sinB=2sinBcosC．

∵B∈(0,π)，sinB≠0，

∴cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

法2：∵由余弦定理化簡已知等式可得(a?2b)?a2+b2?c22ab+c?b2+c2?a22bc=0，

化簡可得a2+b2?c2=ab，

∴cosC=a2+b2?c22ab=ab2ab=12，18.【答案】f(x)=2sin(2x+π6)；

①4【解析】(1)由題意得f(x)=3sin(ωx+π3)?cos(ωx+π3)=2sin(ωx+π3?π6)=2sin(ωx+π6)，

根據(jù)f(x)的相鄰兩條對稱軸的距離為π2，可得f(x)的周期T=2×π2=π，

所以ω=2πT=2，可得f(x)=2sin(2x+π6)．

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，可得y=2sin[2(x?π6)+π6]=2sin(2x?π6)的圖象，

再將所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，可得g(x)=4si