第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省婁底三中高二（下）期末數(shù)學試卷（B卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)(2+1i)(2+i)=A.?5i B.5 C.?3 D.3i2.已知f(x2?1)=2x+3，則f(6)的值為A.15 B.7 C.31 D.173.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為πA.32 B.12 C.?4.某火箭發(fā)射離開發(fā)射架后，距離地面的高度?(單位：m)與時間t(單位：s)的函數(shù)關系式是?(t)=100+1.5t2+4t，設其在t=0s時的瞬時速度為v0，則當其瞬時速度為4vA.3s B.4s C.6s D.8s5.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=A.b>c>a B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a6.函數(shù)f(x)=ax+b(x+c)2的圖象如圖所示，則(

)A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0

C.a>0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<07.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an=4n?3，bn=5n?4，由A.1941 B.1961 C.1981 D.20018.已知函數(shù)f(x)=ex+1,x≤02sinx,0<x≤π，若y=f(x)?a(a∈R)有三個零點x1，x2，xA.11π4?1 B.11π4+1 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在等比數(shù)列{an}中，a2=2，a6A.?1 B.?2 C.2 D.410.若(2?x)2025=aA.a0=2B.a0+a111.下列說法中，正確的是(

)A.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差

B.關于一元線性回歸，若相關系數(shù)r=?0.98，則y與x的相關程度很強

C.決定系數(shù)R2=1?i=1n(yi?yi)2i=1n(y三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.雙曲線C的離心率為2，且雙曲線C與圓O：x2+y2=1有且僅有兩個交點，則雙曲線C13.已知△ABC的面積為3，A=2π3,BA?14.若a,b∈{12,2,3,4}，則在“函數(shù)f(x)=ln(ax2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bcosA=acosC+ccosA．

(1)求A；

(2)若sinB=2sinC，證明：△ABC是直角三角形．16.(本小題15分)

某興趣小組研究發(fā)現(xiàn)晝夜溫差變化的大小與患感冒人數(shù)之間具有較強的線性相關關系，該興趣小組在惠民醫(yī)院抄錄了2025年2～5月份每月5日期2月5日3月5日4月5日5月5日晝夜溫差x(℃)1113128因患感冒就診人數(shù)y(人)25292616(1)求因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)y關于晝夜溫差x的線性回歸方程y?=b?x+a?；

(2)如果8月5日晝夜溫差是9℃時，試預測因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)(精確到整數(shù))．17.(本小題15分)

在四棱臺A1B1C1D1?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，AC=2AA1=2A1C1=2CC1，DD1=BB1，過AC1的平面α分別交BB18.(本小題17分)

設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，過F且垂直于AB的直線交拋物線C的準線l于點E，A，B在直線l上的射影點分別為P，Q，|AB|的最小值為6．

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)①求證：|PE|=|EQ|；

②求19.(本小題17分)

設a，b是不同的正數(shù)，我們稱a?blna?lnb為a，b的對數(shù)平均值，且ab<a?blna?lnb<a+b2，該不等式稱為“對數(shù)平均不等式”．

(1)任意選擇“對數(shù)平均不等式”的一邊給出證明.(注：如果兩邊都給出證明，按第一個證明計分)

(2)已知函數(shù)f(x)=xlnx?12mx2?x(m∈R)有兩個極值點x1，x答案解析1.【答案】B

【解析】解：復數(shù)(2+1i)(2+i)=(2?i2i)(2+i)=(2?i)(2+i)=4?(?1)=5，故B正確．

2.【答案】C

【解析】解：f(x2?1)=4?(x2?1)+7；

∴f(x)=4x+7；

∴f(6)=4×6+7=31．

故選：C．

可根據(jù)原函數(shù)解析式求出f(x)的解析式，從而帶入3.【答案】A

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為π2，

所以T=2πω=π2，解得ω=4，f(x)=sin(4x+π34.【答案】B

【解析】解：由題可得：?′(t)=3t+4，

則v0=?′(0)=4，

令3t+4=4v0=16，

得t=4．

故選：B5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)冪函數(shù)y=x0.3在(0,+∞)上單調(diào)遞增，得0.20.3<0.30.3，

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.3x在R上單調(diào)遞減，得0.30.3<0.30.2<0.30，

所以a<b<1，

又因為y=2x在R6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ax+b(x+c)2，其定義域為{x|x≠?c}，

則有?c>0，即c<0，

又由f(0)=bc2>0，則有b>0，

在區(qū)間(?c,+∞)上，f(x)=ax+b(x+c)2>0，則有ax+b>0，必有a>0，

故選：C7.【答案】C

【解析】解：由已知得，{an}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，{bn}是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，

則{cn}是首項為1，公差為20的等差數(shù)列，故c100=1+(100?1)×20=1981．

故選：C8.【答案】A

【解析】解：根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由于函數(shù)y=f(x)?a(a∈R)有三個零點，因此0<a<2．

令ex+1=2，那么可得x=ln22?1，

由于x1<x2<x3，因此x1<ln22?1<0<x2<π2<x3<π，

又因為ex1+1=2sinx2=2sinx3=a，且x2+x3=π，

那么x1+2x2+3x3=x1?x2+3π．

ex1?9.【答案】BC

【解析】解：因為在等比數(shù)列{an}中，a2=2，a6=32，

設等比數(shù)列的公比為q，則q4=a110.【答案】BCD

【解析】解：(2?x)2025=a0+a1x+a2x2+?+a2025x2025，

令x=0得a0=22025，所以A錯誤；

令x=1得a0+a1+a2+?+a2025=1，所以B正確；

令x=?1得a0?a1+a2?a3+??a2025=32025，

顯然a0，a2，a11.【答案】BD

【解析】解：殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好，A錯誤；

相關系數(shù)|r|=0.98很接近1，則隨機變量y與x的相關程度很強，故B正確；

因為甲的決定系數(shù)比乙的決定系數(shù)更接近1，甲、乙兩個模型的R2分別約為0.98和0.80，

所以模型甲的擬合效果更好，故C錯誤；

由隨機變量方差的性質(zhì)知加減不改變方差，縮放后方差變?yōu)槠椒奖?，故D(η)=9D(ξ)，故D正確．

故選：BD．

根據(jù)殘差圖的意義可判斷A的真假；根據(jù)相關系數(shù)的意義判斷B的真假；根據(jù)決定系數(shù)的意義判斷C的真假；根據(jù)兩個變量之間的關系，求其方差的關系，判斷D的真假．

12.【答案】x2?y【解析】解：因為雙曲線C的離心率為2，且雙曲線C與圓O：x2+y2=1有且僅有兩個交點，

根據(jù)雙曲線和圓都關于原點對稱，

故交點在坐標軸上，

當雙曲線C的焦點在x軸上時，a=1，因為離心率e=ca=2，所以c=2，則b2=3，

所以雙曲線C的標準方程為x2?y23=1．

同理，當雙曲線的焦點在y軸上時，a=1，b2=313.【答案】2

【解析】解：由題設12bcsinA=34bc=3，則bc=4，

又BA?BC=AB?(AB?AC)=AB2?AB?AC14.【答案】49【解析】解：若a,b∈{12,2,3,4}，則有序?qū)崝?shù)對(a,b)表示的所有結果有4×4=16種情況，

記“函數(shù)f(x)=ln(ax2+bx+1)的定義域為R”為事件A，Δ=b2?4a<0，

滿足這個條件有(12,12),(2,12),(3,12),(4,12),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3)共9種情況，

所以P(A)=916．

記“函數(shù)g(x)=ax?b?x為奇函數(shù)”為事件B，

因為g(1)=?g(1)，

則a?1b=?(1a?b)，a?b+1a?1b=(a?b)(ab?1)ab=0，

所以a=b，或15.【答案】A=π3；

【解析】(1)因為2bcosA=acosC+ccosA，

所以由正弦定理得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，

即2sinBcosA=sin(A+C)，得2sinBcosA=sinB，

又因為B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以2cosA=1，解得cosA=12，

又因為A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)證明：因為sinB=2sinC，所以由正弦定理得b=2c，

由余弦定理得：b2+c2?a2=2bccosA，

即(2c)2+c2?a2=2×2c×ccosπ3，

化簡得516.【答案】y?=187x?30【解析】(1)根據(jù)題意可知，x?=11,y?=24，

i=14xi2=112+132+122+82=498，

i=14xiyi=11×25+13×29+12×26+8×16=1092，

∴b=1092?4×11×24498?4×112=17.【答案】證明見解析；

13013【解析】(1)證明：連接B1D1，MN，

因BD/?/平面α，BD?平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面α=MN，所以BD/?/MN，

設B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O，連接OO1，

由在四棱臺A1B1C1D1?ABCD中，平面ABCD//平面A1B1C1D1，

平面ABCD∩平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1，

因此得AC/?/A1C1，

又由題意知AA1=CC1，因此得四邊形ACC1A1是等腰梯形，

所以OO1⊥AC，同理可證OO1⊥BD，

因AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，

又底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

因此以O為原點，直線OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

因為菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，因此BD=2，AC=23，

因此AA1=A1C1=CC1=3，B1D1=1，因此OO1=32，

所以A(3,0,0)，C1(?32,0,32)，B(0,1,0)，D(0,?1,0)，C(?3,0,0)，

因此AC1=(?332,0,32)，BD=(0,?2,0)，CC1=(18.【答案】y2=6x；

①證明見解析；②18【解析】(1)因為拋物線C：y2=2px(p>0)，所以焦點為F(p2,0)，準線l為x=?p2，

如圖，易知直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為x=my+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+p2y2=2px，得y2?2pmy?p2=0，

易知Δ>0，則y1+y2=2pm，y1y2=?p2，

又x1=my1+p2，x2=my2+p2，

所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p≥2p，當且僅當m=0時取等號，

因為|AB|的最小值為6，所以2p=6，p=3，

所以拋物線的標準方程為y2=6x．

(2)①證明：當AB⊥x軸時，E(?32,0)，|PE|=|EQ|．

當AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為x=my+32，m≠0，

則直線EF的方程為x=?1my+32，

令x=?32，得yE=3m=y1+y22，即E為PQ的中點，所以|PE|=|EQ|．

綜上可得，|PE|=|EQ|．

②如圖，連接PF，QF，因為kFP=yP?32?32=?y13，kFQ=yQ?319.【答案】證明見解析；

(i)(0,1e)；【解析】(1)證明左邊不等式：ab<a?blna?lnb(a>0,b>0)．

證明：不妨設a>b>0，要證上式成立，即證lna?lnb<a?bab成立，即證lnab<ab?ba成立．

令ab=t，t>1，即證2lnt?t+1t<0．

設g(x)=2lnx?x+1x(x>1)，則g′(x)=?(x?1)2x2≤0，所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以當t>1時，g(t)<g(1)=0，即2lnt?t+1t<0成立，故原不等式成立．

證明右邊不等式：a?blna?lnb<a+b2．

證明：設a>b>0，要證上式成立，即證lna?lnb>2(a?b)a+b成立，即證明lnab?2(ab?1)ab+1>0成立．

令ab=t，t>1，即證lnt?2(t?1)t+1>0．

設g(x)=lnx?2(x?1)x+1，則g′(x)=(x?1)2x(x+1)2≥0，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

所以當t>1時，g(t)>g(1)=0，即lnt?2(t?1)t+1>0成立，故原不等式成立．

(2)(i)f(x)的定義域為(0,+