第二章6.1第1課時(shí)余弦定理基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握余弦定理及其變形.2.掌握余弦定理的證明過(guò)程.3.能夠利用余弦定理解決有關(guān)問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一

余弦定理及其變形1.余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.2.余弦定理的變形

名師點(diǎn)睛1.對(duì)余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意三角形都成立.(2)揭示規(guī)律:余弦定理指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系,若已知三角形的兩邊及其夾角,可以直接求三角形的第三邊.實(shí)際上,若已知其中的任意三個(gè)量,都可以求出第四個(gè)量.2.余弦定理與勾股定理的關(guān)系在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

C,若角C=90°,則cos

C=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,這說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推廣.設(shè)c是△ABC中最大的邊(或C是△ABC中最大的角),則a2+b2<c2?△ABC是鈍角三角形,且角C為鈍角;a2+b2=c2?△ABC是直角三角形,且角C為直角;a2+b2>c2?△ABC是銳角三角形,且角C為銳角.3.對(duì)余弦定理的變形的理解(1)利用余弦定理解三角形時(shí),要注意根據(jù)條件恰當(dāng)選取公式.一般地,求邊長(zhǎng)時(shí),使用余弦定理;求角時(shí),使用余弦定理的變形.(2)余弦定理及其變形在結(jié)構(gòu)上有所不同,因此在應(yīng)用它們解三角形時(shí)要根據(jù)條件靈活選擇.(3)應(yīng)用余弦定理的變形,可以由三角形的三邊計(jì)算出三角形的三個(gè)內(nèi)角.(4)余弦定理及其變形把用“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫.思考辨析在邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形中,如何求出最大角與最小角的和?提示

設(shè)中間角為θ,由于8>7>5,故角θ的對(duì)邊長(zhǎng)為7,由余弦定理,得cos

θ=.所以θ=60°,故最大角與最小角的和為180°-60°=120°.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此,它適用于任何三角形.(

)(2)在△ABC中,已知兩邊及其夾角時(shí),△ABC不一定唯一.(

)(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,則角C為直角.(

)(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則角C為鈍角.(

)(5)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則△ABC為銳角三角形.(

)√×√××2.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2+c2-b2=ac,則角B的值為(

)A3.[人教A版教材習(xí)題]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,求c.知識(shí)點(diǎn)二

三角形的面積公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分別表示邊a,b,c上的高,則S△ABC=aha=

=

.

2.在△ABC中,若a,b,c所對(duì)的角分別是A,B,C,則S△ABC=absinC=

=

.

名師點(diǎn)睛三角形面積公式的其他形式思考辨析在△ABC中,已知b=1,c=2,△ABC的面積為,試求角A的度數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)求三角形的面積時(shí),每條邊都可以作為底.(

)(2)直角三角形只要已知斜邊就能求出面積.(

)(3)已知三角形的三邊不能求出三角形的面積.(

)2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,則△ABC的面積為

.

√××重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一已知兩邊及一角解三角形【例1】

(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A,角C和邊a.規(guī)律方法

已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,則可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對(duì)角,則可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊.變式訓(xùn)練1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tanB=,則AC=

.

(2)在△ABC中,cosA=,a=4,b=3,則c=

.

5探究點(diǎn)二已知三邊解三角形變式探究本例(2)中,將條件變?yōu)椤叭切蔚娜龡l邊長(zhǎng)分別為”,求其最大角與最小角之和.規(guī)律方法

已知三角形的三邊解三角形的步驟(1)分別用余弦定理的變形求出兩個(gè)角;(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.變式訓(xùn)練2設(shè)a+1,a+2,a+3是鈍角三角形的三邊長(zhǎng),則a的取值可能是(

)A.3 B.2 C.1 D.0C解析

由題意知,a+1,a+2,a+3是鈍角三角形的三邊長(zhǎng),且滿足a+1<a+2<a+3,設(shè)邊a+3所對(duì)的角為A,即(a+1)2+(a+2)2-(a+3)2<0,整理得a2-4<0,解得-2<a<2,綜上可得,0<a<2,故選C.探究點(diǎn)三利用余弦定理判斷三角形的形狀【例3】

在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀.解

由余弦定理可得等式兩邊同乘2abc得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),整理化簡(jiǎn)得a4+b4-2a2b2=c4,所以(a2-b2)2=c4.因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2.即a2=b2+c2或b2=a2+c2,故△ABC為直角三角形.規(guī)律方法

1.利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí),需使用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題.一般有兩條思考路線:(1)先化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.(2)先化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.2.判斷三角形的形狀時(shí),經(jīng)常用到以下結(jié)論:(1)△ABC為直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC為銳角三角形?a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.(3)△ABC為鈍角三角形?a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin

2A=sin

2B,則A=B或A+B=.變式訓(xùn)練3在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,則△ABC是

三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)

直角

探究點(diǎn)四有關(guān)三角形的面積問(wèn)題【例4】

在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且b2+c2-a2=bc.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC面積的最大值.規(guī)律方法

1.求解三角形面積的公式較多,2.解三角形時(shí)應(yīng)注意對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的討論,防止遺漏.變式訓(xùn)練4在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,已知本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)余弦定理;(2)余弦定理解決的兩類解三角形問(wèn)題;(3)余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.方法歸納:化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):不能正確定位余弦定理解決的兩類問(wèn)題;易忽視三角形中的隱含條件.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,則△ABC為(

)A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.不存在B解析

因?yàn)閏2<a2+b2,所以C為銳角.因?yàn)閍<b<c,所以C為最大角,所以△ABC為銳角三角形.123452.在△ABC中,a=2,c=3,B=60°,那么b等于(

)B解析

由余弦定理得b2=22+32-2×2×3×cos

60°=7所以b=.故選B.123453.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,則△ABC的面積為(

)C123454.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),