平面向量基本定理的教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容平面向量基本定理.2.內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容是繼平面向量的概念、運(yùn)算之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容，它是共線向量定理的推廣，是平面向量正交分解的基礎(chǔ)，是將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)(坐標(biāo))運(yùn)算的基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關(guān)系，是利用向量解決問(wèn)題的基本手段，有著廣泛的應(yīng)用.由平面向量基本定理，可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)表示，即實(shí)現(xiàn)向量的代數(shù)表示，從而實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算完全代數(shù)化，進(jìn)而體現(xiàn)向量的工具作用.平面向量基本定理中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方法：以簡(jiǎn)馭繁，實(shí)現(xiàn)將無(wú)限多個(gè)平面向量有序表達(dá)的目的，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)理解平面向量基本定理及其意義；(2)會(huì)運(yùn)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單平面幾何問(wèn)題.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：(1)經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過(guò)程，體會(huì)由力的分解到向量的分解的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想的作用；通過(guò)證明平面向量基本定理理解定理，體會(huì)定理的重要性及其意義，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的理解.(2)通過(guò)選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量，解決一些平面幾何問(wèn)題，體會(huì)向量法在解決平面幾何問(wèn)題中的作用和基本步驟.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析雖然本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積，但學(xué)生對(duì)向量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”“相反向量”“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量之間的關(guān)系，要實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)層級(jí)的躍遷，對(duì)學(xué)生有一定難度.另外，如果說(shuō)由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么,由向量的分解想到任意一個(gè)向量都可以用一對(duì)不共線的向量，經(jīng)過(guò)線性運(yùn)算加以表示是第二次抽象，也是認(rèn)識(shí)上的一種飛躍，這都會(huì)給學(xué)生造成認(rèn)知上的困難.再有，平面向量基本定理中的“不共線”“任一”“有且只有”等數(shù)學(xué)專用語(yǔ)對(duì)一些學(xué)生會(huì)構(gòu)成理解障礙.由此可以確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及對(duì)定理的證明.平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程的教學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要.為克服以上教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中不要簡(jiǎn)單地告訴定理，再加以證明.而應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生積極參與定理形成的探索過(guò)程，通過(guò)多舉實(shí)例，如從力的分解等學(xué)生熟悉的背景，帶領(lǐng)學(xué)生去歸納、發(fā)現(xiàn)定理；利用信息技術(shù)工具等具體形象的教學(xué)手段進(jìn)行直觀闡釋、辨析，幫助學(xué)生理解定理.引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、思考、歸納、類比、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般的思維過(guò)程，并從中反思定理獲得過(guò)程中數(shù)學(xué)思考的方式與方法.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情境，明確問(wèn)題引言：向量數(shù)乘運(yùn)算刻畫了共線向量間的關(guān)系，也反映了數(shù)與形的結(jié)合，共線向量定理給我們研究向量共線帶來(lái)了極大的方便.那么,共線向量定理能不能推廣到平面上呢?也就是說(shuō)，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示呢?在物理中，我們知道，已知兩個(gè)力可以求出它們的合力；反過(guò)來(lái)，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力，這種分解通常不是唯一的.事實(shí)上，這種力的分解，就反映具體的平面向量間的關(guān)系.本節(jié)課，我們就從力的分解的例子出發(fā)，研究和刻畫平面向量之間的關(guān)系.問(wèn)題1:如圖1,我們可以通過(guò)作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的分力.受力的分解的啟發(fā)，我們能否通過(guò)作平行四邊形，將向量a分解為兩個(gè)向量，使向量a是這兩個(gè)向量的和呢?師生活動(dòng)：學(xué)生回憶、觀察，教師啟發(fā)學(xué)生以力的分解為設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的物理背景引入向量的分解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.(二)動(dòng)手操作，探究新知問(wèn)題2:如圖2,設(shè)e?,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e?,e2都不共線的向量.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=e?,OB=e?,OC=a.(1)將a按e?,e?的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)?(2)如果向量a是這一平面內(nèi)與e?,e?中的某一個(gè)向量共線的非零向量，你能用e?,e?表示a嗎?a是零向量呢?師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考、操作、嘗試、探究，教師巡視、指導(dǎo).請(qǐng)學(xué)生代表展示交流：(1)因?yàn)閑?,e?不共線，若a與e?,e?都不共線，過(guò)點(diǎn)C分別作與OA,OB平行的直線，結(jié)合向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算可知，存在實(shí)數(shù)λ,λ2,使a=λ?e?+λ?e?.(2)若a與e?共線，存在λ1,λ2,且λ?=0,使a=λ?e?+λ?e?;若a與e?共線，存在λ1,λ2,且λ?=0,使a=λie?+λ?e?;特別地，若a=0,存在λ?=λ?=0,使0=λ?e?+λ?e?.綜上所述，當(dāng)e?,e?不共線時(shí)，平面內(nèi)任一向量a都能用向量λ?e?+λ?e?表示.教師要關(guān)注學(xué)生思維的縝密性，在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，完善學(xué)生的思維，明確給定兩個(gè)不共線的向量e?,e?,平面內(nèi)的任一向量設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生思考、操作、交流，探究平面上向量的關(guān)系.追問(wèn)(1):給定兩個(gè)不共線的向量e?,e?,平面內(nèi)的任一向量a都可以用形如λ?e?+λzez的師生活動(dòng)：學(xué)生思考、交流.如果學(xué)生有困難，教師可引導(dǎo)：假設(shè)這種表示形式不唯一，即證明λ=μ1,λ?=μ2.在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生嘗試證明.最后師生歸納總結(jié)得出平面向量基本定理.追問(wèn)(2):由物理中力的分解引出向量的分解，類比共線向量基本定理，得到了平面向量基本定理.請(qǐng)你思考一下，為什么把這個(gè)定理冠以“基本”二字?談?wù)勀愕捏w會(huì).師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，教師引導(dǎo)：一般地，越是基本的東西，統(tǒng)領(lǐng)性越運(yùn)用越廣泛，大家可以從定理中“任意性”和“唯一性”等角度思考定理的“基本”性特點(diǎn).最后師生共同認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的本質(zhì)：在平面內(nèi)，一旦基底確定，則每個(gè)向量的分解都是唯一的.從表面上看，定理的本質(zhì)就是向量的分解.換個(gè)角度來(lái)看，一個(gè)確定的基底能構(gòu)造出平面內(nèi)的所有向量以至于整個(gè)平面，這才是定理的本質(zhì).這樣，所有的向量都可以由同一個(gè)基底聯(lián)系在一起，使得問(wèn)題的研究更加簡(jiǎn)便.而前面所學(xué)向量的線性運(yùn)算均蘊(yùn)含其中，所以平面向量基本定理是向量走向代數(shù)化的基本出發(fā)點(diǎn)，這也是稱其為基本定理的原因所在.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置幾個(gè)逐步遞進(jìn)的問(wèn)題串，使研究的問(wèn)題越來(lái)越明確，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理、證明定理的全過(guò)程，并使學(xué)生從中感悟聯(lián)想、類比、抽象、概括等重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的重要作用，揭示平面向量基本質(zhì)及“基本”二字的含義.(三)鞏固新知例1如圖3,OA,OB不共線，且AP=tAB(t∈R),用OA,行反饋交流，教師給出規(guī)范的解答.指導(dǎo)學(xué)生將{OA,OB)看成基底，根據(jù)向量的有關(guān)運(yùn)算將相關(guān)向量用基底表示，這是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).追問(wèn)：觀察OP=(1-t)OA+LOB,你有什么發(fā)現(xiàn)?圖3師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形直觀，結(jié)合結(jié)論的代數(shù)特征，得到進(jìn)一步的結(jié)論：實(shí)際上，這也是證明三點(diǎn)共線的一種方法，即如果OP=mOA+nOB,則P,A,B三點(diǎn)共線的充要條件為m十n=1.(不對(duì)全體學(xué)生要求會(huì)證明)設(shè)計(jì)意圖：本題是教科書中的例題，通過(guò)例題教學(xué)，鞏固平面向量基本定理.例2如圖4,CD是△ABC的中線，,用向量方法證明△ABC是直角三角形.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，探尋解決問(wèn)題的思路.對(duì)有困難的學(xué)生，教師可以將問(wèn)題進(jìn)行分解：(1)要證明△ABC是直角三角形，從圖4圖中觀察，易發(fā)現(xiàn)應(yīng)證明AC⊥BC;(2)用向量表征，即證CA·CB=0;(3)依據(jù)平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個(gè)基底表示，由于,因而本題中可取(CD,DA)為基底，用它表示CA,CB(如圖5所示).再證明CA·CB=0,從而證得△ABC是直角三角形.學(xué)生寫出證明過(guò)程，師生共同完善、規(guī)范書寫.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本例題，引導(dǎo)學(xué)生借助向量表征相關(guān)的幾何元素，從而轉(zhuǎn)化成向量運(yùn)算解決問(wèn)題，初步讓學(xué)生體會(huì)用向量方法解決幾何問(wèn)題的基本思路.(四)課堂練習(xí)教科書第27頁(yè)練習(xí)第1,2,3題.(五)回顧總結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問(wèn)題：(1)回顧并敘述得出平面向量基本定理的研究思路和大致過(guò)程，并說(shuō)說(shuō)研究方法.反思在這個(gè)過(guò)程中自己的貢獻(xiàn)和收獲是什么,還有哪些困惑.(2)敘述并證明平面向量基本定理.(3)說(shuō)說(shuō)平面向量基本定理與共線向量基本定理有怎樣的關(guān)系.(4)說(shuō)說(shuō)平面向量基本定理的作用.師生活動(dòng)：給學(xué)生充分的回顧、思考、整理、歸納、總結(jié)的時(shí)間.由學(xué)生代表交流表達(dá)自己的想法，展示自己的答案.教師要仔細(xì)傾聽學(xué)生的想法，關(guān)注學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的研究過(guò)程的表述，關(guān)注學(xué)生的表達(dá)是否有條理，并適當(dāng)概括和優(yōu)化學(xué)生的回答，達(dá)到突出重點(diǎn)的目的.設(shè)計(jì)意圖：以提綱的形式幫助學(xué)生梳理本節(jié)課最重要的基本知識(shí)——平面向量基本定理，感悟數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等基本數(shù)學(xué)思想在研究問(wèn)題中的作用，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，同時(shí)也幫助學(xué)生養(yǎng)成反思總結(jié)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.(六)布置作業(yè)教科書習(xí)題6.3第1,11題(第1題)五、目標(biāo)檢設(shè)計(jì)(第1題)AD分別表示向量AP,BP.設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生運(yùn)用平面向