深圳坑梓街道光祖中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題模擬匯編一、中考幾何壓軸題1．（問題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AD邊上的一個動點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（類比探究）（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是AD邊上的一個動點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（拓展提升）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為．2．（發(fā)現(xiàn)問題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．3．點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長線上的一動點(diǎn)，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G，連接DF，交CG于點(diǎn)H．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究：如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，則（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展：在（2）的基礎(chǔ)上，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，AD＝3，AB＝4，則直接寫出線段EF的長．4．（模型構(gòu)建）如圖所示，在邊長為1的正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，上（可與點(diǎn)，，重合），且滿足．的高線交線段于點(diǎn)（可與，重合），設(shè)．（1）求的值．（模型拓展）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，將條件“邊長為1的正方形”改為“長、寬的矩形”（其他條件不變）．（2）判斷的值是否改變．若改變，請求出的取值范圍；若不改變，請證明．（深入探究）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，設(shè)的面積為．（3）①求的最小值；②當(dāng)取到最小值時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．5．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個點(diǎn)或一個軸做圓周運(yùn)動．在中國古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過點(diǎn)作于點(diǎn)．請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．6．將拋物線y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖像（如圖2），記為C：y2＝x．（概念與理解）將拋物線y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．（猜想與證明）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點(diǎn)A、B，交拋物線C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x=1時，=______；當(dāng)x=2時，=_______；（2）猜想：對任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的猜想；若不成立，請說明理由．（探究與應(yīng)用）①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；②若△AOB和△COD中有一個是直角三角形時，求△COD與△AOB面積之差；（聯(lián)想與拓展）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點(diǎn)A、B，交拋物線C4于點(diǎn)C、D．過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線C4于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線C3于點(diǎn)F．對于x軸上任取一點(diǎn)P，均有△PAE與△PDF面積的比值1:3，請直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是______．7．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個值得思考的問題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來看分析，不外乎就是三個環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個方面試看解決下列問題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．8．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作對角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為______；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，請判斷的形狀是否變化，并說明理由；（提示：延長到，使；延長到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時，請直接寫出的長．9．（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進(jìn)行說明．（3）（解決問題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫出的長．10．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過C作CE垂直于直線BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時，的度數(shù)為_______；連接EF，則的值為________．（2）拓展探究：當(dāng)，且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；②解決問題：當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，請直接寫出的值．11．將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．（1）操作發(fā)現(xiàn):如圖2，固定使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)的面積為的面積為當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想中與的數(shù)量關(guān)系為相等，并嘗試分別作出了和中邊上的高請你證明小明的猜想，即證明:．（3）拓展探究:已知，點(diǎn)是角平分線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)（如圖4)．若射線上存在點(diǎn)，使，請直接寫出相應(yīng)的的長．12．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．13．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長．14．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn)，連接DE．填空：①則的值為______；②∠EAD的度數(shù)為_______．（2）類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn)，連接DE．請求出的值及∠EAD的度數(shù)；（3）拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，連接AM、BM，若BC=4，則當(dāng)△ABM是直角三角形時，求線段AD的長．15．幾何探究：（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）（類比探究）（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時，直接寫出BD的長．16．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時，提出了以下幾個問題，請你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長線段到點(diǎn)，使，以點(diǎn)為因心，長為半徑作園，則對于上任一點(diǎn)，都有，請你證明這個結(jié)論：[問題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時間相等請?jiān)诤舆吷洗_定碼頭的位置．(請畫出示意圖并簡要說明理由)17．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．18．如圖1所示，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對角線上．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為________；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請問此時上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過程，如不成立，說明理由；（拓展延伸）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，有點(diǎn)、、在一條直線上，直接寫出此時線段的長度為________19．探究：如圖①和②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如圖①，若∠B、∠ADC都是直角，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能得EF=BE+DF，請寫出推理過程；（2）如圖②，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如圖③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長．20．已知：，過平面內(nèi)一點(diǎn)分別向、、畫垂線，垂足分別為、、．（問題引入）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在射線上時，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線上時，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線的反向延長線上時，在圖③中畫出示意圖，并直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE解析：（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE、GD相交于點(diǎn)H．因?yàn)榫匦蜤CGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．首先證明點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉(zhuǎn)化為求2（BG+DG）的最小值．【詳解】（1）DG=BE理由：∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠BCD=90°∵正方形ECGF，∴CG=CE，∠ECG=90°∴∠ECG=∠BCD=90°∴∠DCG=∠BCE在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS）∴DG=BE（2），DG⊥BE．理由如下：延長BE、GD相交于點(diǎn)H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．易證△ECN∽△CGM，∴，∵EN=AB=2，∴CM=1，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線MG，作點(diǎn)D關(guān)于直線GM的對稱點(diǎn)G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值=BG′由（2）知，∴BE=2DG∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′=，∴2BG+BE的最小值為4故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．2．（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．3．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則，分兩種情況，根據(jù)勾股定理和平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，∴四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，，在和中，，∴，∴，故答案為，(2)仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形，，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，(3)如圖所示，延長FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，由勾股定理得：EF＝；②當(dāng)時，同理可得：，，，，由勾股定理得：，綜上所說，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，，，則線段EF的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取解析：（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取值范圍；（3）①設(shè)BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行和不等式進(jìn)行求解；②根據(jù)①求出的EF=，由于ΔDEF為等腰三角形，EF為底，所以G為EF中點(diǎn)，易得GB=，進(jìn)而可以求出GB=（）DG．【詳解】如圖1所示，把ΔDAE，ΔDCF分別沿著DE、DF翻折，在正方形ABCD中，ADC=DAB=DCB=90°’，AD=CD,ADE+CDF=ADC-EDF=90°-45°=45°，翻折后，AD，CD重合．設(shè)重合線為AG'，則DG'E=DG'F=90°，DG'EF，且E、G'、F三點(diǎn)共線，則G'在EF上。又DGEF，DG'與DG重合，DG=DG'=AD．k==1．（2)k的值發(fā)生改變．①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時，DG取最小值，DEF=90°又EDF=45°，ΔDEF是等腰直角三角形，則DE=EF．易證ΔADEΔBEF，AD=BE=6，AE=AB-BE=8-6=2，在RtΔADE中，由勾股定理，得DE=，②如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，DG取最大值，EDC=45°，AB//DF，則AED=EDC=45°，ΔDAE是等腰直角三角形，則AD=AE=6，BE=AB-AE=8-6=2，在RtΔEBC中，由勾股定理得：CE=，易證ΔDGC~ΔCBE，，即DG=，，綜上所述，．（3)①設(shè)BE=m，BF=n，易知ΔBEF的周長為2．，一元二次方程有求根公式：，，所以，，則m，n是關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根，，解得：．S=DG·EF=EF，當(dāng)EF=時，S取最小值．②ΔDEF為等腰三角形，EF為底，G為EF中點(diǎn)，易得GB=EF=，GB=（）DG．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)及一元二次方程的靈活運(yùn)用，有一定的難度，解題關(guān)鍵是畫出正確的圖形進(jìn)行解答．5．（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=O解析：（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=OD，利用SAS可證明△AOA′≌△DOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AA′=DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB′=，根據(jù)可得△OAA′∽△OBB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)即可得出，根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)平角的定義及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用AAS可證明△ABM≌△A′B′N，可得AM=A′N，利用AAS可證明△APM≌△A′PN，可得，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A′OP=∠AOA′=，∠QOB′=，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠POQ=∠A′OB′，即可證明△OQP∽△OB′A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，∴△AOA′≌△DOD′，∴AA′=DD′，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴OB=，∴OA=，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴∠BOB′=∠AOA′=，∵，∴△OAA′∽△OBB′，∴=，∴，故答案為：；（2）四邊形是矩形；理由如下：∵正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，∴，，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（3）如圖，補(bǔ)全圖形如下：連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，∵，∴AB=BC=，∴OA′=OA==，∵∠OB′A′=90°，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴△ABM≌△A′B′N，∴AM=A′N（AAS），∵，，∴△APM≌△A′PN，∴AP=A′P，∵OA=OA′，∴∠A′OP=∠AOA′=，∵OB=OB′，OQ⊥BB′，∴∠QOB′=，∴∠QOB′+∠B′OP=∠A′OP+∠B′OP，即∠POQ=∠A′OB′，∵∠OQP=∠OB′A′=90°，∴△OQP∽△OB′A′，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形及相似三角形的判定定理并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形及相似三角形是解題關(guān)鍵．6．【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案解析：【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案；【猜想與證明】：（1）當(dāng)x=1時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；當(dāng)x=2時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；【探究與應(yīng)用】：①根據(jù)已知條件表示出△AOB與△COD面積即可得出答案；②設(shè)M（x，0）（x＞0），根據(jù)已知條件可得出，分兩種情況當(dāng)△AOB是直角三角形時解得，當(dāng)△COD是直角三角形時，解得，把代入即可；【聯(lián)想與拓展】：根據(jù)題意求出AEDF的坐標(biāo)然后表示出面積再利用△PAE與△PDF面積的比值1:3，即可得出關(guān)系式；【詳解】【概念與理解】∵y1=4x2∴由題意可得C1：∵y2=x2∴由題意可得C2：故答案為：C1：，C2：；【猜想與證明】（1）當(dāng)x=1時，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=1，則∴A，B∴AB=1∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=1，則∴C，D∴CD=2∴=當(dāng)x=2時，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=2，則∴A，B∴AB=∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=2，則∴C，D∴CD=∴=（2）對任意x（x＞0）上述結(jié)論仍然成立理由如下：對任意x（x＞0），∴A，B∴AB=對任意x（x＞0），∴C，D∴CD=∴=【探究與應(yīng)用】①連接OA，OB，OC，OD∴故答案為：②設(shè)M（x，0）（x＞0），∵M(jìn)（x，0）∴∴AB=∵M(jìn)（x，0），∴∴CD=∵∴當(dāng)△AOB是直角三角形時，由題意可知OA=OB∴△△AOB為等腰直角三角形∴OM=AM∴解得：∴當(dāng)△COD是直角三角形時，由題意可知OD=OC∴△△COD為等腰直角三角形∴OM=CM∴解得：∴綜上所述：△COD與△AOB面積之差為或【聯(lián)想與拓展】∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)A、B在拋物線C3上∴令x=k，則∴A∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴E∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)C、D在拋物線C4上∴令x=k，則∴D∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴F∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴△PEA的高=∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴△PDF的高=∴∵△PAE與△PDF面積的比值1:3∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考出了拋物線性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及旋轉(zhuǎn)等知識，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答本題時運(yùn)用兩個拋物線上的點(diǎn)的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵．7．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大．8．（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后解析：（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）如圖（見解析），先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，再利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出的長，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差即可得．【詳解】解：（1）在矩形中，，，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，同理可得：，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）的形狀不變，理由如下：如圖，延長到，使；延長到，使，連接，其中相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，同理可得：，，即，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得：，，是等邊三角形；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，，，在中，，，在中，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，同理可得：，，，，綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）【解決問題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長線上時，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長線上時，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．10．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在FA的延長線上時，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而BC=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在AF的延長線上時，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解析：（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

(3)過點(diǎn)D作//BE，求出四邊形是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊥BD，求出∠=60°，從而得到△是等邊三角形，然后求出，再求出∠=∠，利用“邊角邊”證明△和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解:（1）∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°?∠B=90°?30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，

∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即；如圖3．是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，．．在和中．的面積和的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)即（3）如圖4，過點(diǎn)D作//BE，∵BD平分∠ABC，

∠ABD=∠DBC，

∵D//BE，DE//B，∴四邊形BED是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴∠DBC=∠BDE，

∴BE=DE，

∴四邊形BED是菱形，∴BE=D，且BE、D上的高相等，此時；過點(diǎn)D作D⊥BD，∵∠ABC=60°，D//BE，∴∠D=∠ABC=60°，∵B=D，∠BD=∠ABC=30°，∠DB=90°，∴∠D=∠ABC=60°，∴△D是等邊三角形，∴D=D，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CD=180°?∠BCD=180°?30°=150°，∠CD=360°?150°?60°=150°，∴∠CD=∠CD∵在△CD和△CD中，D=D，∠CD=∠CD，CD=CD，∴△CD≌△CD(SAS)，∴點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，又∵BE=4=B=D，△D是等邊三角形，∴B=4=，∴B=8，綜上所述：當(dāng)BF=4或8時，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，還要注意(3)中符合條件的點(diǎn)F有兩個．12．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．13．（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點(diǎn)A解析：（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+BE=BC，由此即可得；（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長線于點(diǎn)F，先證∠BQF=120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．【詳解】解：（1）理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∵BD+CD=BC∴BD+BE=BC∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=∴BD+BE=；（2）結(jié)論：，理由如下：過點(diǎn)A作AH⊥BC，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=∴BH=AB，∴由（1）同理可知BD+BE=BC，∴；（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長線于點(diǎn)F，∴∴∠QFC=∠QBF=30°，∠BQF=120°∴BQ=QF由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，∴cos∠EBD==cos60°=∵，∴AQ=BQ－AB=．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．14．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，從而可得到結(jié)論；（2）通過證明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度數(shù)；（3）由直角三角形的性質(zhì)可證AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的長，從而可求出AD的長．【詳解】（1）∵∠ABC=∠DBE=90°,∠ACB=∠BED=45°，∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°∴AB=BC，BE=DE，∴△BCE≌△BAD∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°故答案為：1，（2），∠EAD=90°理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=∴=又∵∠ABD=∠EBC∴△ABD∽△BCE∴==，∠BAD=∠ACB=60°∵∠BAC=30°∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，（3）如圖，由（2）知：==，∠EAD=90°∴AD=CE，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AC=8，AB=4，∵∠EAD=∠EBD=90°，且點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴AM=BM=DE，∵△ABM為直角三角形，∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，∴AM=BM=2，∴DE=4，設(shè)EC=x，則AD=x，AE=8-xRt△ADE中，AE2+AD2=DE2∴(8-x)2+(x)2=(4)2，解之得：x=2+2（負(fù)值舍去），∴EC=2+2，∴AD=CE=2+6，∴線段AD的長為（2+6），【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識.15．（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例解析：（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；（3）分兩種情況求出BD的長即可．【詳解】（1）相等;提示：如圖4所示．∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，∴∴∴在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴．（2）不成立；理由如下：如圖5所示．在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∴∴∵∴△ABD∽△ACE∴∴故（1）中的結(jié)論不成立；（3）或．提示:分為兩種情況：①如圖6所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS）∴∴∴由題意可知：設(shè),則在Rt△BCE中,由勾股定理得：∴解之得:（舍去）∴；②如圖7所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS），設(shè)，則在Rt△BCE中，由勾股定理得：∴解之得：（舍去）∴.綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想考慮問題．16．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長，再根據(jù)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使.以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.簡要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.17．（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，解析：（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，∴PQ為△BOC的中位線，∵四邊形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案為：，；（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接并延長交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．∴，∴．∴為等腰直角三角形．∴，．∴也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，且．∴的形狀是等腰直角三角形．（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．∵四邊形是正方形，是對角線，∴．由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，∴，．∴為等腰直角三角形．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴為等腰直角三角形．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即解析：【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案