高中數(shù)學(xué)數(shù)列的概念選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練單元測試及解析一、數(shù)列的概念選擇題1．?dāng)?shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（）A．32 B．36 C．38 D．40答案：B解析：B【分析】根據(jù)所給數(shù)列表達(dá)式，遞推后可得.并將原式兩邊同時(shí)乘以后與變形后的式子相加，即可求得，即隔項(xiàng)和的形式.進(jìn)而取n的值，代入即可求解.【詳解】由已知，①得，②由得，取及，易得，，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，對數(shù)列表達(dá)式進(jìn)行合理變形的解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．在數(shù)列中，已知，，且，則()A．-6 B．6C．-3 D．3答案：C解析：C【分析】根據(jù)題設(shè)條件，得到數(shù)列是以6項(xiàng)為周期的數(shù)列，其中，再由，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，，，且，可得，可得數(shù)列是以6項(xiàng)為周期的數(shù)列，其中，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，以及數(shù)列的周期性的應(yīng)用，其中解答中得出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】利用項(xiàng)和關(guān)系，代入即得解.【詳解】利用項(xiàng)和關(guān)系，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的項(xiàng)和關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…滿足那么=（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式即可求解.【詳解】由則.故選：A5．已知數(shù)列滿足，，則的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由題中條件，得到，由累加法得到，根據(jù)，，逐步計(jì)算出所有可能取的值，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，則，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以，則或，所以或；則或，所以或；則或或，所以或或；則或或，所以或或；……，以此類推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值為，所以所有可能取的值為，，，，，，，，，，；則所有可能取的值為，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于將題中條件平方后，利用累加法，得到，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值問題，再由條件，結(jié)合各項(xiàng)取值的規(guī)律，即可求解.6．已知數(shù)列滿足，，若為周期數(shù)列，則的可能取到的數(shù)值有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)答案：B解析：B【分析】討論出當(dāng)分別取、、、、時(shí)，數(shù)列為周期數(shù)列，然后說明當(dāng)時(shí)，分為正奇數(shù)和正偶數(shù)兩種情況分析出數(shù)列不是周期數(shù)列，即可得解.【詳解】已知數(shù)列滿足，.①若，則，，，，，以此類推，可知對任意的，，此時(shí)，為周期數(shù)列；②若，則，，，，，以此類推，可知對任意的，，此時(shí)，為周期數(shù)列；③若，則，，，，以此類推，可知對任意的，，此時(shí)，為周期數(shù)列；④若，則，，，，，以此類推，可知對任意的，，此時(shí)，為周期數(shù)列；⑤若，則，，，，，，以此類推，可知對任意的且，，此時(shí)，不是周期數(shù)列；⑥若，則，，，，以此類推，可知對任意的，，此時(shí)，為周期數(shù)列；⑦若，則，，，，，以此類推，可知對任意的且，，此時(shí)，不是周期數(shù)列；⑧若，則，，，，，以此類推，可知對任意的且，，此時(shí)，不是周期數(shù)列.下面說明，當(dāng)且時(shí)，數(shù)列不是周期數(shù)列.（1）當(dāng)且時(shí)，由列舉法可知，數(shù)列不是周期數(shù)列；（2）假設(shè)當(dāng)且時(shí)，數(shù)列不是周期數(shù)列，那么當(dāng)時(shí).若為正偶數(shù)，則，則數(shù)列從第二項(xiàng)開始不是周期數(shù)列，從而可知，數(shù)列不是周期數(shù)列；若為正奇數(shù)，則且為偶數(shù)，由上可知，數(shù)列從第二項(xiàng)開始不是周期數(shù)列，進(jìn)而可知數(shù)列不是周期數(shù)列.綜上所述，當(dāng)且時(shí)，數(shù)列不是周期數(shù)列.因此，若為周期數(shù)列，則的取值集合為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是抓住“數(shù)列為周期數(shù)列”進(jìn)行推導(dǎo)，對于的取值采取列舉法以及數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證，對于這類問題，我們首先應(yīng)弄清問題的本質(zhì)，然后根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時(shí)常用的方法即可解決．7．大衍數(shù)列，來源于《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩翼數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……則此數(shù)列的第40項(xiàng)為（）．A．648 B．722 C．800 D．882答案：C解析：C【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式：，即可得出．【詳解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式：．則此數(shù)列第40項(xiàng)為．故選：C8．?dāng)?shù)列滿足，則的值為（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)條件依次算出、、、即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，，故選：C9．已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（）A．B．C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和答案：C解析：C【分析】令，由已知得運(yùn)用累加法得，從而可得，作差得，從而可得，由此可得選項(xiàng).【詳解】令，則，又，所以，，，，，所以累加得，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造新數(shù)列，運(yùn)用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，以及運(yùn)用作差法判斷差的正負(fù)得出數(shù)列的增減性，屬于中檔題.10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】令得，令得可解得.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：A11．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，當(dāng)n≥3時(shí)，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（）A．24 B．26 C．28 D．30答案：B解析：B【分析】先寫出新數(shù)列的各項(xiàng)，找到數(shù)列的周期，即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，此數(shù)列的各項(xiàng)求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，則其周期為6，其中1+1+2+3+1+0=8，則，故選：B.12．?dāng)?shù)列1，3，6，10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由題知：，對選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C，，C正確；對選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡單題.13．已知數(shù)列按如下規(guī)律分布（其中表示行數(shù)，表示列數(shù)），若，則下列結(jié)果正確的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇數(shù)從小到大排起.規(guī)律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的數(shù)呈正方形.可先算是第幾個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)在哪兩個(gè)完全平方數(shù)之間，再去考慮具體的位置.【詳解】每排完次后，數(shù)字呈現(xiàn)邊長是的正方形，所以排次結(jié)束后共排了個(gè)數(shù).，說明是個(gè)奇數(shù).而，故一定是行，而從第個(gè)數(shù)算起，第個(gè)數(shù)是倒數(shù)第個(gè)，根據(jù)規(guī)律第個(gè)數(shù)排在第行第列，所以第個(gè)數(shù)是第行第列，即在第行第列.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，但是考查卻很靈活，屬于較難題.14．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由題意可得，，，……，再將這2019個(gè)式子相加得到結(jié)論.【詳解】由題意可知，，，……，這個(gè)式子相加可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查累加法，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15．設(shè)是定義在上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)、，都有，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)滿足（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意得出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可計(jì)算出，然后利用數(shù)列的單調(diào)性可得出的取值范圍.【詳解】取，，由題意可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，解析：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是對CD的判斷，即要善于利用對所給式子進(jìn)行變形.17．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：….即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A． B．是偶數(shù) C． D．…答案：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是合理利用該數(shù)列的性質(zhì)去證明選項(xiàng).18．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D．答案：ABD【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，解得，故，故A正確；∵，，故有，故B正確；該數(shù)解析：ABD【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，解得，故，故A正確；∵，，故有，故B正確；該數(shù)列的前項(xiàng)和，它的最值，還跟的值有關(guān)，故C錯(cuò)誤；由于，，故，故D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式進(jìn)行化簡，直接根據(jù)性質(zhì)判斷結(jié)果.19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列答案：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令，則，因?yàn)椋詾榈炔顢?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯(cuò)誤；解析：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令，則，因?yàn)?，所以為等差?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因?yàn)?，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進(jìn)行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.20．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則（）A．若，則 B．若，則是中最大的項(xiàng)C．若，則 D．若則.答案：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯(cuò)：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯(cuò)：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯(cuò)：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯(cuò)：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，（1）是關(guān)于的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)得最值；（2），可由的正負(fù)確定與的大??；（3），因此可由的正負(fù)確定的正負(fù)．21．記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若且，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列中最大值的項(xiàng)是C．公差 D．?dāng)?shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，，，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項(xiàng)是，所以B選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，由上述分析可知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且.所以數(shù)列的前項(xiàng)遞減，第項(xiàng)后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】等差數(shù)列有關(guān)知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，可以令或來求解.22．是等差數(shù)列，公差為d，前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確解析：ABD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確；又因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的增減性及前項(xiàng)和的性質(zhì)，本題要從題中條件入手，結(jié)合公式，及，對選項(xiàng)逐個(gè)分析，可判斷選項(xiàng)是否正確.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.23．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，則（）A．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，B．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，C．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，D．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，答案：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項(xiàng)【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，；解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項(xiàng)【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題24．設(shè)是等差數(shù)列，是