2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何難點(diǎn)攻克模擬試-解析與訓(xùn)練考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b,c)到x軸的距離等于（）A.|b|B.|c|C.√(b2+c2)D.√(a2+c2)解析：這題啊，我當(dāng)年教學(xué)生的時(shí)候，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)他們?nèi)菀装腰c(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離和點(diǎn)到坐標(biāo)平面的距離搞混。點(diǎn)P到x軸的距離，其實(shí)就是它在yOz平面上的投影到原點(diǎn)的距離，也就是√(b2+c2)，所以正確答案是C。2.如果直線l1：x+2y-1=0與直線l2：ax-y+3=0平行，那么a的值是（）A.-2B.2C.1/2D.-1/2解析：講到平行直線，我就想起我們班上那個(gè)特別認(rèn)真的學(xué)生小明，他總是問“老師，為什么平行線斜率相乘等于-1？”其實(shí)啊，只要知道兩條直線平行，它們的斜率就相等。x+2y-1=0的斜率是-1/2，所以ax-y+3=0的斜率也應(yīng)該是-1/2，解得a=-1/2，所以正確答案是D。3.已知三棱錐A-BCD的體積為V，那么三棱錐A-BCD的表面積最大時(shí)，它是一個(gè)（）A.正三棱錐B.鈍角三角形構(gòu)成的三棱錐C.直角三角形構(gòu)成的三棱錐D.任意形狀的三棱錐解析：這題有點(diǎn)意思，我當(dāng)年講解的時(shí)候，會(huì)畫一個(gè)正三棱錐和一個(gè)斜三棱錐讓學(xué)生對比。體積一定的情況下，表面積最小的就是正三棱錐，因?yàn)樗母髅娑际堑冗吶切?，對稱性最好。所以正確答案是A。4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，如果∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，那么點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.2√2解析：講到空間幾何，我特別強(qiáng)調(diào)“空間想象能力”，就像我那個(gè)總說“老師，我腦補(bǔ)不出來”的小紅一樣。點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離，其實(shí)就是A1到BC的距離，因?yàn)锽C⊥平面A1BC。A1在A點(diǎn)正上方2個(gè)單位，所以距離就是2，正確答案是D。5.如果一個(gè)四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，那么它的底面一定是一個(gè)（）A.矩形B.菱形C.正方形D.任意四邊形解析：這題啊，我當(dāng)年上課時(shí)，會(huì)讓學(xué)生想象一個(gè)圓錐的側(cè)面，雖然圓錐不是四棱錐，但能幫助他們理解“直角三角形構(gòu)成的四棱錐，底面一定是矩形”。所以正確答案是A。6.已知正四棱錐的底面邊長為2，高為3，那么它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：講到二面角，我經(jīng)常用“手電筒照射法”來解釋。想象手電筒從頂點(diǎn)垂直照射到底面中心，那么側(cè)面與底面的夾角就是45°。所以正確答案是B。7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，如果AB=BC=AC=AA1=1，那么BC1與平面ACC1A1所成的角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：這題啊，我當(dāng)年教的時(shí)候，會(huì)讓學(xué)生先畫個(gè)等邊三角形，然后想象它被“壓扁”成一個(gè)三棱柱。BC1與平面ACC1A1所成的角，其實(shí)就是BC1與BC的夾角，因?yàn)锳CC1A1是矩形。所以正確答案是B。8.如果一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是邊長為1的正三角形，那么它的體積是（）A.√2/4B.√2/6C.√3/6D.1/4解析：講到這種特殊的三棱錐，我總會(huì)想起我們班那個(gè)總愛問“為什么”的小剛。這種三棱錐其實(shí)是正四面體，體積公式是√2/12×邊長3，所以正確答案是B。9.在四棱錐P-ABCD中，如果PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，BC=CD=AD=1，那么四棱錐P-ABCD的體積是（）A.1/4B.1/3C.1/2D.1解析：這題啊，我當(dāng)年講解時(shí)，會(huì)讓學(xué)生想象一個(gè)正方體被切掉一個(gè)角。PA⊥平面ABCD，說明P在正上方；AB⊥BC和AD，說明底面是直角三角形。體積就是1/3×底面積×高，底面積是1/2，高是1，所以正確答案是A。10.如果一個(gè)三棱臺(tái)的上下底面面積之比為4:9，那么它的中截面面積與上下底面面積之和的比值是（）A.5:13B.4:13C.8:13D.9:13解析：講到三棱臺(tái)，我總想起我們班那個(gè)總愛用比例的小麗。中截面是上下底面的平均值，所以比值是(√4+√9)/2:(4+9)/2，簡化后是5:13，所以正確答案是A。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中橫線上。）1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面B1CD的距離是________。解析：講到這個(gè)題啊，我當(dāng)年會(huì)讓學(xué)生想象正方體的對角線。點(diǎn)A到平面B1CD的距離，其實(shí)就是A到B1C的垂直距離。因?yàn)锽1C⊥平面ABCD，所以A到B1C的距離就是正方體棱長，也就是1。2.如果一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是邊長為1的等邊三角形，那么它的體積是________。解析：這題我前面講過，其實(shí)是正四面體，體積公式是√2/12×邊長3，所以答案是√2/12。3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，如果AB=BC=1，∠ABC=60°，AA1=2，那么點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是________。解析：這題和選擇題第4題類似，點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離就是A1到BC的距離，因?yàn)锽C⊥平面A1BC。A1在A點(diǎn)正上方2個(gè)單位，BC=√3（因?yàn)榈冗吶切蔚母撸跃嚯x是2/√3，約等于1.15。4.在四棱錐P-ABCD中，如果PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，BC=CD=AD=1，那么四棱錐P-ABCD的體積是________。解析：這題和選擇題第9題一樣，體積就是1/3×底面積×高。底面是直角三角形，面積是1/2，高是1，所以體積是1/6。5.如果一個(gè)三棱臺(tái)的上下底面面積之比為1:4，那么它的中截面面積與上下底面面積之和的比值是________。解析：這題和選擇題第10題類似，中截面是上下底面的平均值，所以比值是(√1+√4)/2:(1+4)/2，簡化后是3:5。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,1,-1)，點(diǎn)C(1,-1,2)。求：（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）向量AB在向量AC上的投影長度。解析：講到向量的時(shí)候啊，我總是感覺學(xué)生像沒頭蒼蠅一樣轉(zhuǎn)，找不到北。我就跟他們說，向量就像箭頭，有方向有長度，那夾角余弦值不就是看兩個(gè)箭頭朝同一個(gè)方向的程度嘛。向量AB=(1,-1,-4)，向量AC=(0,-3,-1)，所以cos<0xE2><0x82><0x98>=(AB·AC)/(|AB||AC|)，算出來就是-15/√26√10，約等于-0.86。投影長度呢，就是|AB|×cos<0xE2><0x82><0x98>，所以是√26×|-0.86|，約等于4.1。（1）cos<0xE2><0x82><0x98>=(1×0+(-1)×(-3)+(-4)×(-1))/(√(12+(-1)2+(-4)2)×√(02+(-3)2+(-1)2))=7/(√26×√10)=7/√260≈0.44（2）投影長度=|AB|×cos<0xE2><0x82><0x98>=√(12+(-1)2+(-4)2)×0.44=√26×0.44≈5.1×0.44≈2.242.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，BC=CD=AD=1，∠DAB=60°。求：（1）四棱錐P-ABCD的體積；（2）二面角B-PC-D的大小。解析：講到這種組合體的時(shí)候，我就會(huì)想起我們班那個(gè)愛畫輔助線的學(xué)霸小李。他總說“空間幾何就看輔助線”，確實(shí)啊。先看體積，底面是直角三角形，面積是1/2，高是1，所以體積是1/6。二面角B-PC-D，我就讓學(xué)生想象一個(gè)直角坐標(biāo)系，P在原點(diǎn)，A在x軸，B在y軸，C在z軸，這樣BC⊥CD，AD⊥CD，就出來了。向量BC=(0,1,-1)，向量CD=(-1,0,1)，所以cos<0xE2><0x82><0x98>=(BC·CD)/(|BC||CD|)，算出來是-1/√2×√2=-1，所以角是90°。（1）體積=1/3×底面積×高=1/3×(1/2×1×1)×1=1/6（2）cos<0xE2><0x82><0x98>=(0×(-1)+1×0+(-1)×1)/(√(02+12+(-1)2)×√((-1)2+02+12))=-1/(√2×√2)=-1/2，所以<0xE2><0x82><0x98>=120°，但二面角是銳角，所以是60°3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，邊長為2，AA1=3，且AB⊥BC1。求：（1）三棱柱ABC-A1B1C1的體積；（2）直線A1B與平面ABC所成的角的大小。解析：講到三棱柱的時(shí)候，我總會(huì)想起那個(gè)總愛問“為什么”的小王。他問我說“老師，三棱柱不就是長方體的一半嗎？”我說是啊，但這個(gè)題里AB⊥BC1，就不一樣了。先看體積，底面是等邊三角形，面積是√3，高是3，所以體積是3√3。直線A1B與平面ABC所成的角，其實(shí)就是A1到AB的距離除以A1到平面ABC的距離，也就是BC1，因?yàn)锽C1⊥平面ABC。A1到AB的距離是BC1的長度，√(22+22)=√8，所以角是arcsin(√3/√8)。（1）體積=底面積×高=(√3/4×22)×3=3√3（2）sin<0xE2><0x82><0x98>=|A1到AB的距離|/|BC1|=√3/(√(22+22))=√3/√8=√6/4，所以<0xE2><0x82><0x98>=arcsin(√6/4)≈22.5°4.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，高為√3。求：（1）正四棱錐P-ABCD的表面積；（2）二面角A-PBC-D的大小。解析：講到正四棱錐的時(shí)候，我總會(huì)想起那個(gè)總愛畫對稱軸的小張。他總說“對稱軸是關(guān)鍵”，確實(shí)啊。先看表面積，底面是正方形，面積是4，側(cè)面是等腰三角形，面積是4×(1/2×2×√((√3)2+(1)2))=2√10，所以表面積是4+2√10。二面角A-PBC-D，我就讓學(xué)生想象一個(gè)正方體被切掉一個(gè)角，那么這個(gè)角就是二面角，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面是等腰三角形，底面是正方形，所以角是45°。（1）表面積=底面積+側(cè)面積=4+4×(1/2×2×√((√3)2+(1)2))=4+4×(1/2×2×2)=4+8=12（2）二面角A-PBC-D=45°5.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB⊥AC，PA=BC=AC=2。求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）點(diǎn)P到平面ABC的距離。解析：講到這種直角三棱錐的時(shí)候，我總會(huì)想起那個(gè)總愛用坐標(biāo)的小李。他總說“坐標(biāo)法最簡單”，確實(shí)啊。先看體積，底面是直角三角形，面積是2，高是2，所以體積是2。點(diǎn)P到平面ABC的距離就是PA的長度，因?yàn)镻A⊥平面ABC。（1）體積=1/3×底面積×高=1/3×(1/2×2×2)×2=4/3（2）點(diǎn)P到平面ABC的距離=PA=2本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點(diǎn)P(a,b,c)到x軸的距離，就是它在yOz平面上的投影P'(0,b,c)到原點(diǎn)O的距離，即|OP'|=√(b2+c2)。選項(xiàng)C正確。2.D解析：直線l1：x+2y-1=0的斜率是-1/2，l2：ax-y+3=0的斜率是a。因?yàn)閘1∥l2，所以a=-1/2。選項(xiàng)D正確。3.A解析：體積一定時(shí)，表面積最小的是正三棱錐。因?yàn)檎忮F的各面都是等邊三角形，對稱性最好，表面積最小。選項(xiàng)A正確。4.D解析：點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離，其實(shí)就是A1到BC的距離，因?yàn)锽C⊥平面A1BC。A1在A點(diǎn)正上方2個(gè)單位，BC=√2（等邊三角形的高），所以距離是2√2。選項(xiàng)D正確。5.A解析：四個(gè)側(cè)面都是直角三角形的四棱錐，底面一定是矩形。因?yàn)閭?cè)面與底面的夾角都是90°，所以底面四邊形對邊平行且相等，為矩形。選項(xiàng)A正確。6.B解析：正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角，就是側(cè)面斜高與底面邊長的夾角。底面邊長為2，高為3，側(cè)面斜高為√(22+32)=√13，所以tan<0xE2><0x82><0x98>=3/2，<0xE2><0x82><0x98>=arctan(3/2)≈56.3°，但更精確的計(jì)算是45°。選項(xiàng)B正確。7.B解析：BC1與平面ACC1A1所成的角，就是BC1與BC的夾角。因?yàn)锳CC1A1是矩形，BC⊥AC，BC⊥CC1，所以BC⊥平面ACC1A1，BC1與BC的夾角是45°。選項(xiàng)B正確。8.B解析：正四面體的體積公式是V=(√2/12)×a3，邊長為1時(shí)，V=√2/12≈0.144。選項(xiàng)B正確。9.A解析：底面是直角三角形，面積是1/2×1×1=1/2，高是2，所以體積是1/3×1/2×2=1/3。選項(xiàng)A正確。10.A解析：中截面面積是上下底面面積的算術(shù)平均，所以比值是(√4+√9)/2:(4+9)/2=5/13。選項(xiàng)A正確。二、填空題答案及解析1.1解析：點(diǎn)A到平面B1CD的距離，就是A到BC的垂直距離。因?yàn)锽1C⊥平面ABCD，所以A到BC的距離就是正方體棱長，即1。2.√2/12解析：正四面體的體積公式是V=(√2/12)×a3，邊長為1時(shí)，V=√2/12≈0.144。3.2/√3解析：點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離，就是A1到BC的距離。BC=√3，A1到BC的距離是AA1=2，所以距離是2/√3≈1.15。4.1/6解析：底面是直角三角形，面積是1/2，高是1，所以體積是1/3×1/2×1=1/6。5.3/5解析：中截面面積是上下底面面積的算術(shù)平均，所以比值是(√1+√4)/2:(1+4)/2=3/5。三、解答題答案及解析1.（1）cos<0xE2><0x82><0x98>=(1×2+(-1)×1+(-4)×(-1))/(√(12+(-1)2+(-4)2)×√(22+12+(-1)2))=7/(√26×√10)=7/√260≈0.44投影長度=|AB|×cos<0xE2><0x82><0x98>=√(12+(-1)2+(-4)2)×0.44=√26×0.44≈5.1×0.44≈2.24（2）cos<0xE2><0x82><0x98>=(0×(-1)+1×0+(-1)×1)/(√(02+12+(-1)2)×√((-1)2+02+12))=-1/(√2×√2)=-1/2，所以<0xE2><0x82><0x98>=120°，但二面角是銳角，所以是60°解析：向量AB=(1,-1,-4)，向量AC=(0,-3,-1)，所以cos<0xE2><0x82><0x98>=(AB·AC)/(|AB||AC|)，算出來就是-15/√26√10，約等于-0.86。投影長度就是|AB|×cos<0xE2><0x82><0x98>，所以是√26×|-0.86|，約等于4.1。二面角的計(jì)算要注意，銳角是60°。2.（1）體積=1/3×底面積×高=1/3×(1/2×1×1)×1=1/6（2）