第27講觀察、歸納與猜想

觀察、歸納與猜想問題指的是給出一定條件（可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表），通過認(rèn)真分析、仔細(xì)觀察、綜合歸納、大膽猜想、得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗(yàn)證的數(shù)學(xué)探索問題。1.歸納與猜想類問題主要分以下兩大類：（1）猜想規(guī)律型：一般有數(shù)式規(guī)律型和圖形規(guī)律型兩類，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律.其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想.（2）猜想結(jié)論型：一般有猜想數(shù)式結(jié)果、數(shù)量關(guān)系和變化情況三類，相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、測量、繪圖、移動等，都能用到.2.歸納猜想是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，解題中觀察活動主要有三種途徑：從數(shù)與式的特征觀察；從幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察；通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.

知識點(diǎn)一：數(shù)字變化規(guī)律型問題

（1）當(dāng)?shù)?次數(shù)到中指時，這個數(shù)是____.23

思路點(diǎn)撥

根據(jù)題意可知每5個數(shù)表示的手指為一個循環(huán)，第5次數(shù)到中指，則循環(huán)了4次，然后再從大拇指數(shù)到中指，據(jù)此求解即可.

（2）當(dāng)數(shù)到2023時，表示的是哪一個手指？請說明理由.

思路點(diǎn)撥

根據(jù)題意可知每5個數(shù)表示的手指為一個循環(huán)，據(jù)此求解即可。

思路點(diǎn)撥

根據(jù)題意可知，每8個數(shù)表示的手指為一個循環(huán)，據(jù)此求解即可.

方法提煉

本題考查數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵，這類循環(huán)規(guī)律的問題主要是通過觀察找到循環(huán)節(jié).&2&

觀察下邊的一列等式：第

1個等式：

；第

2個等式：

；第

3個等式：

；第

4個等式：

；……

請根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）試寫出第5個等式.

（2）請證明第4個等式.

知識點(diǎn)二：圖形變化規(guī)律型問題

【規(guī)律總結(jié)】（1）第5個圖形中有____個圓形棋子.18

思路點(diǎn)撥

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一個圖形中的棋子數(shù)比前一個圖形多

3個，即可得出答案.

【問題解決】（3）現(xiàn)有2025個圓形棋子，若將這些棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完，則可擺放出第幾個圖形，請說明理由.

方法提煉

本題考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個圖形中的棋子數(shù)比前一個圖形多3個，根據(jù)這一規(guī)律用代數(shù)式表示出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）按此規(guī)律擺下去，第6個圖案有多少個三角形？

（3）按此規(guī)律擺下去，第2024個圖案有多少個三角形？

【實(shí)踐操作】（1）寫出斐波那契數(shù)列的前10個數(shù).

思路點(diǎn)撥

根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義即可求解.解題過程

斐波那契數(shù)列的前10個數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.（2）斐波那契數(shù)列的前2024個數(shù)中，有______個奇數(shù).1350

思路點(diǎn)撥

分析斐波那契數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)每三項(xiàng)都是前兩個為奇數(shù)第三個為偶數(shù)，結(jié)合2024是3的多少倍余兒，即可得出結(jié)論.

（3）現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造如圖1所示的正方形系列：圖1圖2

（?。┩ㄟ^計(jì)算相應(yīng)長方形的周長填寫下表（不計(jì)拼出的長方形內(nèi)部的線段）.序號①②③④⑤

周長610

思路點(diǎn)撥

根據(jù)圖形特性，可以找出每個長方形的長與寬，計(jì)算即可得出結(jié)論.解題過程

填表如下：序號①②③④⑤

周長610162642

（ⅱ）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長方形，求序號為⑩的長方形的長與寬.

思路點(diǎn)撥

根據(jù)規(guī)律，得到序號為⑩的長方形長為144，寬為89.解題過程

序號為⑩的長方形的長為144，寬為89.

方法提煉

本題考查圖形的變化，解題的關(guān)鍵：（1）把數(shù)列分成每3個一組，即可找到2奇1偶的特點(diǎn).（2）觀察圖形，利用整體替換，即能找到長方形的長與寬的規(guī)律.

C

A

D

4.如圖，在第10個黃色的球的前面，共有____個藍(lán)色的球.45

31

10159

19

（1）鋪第6個圖形用藍(lán)色正方形瓷磚____塊，用白色正方形瓷磚____塊.2514

CA.0

B.1

C.2

D.3

D

47

2.7

【問題解決】（3）現(xiàn)要按照以上規(guī)律圍一個正方形的安全防護(hù)欄，且每一邊的交界處為1根立柱.已知圍成后防護(hù)欄

15.某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式，如圖.（1）有4張桌子，用第一種擺放方

式，可坐多少人？用第二種擺放方式，可坐多少人？