專題1.4空間向量及其運算的坐標表示（舉一反三講義） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求空間點的坐標】 2【題型2空間向量線性運算的坐標表示】 3【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】 3【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】 4【題型5空間向量模長的坐標表示】 4【題型6空間向量平行、共線的坐標表示】 6【題型7空間向量垂直的坐標表示】 6【題型8空間向量夾角（余弦）的坐標表示】 7知識點1空間直角坐標系1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系及相關(guān)概念①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.②相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．3．空間中點的對稱點的坐標設(shè)點P(x，y，z)為空間直角坐標系中的一點，則(1)與點P關(guān)于原點對稱的點是P1(x，y，z)；(2)與點P關(guān)于x軸對稱的點是P2(x，y，z)；(3)與點P關(guān)于y軸對稱的點是P3(x，y，z)；(4)與點P關(guān)于z軸對稱的點是P4(x，y，z)；(5)與點P關(guān)于Oxy平面對稱的點是P5(x，y，z)；(6)與點P關(guān)于Ozx平面對稱的點是P6(x，y，z)；(7)與點P關(guān)于Oyz平面對稱的點是P5(x，y，z).【注】：點的對稱問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰不變，其余坐標相反”這個結(jié)論.【題型1求空間點的坐標】【例1】（2425高二上·湖南永州·期末）在空間直角坐標系中，點A?1,2,3關(guān)于平面xOy對稱點的坐標為（

）A．1,2,3 B．?1,?2,3 C．?1,2,?3 D．1,?2,?3【變式11】（2425高二上·廣東肇慶·期末）在空間直角坐標系中有一點P2024,?2025,?2026，則該點關(guān)于xA．2024,?2025,?2026 B．?2024,2025,2026C．?2024,?2025,?2026 D．?2024,?2025,2026【變式12】（2425高二·江蘇·課后作業(yè)）已知點A(3,?1,0)，若向量AB=(2,5,?3)，則點B的坐標是（

A．(5,4,?3) B．(1,?6,3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【變式13】（2425高二上·浙江溫州·期末）在空間直角坐標系Oxyz中，點P2,3,4在坐標平面Oxy內(nèi)的射影的坐標為（

A．0,0,4 B．0,3,4C．2,0,4 D．2,3,0知識點2空間直角坐標系1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量線性運算的坐標表示】【例2】（2425高二上·重慶長壽·期末）若a=1,?2,1,b=?2,1,?2，則A．?1,?1,?1 B．3,?3,3 C．3,3,3 D．?2,?2,?2【變式21】（2425高二上·浙江嘉興·期末）在空間直角坐標系中，已知a=(?2,2,1)，b=(2,0,?1)，則2aA．(?2,4,1) B．(6,4,?3) C．(?6,4,3) D．(2,4,?1)【變式22】（2425高二上·海南省直轄縣級單位·期中）已知向量a=(1,?4,5)，b=(0,1,2)，則a?2A．(1,?6,?1) B．(?1,?6,9) C．(1,?6.1) D．(?1,?6,1)【變式23】（2425高二·全國·課堂例題）已知a=(?2,3,5),(1)a?(2)2a(3)?5b【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】【例3】（2425高二上·廣東江門·期末）若a=?1,2,?1，b=1,3,?2，則aA．?8 B．?10 C．8 D．10【變式31】（2425高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知向量a=2,?3,1，b=2,0,3，c=A．12 B．?12 C．9 D．?9【變式32】（2025·山西·一模）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2A．0,2 B．1,3 C．2【變式33】（2425高二上·新疆·階段練習(xí)）已知a=2,3,?1，b=(1)求a?(2)a+【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】【例4】（2425高二上·湖北武漢·期中）已知向量a=x,1,?1，b=2,1,x，若a?bA．?2 B．?1 C．0 D．1【變式41】（2425高二下·甘肅甘南·期末）已知向量a=1,x2,2，b=0,1,2A．?2 B．1 C．±1 D．±2【變式42】（2425高二上·河南駐馬店·期末）已知A1,5,?2，B2,4,2，Ca,3,b+2三點在同一條直線上，則a+b=A．5 B．6 C．7 D．8【變式43】（2425高二上·江蘇無錫·期中）已知a=2,?1,3，b=?1,4,?2，c=1,3,λ，若a，b，A．1 B．2 C．3 D．4知識點3用空間向量的坐標運算解決相關(guān)的幾何問題1．空間向量的平行、垂直關(guān)系(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)2．空間向量的模長的坐標計算公式3．空間向量夾角的坐標計算公式4．空間兩點間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型5空間向量模長的坐標表示】【例5】（2425高二上·河北滄州·階段練習(xí)）已知O是坐標原點，空間向量OA=1,1,2，OB=?1,3,4，OC=2,4,4，若線段AB的中點為DA．22 B．3 C．8 【變式51】（2425高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知空間向量a=(1,n,2)，b=(?2,1,2)，若3a?b與bA．62 B．532 C．6【變式52】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）設(shè)x、y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=3,?6,3且aA．22 B．23 C．4【變式53】（2025·浙江·模擬預(yù)測）邊長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，A1D1中點，MA．1 B．52 C．2 D．【題型6空間向量平行、共線的坐標表示】【例6】（2425高一上·四川·期中）已知向量a=?1,0,3，b=1,?1,1，c=?1,2x,1，若aA．14 B．?14 C．1【變式61】（2425高二上·河北張家口·階段練習(xí)）已知a=(?3,7,?5),b=(?2,14k,?10k)，且a與b共線，則bA．2,?143,C．2,?143,?【變式62】（2425高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知向量a=1,1,0，b=?1,0,2，若ka+bA．?12 B．?2 C．1【變式63】（2425高二上·重慶·期中）已知點Aa,?3,4，B0,b,1，C5,9,?2，若A，B，C三點共線，則a，bA．?2，3 B．?5，3 C．1，3 D．?2，2【題型7空間向量垂直的坐標表示】【例7】（2425高二上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知a=?2,1,3,b=?1,1,1，若aA．?2 B．?C．73 【變式71】（2425高二上·湖北·期中）已知空間向量a=?1,2,4，b=1,?4,2，c=4,4,z，若A．?52 B．?12 C．【變式72】（2425高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知空間向量a=(1)求2a(2)若向量a+2b與ka【變式73】（2425高二上·河南駐馬店·期中）已知空間中三點A(2,?1,1)，B(1,1,0)，C(4,?3,3).設(shè)a=AB，b(1)求a?2b和(2)若2ka?b與a【題型8空間向量夾角（余弦）的坐標表示】【例8】（2425高二上·安徽淮南·期中）已知空間向量a=2,?1,1，b=m,?3,3，若a與b的夾角是銳角，則A．?∞