24.4.2圓錐的側(cè)面積和全面積第二十四章

圓人教版數(shù)學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********24.4.2圓錐的側(cè)面積和全面積一、引入在生活中，我們經(jīng)常能看到圓錐形狀的物體，比如冰淇淋甜筒、圣誕帽、煙囪帽等。這些物體的制作都需要計算所需材料的面積，這就涉及到圓錐的側(cè)面積和全面積。這節(jié)課我們就來學習如何計算圓錐的側(cè)面積和全面積。二、圓錐的相關概念圓錐的母線：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。通常用字母\(l\)表示。圓錐的高：從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高，通常用字母\(h\)表示。圓錐的底面半徑：圓錐底面圓的半徑，通常用字母\(r\)表示。圓錐的母線、高和底面半徑之間存在著密切的關系，它們構(gòu)成了一個直角三角形，其中母線\(l\)是斜邊，高\(h\)和底面半徑\(r\)是兩條直角邊，滿足勾股定理：\(l^2=h^2+r^2\)。三、圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長\(l\)，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長\(2\pir\)。我們可以通過實際操作來理解，把一個圓錐的側(cè)面沿著一條母線剪開并展開，就能得到一個扇形，扇形的半徑就是原來圓錐的母線，扇形的弧長與圓錐底面圓的周長相等。四、圓錐的側(cè)面積和全面積公式（一）側(cè)面積公式因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，且扇形的半徑為圓錐的母線長\(l\)，弧長為圓錐底面圓的周長\(2\pir\)。根據(jù)扇形面積公式\(S=\frac{1}{2}lr\)（其中\(zhòng)(l\)為扇形弧長，\(r\)為扇形半徑），可得圓錐的側(cè)面積\(S_{??§}\)為：\(S_{??§}=\frac{1}{2}\times2\pir\timesl=\pirl\)（二）全面積公式圓錐的全面積（也叫表面積）是指圓錐的側(cè)面積與底面積之和。圓錐的底面積是一個圓的面積，即\(S_{?o?}=\pir^2\)。所以圓錐的全面積\(S_{??¨}\)為：\(S_{??¨}=S_{??§}+S_{?o?}=\pirl+\pir^2=\pir(l+r)\)五、例題講解例題1：一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，求這個圓錐的側(cè)面積和全面積。解：已知\(r=3\)cm，\(l=5\)cm。根據(jù)側(cè)面積公式\(S_{??§}=\pirl\)，可得：\(S_{??§}=\pi\times3\times5=15\pi\)（\(cm^2\)）底面積\(S_{?o?}=\pir^2=\pi\times3^2=9\pi\)（\(cm^2\)）全面積\(S_{??¨}=S_{??§}+S_{?o?}=15\pi+9\pi=24\pi\)（\(cm^2\)）所以，這個圓錐的側(cè)面積為\(15\pi\)\(cm^2\)，全面積為\(24\pi\)\(cm^2\)。例題2：一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為10cm，圓心角為\(144^\circ\)的扇形，求這個圓錐的底面半徑和高。解：扇形的半徑就是圓錐的母線長\(l=10\)cm。扇形的弧長\(l_{??§}=\frac{n\pil}{180}=\frac{144\times\pi\times10}{180}=8\pi\)（cm）因為圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，即\(2\pir=8\pi\)，解得\(r=4\)cm。根據(jù)圓錐母線、高和底面半徑的關系\(l^2=h^2+r^2\)，可得：\(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\)（cm）所以，這個圓錐的底面半徑為4cm，高為\(2\sqrt{21}\)cm。六、課堂練習填空題（1）一個圓錐的底面半徑為2cm，母線長為6cm，它的側(cè)面積為（

）\(cm^2\)。（2）一個圓錐的全面積為\(24\pi\)\(cm^2\)，底面半徑為3cm，則它的母線長為（

）cm。解答題（1）已知一個圓錐的高為8cm，底面半徑為6cm，求這個圓錐的側(cè)面積和全面積。（2）一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，且半圓的半徑為8cm，求這個圓錐的底面半徑和高。七、課堂總結(jié)本節(jié)課我們學習了圓錐的側(cè)面積和全面積。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其側(cè)面積公式為\(S_{??§}=\pirl\)，全面積公式為\(S_{??¨}=\pir(l+r)\)。在計算時，要注意區(qū)分圓錐的母線、高和底面半徑，靈活運用公式解決問題。八、作業(yè)布置教材第XX頁習題24.4的第6-10題。一個圓錐形的帳篷，底面直徑為6m，高為4m，求制作這個帳篷至少需要多少平方米的帆布（不計損耗）。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解圖片引入圓錐及相關概念頂點母線底面半徑側(cè)面高圓錐的形成觀察與思考圓錐是如何形成的？它是由哪幾部分構(gòu)成？圓錐的高母線SAOBr

我們把連接圓錐頂點(點

S)

和底面圓上任意一點的線段

(如線段

SA，SB等)叫做圓錐的母線．圓錐的母線

圓錐有無數(shù)條母線，它們都相等．圓錐的高

從圓錐的頂點到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．知識要點要點歸納h

如果用

r表示圓錐底面圓的半徑，h

表示圓錐的高線長，l

表示圓錐的母線長，那么

r、h、l

之間的等量關系是：____________．rr2+h2=l2

O·l

根據(jù)下列條件求值（其中

r、h、l分別是圓錐的底面圓半徑、高、母線長）.(1)若

l

=2，r=1，則

h=_______；(2)若

h=3，r=4，則

l

=_______；(3)若

l=10，h=8，則

r=_______.56填一填hrO·l圓錐的側(cè)面展開圖lOr思考：圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形問題：1.沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側(cè)面剪開鋪平，得到一個扇形，這個扇形的弧長與底面圓的周長有什么關系？2.圓錐側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑與圓錐中的什么線段長相等？相等母線長lO側(cè)面展開圖要點歸納lr圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑

＝

母線的長(l)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長

＝

底面圓周長(2πr)h圓錐的側(cè)面積計算公式lO側(cè)面展開圖底面圓lr圓錐的全面積計算公式(r

表示圓錐底面圓的半徑，l表示圓錐的母線長

)

已知一個圓錐的底面半徑為

12cm，母線長為

20cm，則這個圓錐的側(cè)面積為

，全面積為

.練一練例1

一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為

120°、弧長為20π的扇形，試求該圓錐的底面圓半徑及母線長.解：設該圓錐的底面圓半徑為

r，母線長為

l，則解得r=10.∴l(xiāng)=30.又典例精析∴該圓錐的底面圓半徑為10，母線長為30.例2

如圖是圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為80cm，母線為50cm.在一塊大鐵皮上剪裁時，如何畫出這個煙囪帽的側(cè)面展開圖？求出該側(cè)面展開圖的面積.解：煙囪帽的側(cè)面展開圖是扇形，如圖所示.設該扇形的面積為

S.由弧長的計算方法，可得αOhrlαOhrl答：該側(cè)面展開圖的面積為2000πcm2.例3

蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個底面積為12m2，高為3.2m，外圍高為1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（π

取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？解：如圖是蒙古包的示意圖．

根據(jù)題意，下面圓柱的底面積為12m2，高為

h2=1.8m；上面圓錐的高為

h1=3.2－1.8=1.4(m).h1rh2圓柱的底面圓半徑為圓錐的母線長為側(cè)面積為2π×1.954×1.8≈22.10(m2)，側(cè)面展開扇形的弧長為圓錐的側(cè)面積為因此，20×(22.10+14.76)≈738(m2).答：至少需要

738m2

的毛氈.h1rh2

如圖所示的扇形中，半徑

R=

10，圓心角

θ=

144°，用這個扇形圍成一個圓錐的側(cè)面.(1)這個圓錐的底面半徑r=

；(2)這個圓錐的高

h=

.θR

=

104練一練AO

BCrh1.圓錐的底面半徑為

3

cm，母線長為

6

cm，則這個圓

錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角是_____．2.一個扇形，半徑為

30

cm，圓心角為

120°，用它做成一個圓錐的側(cè)面，那么這個圓錐的底面半徑為

.3.已知圓錐的底面圓半徑為3cm，高為4cm，則它的

側(cè)面積是

，全面積是

．180°10

cm15πcm224πcm2知識點1

圓錐的側(cè)面積1.［2024無錫中考］已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為(

)B

返回

C

返回（第3題）

B

返回（第4題）

D

返回

（1）求這個圓錐的母線長；

返回知識點2

圓錐的全面積

返回

返回（第8題）

D

返回（第9題）9.

《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”譯文：屋內(nèi)墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一（如圖），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，那么這個米堆遮擋的墻面面積為(

)A

返回

4（第10題）返回

（第11題）返回

（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處和濾紙接縫處）展開，則