數(shù)學(xué)奧林競賽題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.若\(a\gtb\),則下列不等式一定成立的是（）A.\(a-3\gtb-3\)B.\(-2a\gt-2b\)C.\(a^{2}\gtb^{2}\)D.\(\frac{a}{3}\lt\frac{3}\)答案：A2.方程\(x^{2}-4x+3=0\)的解是()A.\(x_{1}=1\),\(x_{2}=3\)B.\(x_{1}=-1\),\(x_{2}=-3\)C.\(x_{1}=1\),\(x_{2}=-3\)D.\(x_{1}=-1\),\(x_{2}=3\)答案：A3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)的自變量\(x\)的取值范圍是()A.\(x\neq2\)B.\(x\gt2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\neq-2\)答案：A4.若\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\),相似比為\(3:2\),則對應(yīng)高的比為()A.\(3:2\)B.\(3:5\)C.\(9:4\)D.\(4:9\)答案：A5.二次函數(shù)\(y=2(x-3)^{2}+4\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((3,-4)\)D.\((-3,-4)\)答案：A6.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\),則銳角\(\alpha\)的度數(shù)是()A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(75^{\circ}\)答案：A7.不等式組\(\begin{cases}x+1\gt0\\x-2\lt0\end{cases}\)的解集是()A.\(x\gt-1\)B.\(x\lt2\)C.\(-1\ltx\lt2\)D.無解答案：C8.計(jì)算\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)的結(jié)果是()A.\(\sqrt{3}\)B.\(2\sqrt{3}\)C.\(3\)D.\(4\sqrt{3}\)答案：A9.已知點(diǎn)\(A(1,y_{1})\),\(B(2,y_{2})\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\lt0)\)的圖象上,則\(y_{1}\)與\(y_{2}\)的大小關(guān)系是()A.\(y_{1}\gty_{2}\)B.\(y_{1}\lty_{2}\)C.\(y_{1}=y_{2}\)D.無法確定答案：A10.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(2\)倍,則這個多邊形是()A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形答案：C二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.下列變形正確的是()A.由\(a\gtb\)得\(a+c\gtb+c\)B.由\(a\gtb\)得\(ac\gtbc\)(\(c\gt0\)）C.由\(a\gtb\)得\(a-c\gtb-c\)D.由\(a\gtb\)得\(-a\gt-b\)答案:ABC2.方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則（）A.\(\Delta=0\)B.\(b^{2}-4ac=0\)C.\(b=0\)D.\(a=b=c\)答案:AB3.函數(shù)\(y=3x^{2}\)的性質(zhì)正確的有()A.開口向上B.對稱軸是\(y\)軸C.有最大值D.在\(x\gt0\)時,\(y\)隨\(x\)的增大而增大答案:ABD4.相似三角形的性質(zhì)有(）A.對應(yīng)角相等B.對應(yīng)邊成比例C.周長比等于相似比D.面積比等于相似比答案:ABC5.下列二次根式中,是最簡二次根式的有（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{12}\)C.\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)D.\(\sqrt{3}\)答案:AD6.不等式組\(\begin{cases}2x+1\gt-1\\3x+2\lt4\end{cases}\)的整數(shù)解有(）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)答案:AB7.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((2,3)\),則（）A.\(k=6\)B.在每個象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)的增大而減小C.圖象在一、三象限D(zhuǎn).圖象在二、四象限答案:ABC8.下列命題是真命題的有()A.對頂角相等B.兩直線平行,同旁內(nèi)角相等C.等角的補(bǔ)角相等D.同位角相等答案:AC9.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案:ABC10.一元二次方程\(x^{2}-3x+2=0\)的兩根為(）A.\(x_{1}=1\)B.\(x_{2}=2\)C.\(x_{1}=-1\)D.\(x_{2}=-2\)答案:AB三、判斷題(每題2分,共10題)1.若\(a\gtb\),則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（×)2.方程\(x^{2}=x\)的解是\(x=1\)。(×)3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的圖象在第一、三象限。(√)4.相似三角形的面積比等于對應(yīng)邊比。(×)5.\(\sqrt{8}\)是最簡二次根式。(×)6.不等式\(2x\gt-4\)的解集是\(x\lt-2\)。(×)7.二次函數(shù)\(y=-2x^{2}\)的圖象開口向上。(×)8.對頂角的平分線在同一條直線上。(√)9.順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形。(√)10.一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)(\(a\neq0\)）的求根公式是\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)。(√）四、簡答題(每題5分,共4題)1.已知\(\triangleABC\)中,\(\angleA=30^{\circ}\),\(\angleB=60^{\circ}\),\(AC=4\),求\(AB\)的長。答案：在\(\triangleABC\)中,\(\angleC=180^{\circ}-\angleA-\angleB=90^{\circ}\)。因?yàn)閈(\sinB=\frac{AC}{AB}\),\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\),\(AC=4\),所以\(AB=\frac{AC}{\sinB}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)。2.化簡\(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}\)。答案:\(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x+1}{x-1}(x\neq1)\)。3.求一次函數(shù)\(y=2x-1\)與\(y=-x+2\)的交點(diǎn)坐標(biāo)。答案:聯(lián)立方程組\(\begin{cases}y=2x-1\\y=-x+2\end{cases}\),則\(2x-1=-x+2\),\(3x=3\),\(x=1\),把\(x=1\)代入\(y=2x-1\)得\(y=1\),交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)。4.計(jì)算\(\frac{1}{2}\sin30^{\circ}+\cos60^{\circ}-\tan45^{\circ}\)。答案:\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{4}\)。五、討論題(每題5分,共4題)1.談?wù)勗诮庖辉畏匠虝r,配方法與公式法的優(yōu)缺點(diǎn)。答案：配方法思路清晰,可將一般式轉(zhuǎn)化為完全平方式,但計(jì)算較繁瑣;公式法直接利用求根公式,計(jì)算相對簡單,但需先確定\(\Delta\)的值,當(dāng)\(\Delta\)計(jì)算復(fù)雜時也會有一定難度。2.相似三角形在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用?答案：如測量建筑物高度,可通過構(gòu)造相似三角形,利用相似比來計(jì)算;在地圖繪制中,根據(jù)實(shí)際距離與圖上距離的比例關(guān)系構(gòu)建相似三角形來縮小或放大圖形。3.如何判斷一個函數(shù)是反比例