第三章勾股定理（復(fù)習(xí)講義）掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)；能利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理；知道勾股數(shù)的概念，會(huì)判斷3個(gè)數(shù)是不是勾股數(shù)；掌握勾股定理的逆定理，并能利用該定理判定一個(gè)三角形為直角三角形；能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解決生活中的實(shí)際問題；知識(shí)點(diǎn)重點(diǎn)歸納常見易錯(cuò)點(diǎn)勾股定理1.文字語(yǔ)言：注意：勾股定理的使用條件——必須是直角三角形，其他三角形是不能使用的！并且要確定好哪條邊是斜邊2.圖形語(yǔ)言：3.符號(hào)語(yǔ)言:勾股定理驗(yàn)證方法1：方法2：方法3：方法4：常見應(yīng)用應(yīng)用1：求解三角形中未知邊長(zhǎng)；應(yīng)用2：網(wǎng)格中繪制無理數(shù)長(zhǎng)度線段；應(yīng)用3：數(shù)軸上繪制無理數(shù)的點(diǎn)；應(yīng)用4：解決實(shí)際問題中的長(zhǎng)度問題；應(yīng)用5：求解一些最值問題；應(yīng)用6：求解一些立體幾何中的長(zhǎng)度問題；勾股定理逆定理1.文字語(yǔ)言：我們習(xí)慣是用表示直角邊，表示斜邊，但真正到習(xí)題或考試中不一定表示直角邊，不一定表示斜邊所以表示斜邊2.圖形語(yǔ)言：3.符號(hào)語(yǔ)言:勾股定理與逆定理關(guān)系正確理解二者的關(guān)系勾股數(shù)1.概念：注意：，，要成為勾股數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：條件2：，，必須是正整數(shù);這里最易被忽略的是條件2，千萬要注意！3.用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：勾股定理解決問題步驟將實(shí)際問題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；確定所求線段所在的直角三角形；能找到就直接用勾股定理解題，若找不到就添加輔助線構(gòu)造直角三角形；根據(jù)勾股定理，列方程求解。關(guān)鍵在找到直角三角形，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗?，表示出三邊長(zhǎng)。題型題型一利用勾股定理求直角三角形邊長(zhǎng)(2)求線段的長(zhǎng)．題型二題型二利用勾股定理解決折疊問題A．3 B． C．5 D．A． B． C． D．題型三題型三利用勾股定理解決網(wǎng)格中長(zhǎng)度問題【例3】如圖是兩人某次棋局棋盤上的一部分，若棋盤中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則“車”、“帥”兩棋子所在格點(diǎn)之間的距離為（）A．3 B． C．5 D．A． B． C． D．【變式32】如圖所示，在每個(gè)邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、P均為網(wǎng)格的格點(diǎn)．(1)線段的長(zhǎng)度等于__________；題型四題型四利用勾股定理探究線段平方關(guān)系(1)猜想與的位置關(guān)系？并證明你的猜想．(2)直接寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系：_______題型五題型五探究勾股定理的驗(yàn)證問題(1)請(qǐng)用兩種不同方法表示圖1中陰影部分面積．（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）方法1：__________；方法2：__________；根據(jù)以上信息，可以得到等式__________；【變式51】現(xiàn)有4個(gè)全等的直角三角形（陰影部分），直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，將它們拼合為如圖的形狀．用兩種不同的方法計(jì)算整個(gè)組合圖形的面積，可以證明勾股定理，(1)請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整：方法一：以c為邊的正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即最后化簡(jiǎn)為__________；方法二：以a和b為邊的兩個(gè)小正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即最后化簡(jiǎn)為__________；根據(jù)面積相等，直接得等式__________，化簡(jiǎn)最后結(jié)果是__________．【變式52】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著無窮魅力．它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人著迷．我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”（也稱“趙爽弦圖”）就巧妙地利用面積法證明了勾股定理．(1)如圖1，用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為．①請(qǐng)寫出勾股定理的表達(dá)式：______．②如圖2，正方形邊長(zhǎng)為c，請(qǐng)你在圖2中，將圖1的四個(gè)三角形拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形．(2)如圖3，將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，使點(diǎn)B、E、C在同一直線上，三角形的短直角邊記為a，長(zhǎng)直角邊記為b，斜邊記為c，請(qǐng)連結(jié)，試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．題型六題型六以弦圖為背景的探究問題【例6】綜合實(shí)踐我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)恒等式，嚴(yán)密又直觀，為中國(guó)古代“形數(shù)統(tǒng)一”、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范．在一節(jié)八上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，老師為了弘揚(yáng)中國(guó)的數(shù)學(xué)文化，和同學(xué)們開啟對(duì)“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學(xué)利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個(gè)小正方形組成的十字形紙板，讓同學(xué)們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個(gè)無縫的大正方形，可以怎么剪？請(qǐng)你畫出示意圖．(3)構(gòu)造“弦圖”，應(yīng)用計(jì)算【變式61】綜合與實(shí)踐(2)鞏固：如圖3，如果將小正方形的一邊延長(zhǎng)，也能驗(yàn)證平方差公式，請(qǐng)完成證明．請(qǐng)你用“雙求法”解決下面兩個(gè)問題：題型七題型七勾股數(shù)的概念問題【例7】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）【變式71】下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．，， B．4，5，6C．0.6，0.8，1 D．9，12，15題型八題型八勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題——梯子問題【例8】每年的11月9日是我國(guó)的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長(zhǎng)為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點(diǎn)D處，則云梯底端水平方向向右滑動(dòng)的距離為多少米．(1)此時(shí)梯子頂端A離地面多少米？【變式82】與危險(xiǎn)相伴，與烈火為伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中國(guó)消防員．云梯消防車是常見的消防器械，云梯最多能伸長(zhǎng)到30米，消防車高3米，如圖，某棟樓發(fā)生火災(zāi)，在這棟樓的處有一老人需要救援，救人時(shí)消防車上的云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，此時(shí)消防車的位置與樓房的距離為24米．(1)求處與地面的距離．(2)完成處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在處的上方6米的處有一小孩沒有及時(shí)撤離，為了能成功地救出小孩，則消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米?題型九題型九勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題——大樹折斷問題【例9】如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(1)求一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？(2)如圖，臺(tái)風(fēng)過后，高米的樹在點(diǎn)處折斷，大樹頂部落在點(diǎn)處，則樹折斷處距離地面多少米？【變式92】請(qǐng)解決我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：一根竹子原來高9尺，從處折斷，折斷后竹子頂端點(diǎn)落在離竹子底端點(diǎn)3尺處，求折斷處離地面（即）的高度是多少尺？題型十題型十勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題——最短路徑問題【例10】如圖，有一個(gè)高為，底面直徑為的圓柱．在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的食物，它從點(diǎn)爬到點(diǎn)，然后再沿另一面爬回點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是．【變式101】如圖，已知一個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為6cm和6cm，高為7cm．若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則這只螞蟻爬行的最短路程為cm．【變式102】如圖1是一款竹木材質(zhì)的二宮格托盤，從內(nèi)部測(cè)得每個(gè)格子的底面均是邊長(zhǎng)為的正方形，且深為，兩個(gè)格子之間的隔斷厚．圖2是該托盤的俯視圖（即從上面看到的形狀圖），若一只螞蟻從該托盤內(nèi)部底面的頂點(diǎn)A處，經(jīng)托盤隔斷爬行到內(nèi)部底面的頂點(diǎn)B處，則螞蟻爬行的最短距離為．題型十一勾股定理的逆定理的應(yīng)用題型十一勾股定理的逆定理的應(yīng)用——面積問題(1)護(hù)林員操控一架無人機(jī)從A處沿直線飛行到C處進(jìn)行巡查，求無人機(jī)飛行路徑的長(zhǎng)；題型十二勾股定理的逆定理——綜合拓展題型十二勾股定理的逆定理——綜合拓展（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．【變式122】先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個(gè)數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個(gè)數(shù)分別是三角形的三邊長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形是什么三角形？請(qǐng)說明理由；基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各組數(shù)據(jù)為勾股數(shù)的是（

）第2題 第3題A．7 B．5 C．13 D．254．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（

）第4題 第5題A． B． C． D．A．2 B．3 C． D． 第6題 第8題7．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．5 B．6 C．7 D．89．如圖，一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體上和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)B處，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)，寬，高．蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是（

）．A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、4，則第三邊為．12．能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請(qǐng)你寫出三組勾股數(shù)：．13．如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，b的面積分別為7和22，則c的面積為．第13題 第14題第15題 第16題第17題 第18題19．已知在燈塔O的北偏東方向9海里處有一輪船A，在燈塔O的南偏東方向海里處有一輪船B，則A，B兩船的距離是海里．三、解答題（本大題共5小題，共40分）(2)求的長(zhǎng)．(2)求線段的長(zhǎng)．(1)求這塊地的面積；25．（本題8分）【問題提出】（2）線段，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出并說明理由；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，（3）試探究線段，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（

）2．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）三個(gè)勾股數(shù)互質(zhì)時(shí)稱之為本原勾股數(shù)，按規(guī)律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，則第n組勾股數(shù)的第二個(gè)數(shù)為（

）．A．12 B．10 C．8 D．6第3題 第4題A．24 B．18 C．15 D．95．（2425八年級(jí)上·河南鄭州·期末）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理．圖①中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，，空白部分的面積為，圖②中空白部分的面積為，下列等式成立的是（

）A．36 B．25 C．16 D．9第7題 第8題9．（2425八年級(jí)上·山東青島·期末）五根小木棒的長(zhǎng)度分別為，，，，，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，下列擺放正確的是（

）二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）第11題 第12題 12．（2425八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是，正方形F的面積是，正方形G的面積是．第13題 第14題第16題 第17題第18題 第19題三、解答題