導(dǎo)數(shù)恒成立壓軸微專題12講（26高考版）導(dǎo)數(shù)恒成立壓軸微專題12講（26高考版）2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案19.恒成立問題高三備考核心考點(diǎn)與應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u1.求導(dǎo)以后的因式分解策略專項(xiàng)訓(xùn)練 32.單調(diào)性分析 103.對數(shù)“單身狗”，指數(shù)“找朋友” 174.參數(shù)分離方法與“副產(chǎn)物” 205.端點(diǎn)效應(yīng)與必要性探路 266.不等式放縮 327.同構(gòu)變換與恒成立問題 378.導(dǎo)數(shù)恒成立與數(shù)列不等式 459.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的“凸凹反轉(zhuǎn)”技巧與應(yīng)用 5110.雙變量恒成立問題與應(yīng)用 5711.恒成立問題中的主元方法 6412.泰勒展開式及其在恒成立問題中的應(yīng)用 721.求導(dǎo)以后的因式分解策略專項(xiàng)訓(xùn)練本文想通過下面幾個例子來說明對導(dǎo)函數(shù)處理的基本模式.馬上就要進(jìn)入到導(dǎo)數(shù)新授課了，初學(xué)導(dǎo)數(shù)必須要把握住討論導(dǎo)數(shù)的核心是關(guān)注它的正負(fù)，零點(diǎn)，所以對其進(jìn)行因式分解這一步至關(guān)重要，不管將來介紹多少種技巧方法，但是最基本的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用思想?yún)s需要從一開始就要融入的.一．基本原理1.對數(shù)求導(dǎo)完后要通分，分母明確正負(fù)號后也要通分，都有指數(shù)項(xiàng)要提出來等等.2.把握一些基本的的模型：考慮以下函數(shù)，①②，或者其中第一種函數(shù)是討論的基礎(chǔ)，我們需要討論該函數(shù)的一些主要性質(zhì)，例如取點(diǎn)等.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）至于后續(xù)如何產(chǎn)生，需從導(dǎo)函數(shù)角度入手考慮，其中：，，即它們的導(dǎo)函數(shù)均是可以因式分解的優(yōu)良結(jié)構(gòu)，這就意味著分別可能最多有兩個和三個極值點(diǎn)，性質(zhì)非常豐富！3.在上述函數(shù)結(jié)構(gòu)的討論中，我們需要注意與指數(shù)有關(guān)的不等式放縮，它是相關(guān)找點(diǎn)問題中的重要方法，主要有這些：等.4.在下面的例子中，我們將看到指數(shù)加多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)函數(shù)的一些典型應(yīng)用，它們或是討論單調(diào)性，恒成立，零點(diǎn)個數(shù)，或是討論由極值點(diǎn)構(gòu)成的雙變量問題.不管哪種，求導(dǎo)之后及時的對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行因式分解是關(guān)鍵步驟.同時要注意，在指數(shù)配多項(xiàng)式的恒成立問題中，“指數(shù)找基友”技巧也是極其重要的.5.先猜（看）根，再分解.很多題目中（特別是多項(xiàng)式），命題人往往都會給到一個看得出來的零點(diǎn)，此時我們就可以做這樣的因式分解，舉個例子：求的零點(diǎn).可以發(fā)現(xiàn)是方程的一個實(shí)數(shù)根,所以是多項(xiàng)式的一個因式,因此,設(shè)1),又通過展開整理,所以.對比系數(shù)可得：,解得.綜上所述,原式，故而求得的零點(diǎn).二．典例分析例1.已知函數(shù)（1）若時，求證：在上有唯一極值點(diǎn).（2）若，不等式恒成立，求的取值集合.解析：（1）由題意：，所以，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，故?dāng)時，，當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上有唯一極大值點(diǎn).（2）令，則當(dāng)恒成立.因?yàn)椋ㄖ陵P(guān)重要的一步）當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，滿足題意.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）當(dāng)或時，，故在上恒成立，故，滿足題意.當(dāng)時，令，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以在時恒成立，不滿足題意.故的取值集合為.例2.設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)存在小于零的極小值時，若，且，證明：．解析：（1）由，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù).在上為單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)時，令，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；故當(dāng)時，恒成立，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)時，或，，故在和上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時，或，，故在上為單調(diào)減函數(shù)，在和上為單調(diào)增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù).在上為單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)時，若，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，在和上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)；若，在上為單調(diào)減函數(shù)，在和上為單調(diào)增函數(shù).（2）略.例3.（2017年全國1卷）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.解析：（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，所以在單調(diào)遞減.若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）若，由（1）知，至多有一個零點(diǎn).若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時，由于，故只有一個零點(diǎn)；②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時，，即.又，故在有一個零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.例4．已知，函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時，：（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，證明：解析：（1）若，則，設(shè)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，，即，于是在上單調(diào)遞增，，即，所以當(dāng)時，.（2）函數(shù)，其定義域?yàn)?，，由?）知在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則由，解得或，其中且，即且，否則恒有，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，不符合題意.若，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此是的極小值點(diǎn)，，若，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此是的極小值點(diǎn)，，又，于是，綜上所述，函數(shù)存在極小值點(diǎn).例5．已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，試判斷在上極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）當(dāng)時，求證：對任意，．解析：（1）在上只有一個極值點(diǎn)，即唯一極小值點(diǎn)；（2）證明：由，設(shè)，則在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，因?yàn)椋?，所以存在，使得，?dāng)時，，則，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，即在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，則，又因?yàn)椋?，即證：對任意，，即證：對任意，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故，故對任意?（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）

2.單調(diào)性分析一.基本原理：恒成立問題的一般形式為：若函數(shù)的定義域?yàn)?，任意的，都有等價于即可，其他情形可類比得到.于是，解決恒成立問題的第一種方法就是值域方法，實(shí)質(zhì)就是找到函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值或最小值，在這個過程中我們需要借助導(dǎo)數(shù)來討論原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得值域.二．典例分析例1.（2012全國卷）設(shè)函數(shù).（1)若,求的單調(diào)區(qū)間;（2）當(dāng)時恒成立，求的取值范圍.解析：（1）時，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（2），由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故，從而當(dāng)，即時，，而，于是當(dāng)時，.由可得.從而當(dāng)時，，故當(dāng)時，，而，于是當(dāng)時，.綜合得的取值范圍為.例2.（2020全國1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.解析：方法1.（直接討論）因?yàn)榈葍r于，構(gòu)造函數(shù)，則，，且.所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，此時.（?。┤?，即，則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，，不等式恒成立；（ⅱ）若，即，則當(dāng)，.所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，不合題意.（ⅲ）若，則由，，可知存在，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，若，則恒成立，在內(nèi)單調(diào)遞增，，不等式恒成立；若，則存在，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，要使恒成立，只需要，此時，，消去，得，解法，由得，故，綜上，的取值范圍是.例3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．解析：（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).例4．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）由題知不等式在上恒成立，則原問題等價于不等式在上恒成立，記，，記，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，，所以，①當(dāng)時，因?yàn)?，所以不等式恒成立，所以；②?dāng)時，因?yàn)榇嬖?，使得，而，此時不滿足，所以無解.綜上所述，.三．習(xí)題演練1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知函數(shù)（1）若，且，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．解析：（1）時，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)?，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個解，所以即，先考慮時，恒成立.此時即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時.而當(dāng)時，而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．解析：（1）當(dāng)時，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.3．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的極小值為0，求a的值；（3）在（2）的條件下，若對任意的，成立，求實(shí)數(shù)k的最小值【詳解】（1）當(dāng)時，，則，故，又，故在點(diǎn)處的切線方程為（2），故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取極小值，故，故（3）由（2）知，故，故對任意的，成立，只需要對任意的，，記，則，①時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值也是最小值，故，不符合題意，②當(dāng)時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，符合題意，③當(dāng)時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，④當(dāng)時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，綜上可得，所以實(shí)數(shù)的最小值為.

3.對數(shù)“單身狗”，指數(shù)“找朋友”一．基本原理由于很多函數(shù)中都包含指數(shù)或?qū)?shù)項(xiàng)，在處理時我們有一個技巧：“指數(shù)找基友，對數(shù)單身狗”，其原理如下：，.以為底的指數(shù)函數(shù)具有求導(dǎo)不變性和恒正性，所以給它找“基友”求到后可不再考慮指數(shù)函數(shù)對正負(fù)號的影響，而對數(shù)則不具有這樣的性質(zhì)，反而越求導(dǎo)越麻煩，所以讓它單獨(dú)出現(xiàn)，同時對數(shù)的定義域決定了當(dāng)它單獨(dú)求到后的正負(fù)號易于判斷.二．典例分析例1.（2020全國1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.等價于，令，則.若，此時在上增，且，不合題意.若，故在上減，在增，故欲使得，故當(dāng)時，滿足題意.若，則，故，滿足題意.綜上所述，.例2.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若,求證：當(dāng)時,.解析：（1）依題意,的定義域?yàn)?當(dāng)時,在單調(diào)遞減;當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;綜上,當(dāng)時,在單調(diào)遞減;當(dāng)時,在單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增;當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;（2）當(dāng),要證明,即證明,∵只需證明,即,設(shè),則,設(shè),則當(dāng)時,;當(dāng)時,；∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;∴,當(dāng)時,;當(dāng)時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增∴當(dāng)時,.例3.已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn),求,并求的單調(diào)區(qū)間;（2）證明:當(dāng)時,.解析:（2）當(dāng)時,要證,只需設(shè),則，由，得，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，,所以是的最大值點(diǎn)，故當(dāng)時,,所以當(dāng)時,.

4.參數(shù)分離方法與“副產(chǎn)物”“副產(chǎn)物”1：二次求導(dǎo)例1．已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間與最值；（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（方法一：參數(shù)分離） 令，則，為了討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號，令，則，故故在上遞減，則需.綜上所述，.（方法2.帶參討論）（2）設(shè)當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，，，所以成立；當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，，即，所以；當(dāng)時，，當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以，令，，所以，成立．綜上，a的取值范圍為．“副產(chǎn)物”2：隱零點(diǎn)代換例2.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）有兩個零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個相異實(shí)根，由，知有兩個零點(diǎn)有兩個相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，有兩個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令

，，令，，則，在上單增，又，，使即①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在遞減，在遞增，由①知，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.“副產(chǎn)物”3：漸近線例3.若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.B. C. D.解析:由題意,函數(shù)的定義域?yàn)樵谏嫌袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根,所以在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,令,其大致圖象如圖所示,要使在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則,即,即,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是,.習(xí)題演練1．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，則，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得，可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以函數(shù)的最小值為.（2）由題意可知的定義域?yàn)?，且，?dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）當(dāng)時，不等式恒成立，即，整理可得，原題意等價于對任意恒成立，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，所以，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，因?yàn)?，則，即，且為整數(shù)，則，所以整數(shù)的最大值是4.2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時，若在時恒成立，求整數(shù)的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.（2），當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.（3）在時恒成立，即恒成立，令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，故，又，整數(shù)的最大值為5．3．已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】（1）若，則，，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，令，即，則有：當(dāng)，即時，則，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，則方程有兩個不相等的實(shí)根，，且，若，即，令，解得；，解得；則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；若，即，令，解得或；，解得；則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；若，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（3）因?yàn)?，整理可得，令，原題意等價于對任意恒成立，因?yàn)椋?，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

5.端點(diǎn)效應(yīng)與必要性探路一．真題分析.（2023年甲卷T21）已知.（1）當(dāng)時,討論的單調(diào)性；（2）若,求的取值范圍.解析：(1),.令,得。當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2) 由于，且注意到當(dāng)即時，使在成立，故此時單調(diào)遞減∴，不成立.另一方面：當(dāng)時,，下證它小于等于0.令綜上所述:.必要性探路是恒成立問題中一種重要的處理手法，由于恒成立問題的任意性，我們可以通過特?cái)?shù)值來縮小參數(shù)范圍.特別地，如果恒成立問題恰好在端點(diǎn)處取到最值，利用連續(xù)函數(shù)的保號性，可以進(jìn)一步得到端點(diǎn)效應(yīng)，下面詳細(xì)說明其原理.二．基本原理.端點(diǎn)效應(yīng)的原理：1.必要條件縮小范圍：①若在上恒成立，則在區(qū)間端點(diǎn)處也成立，即此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.②若在上恒成立，且則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況.③若在上恒成立，且，則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.2.充分性求結(jié)果：（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）求判斷的單調(diào)性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的參數(shù)的范圍.注：必要性探路（端點(diǎn)效應(yīng)）求出的參數(shù)范圍可能是所求范圍，可能比所求范圍要大，所以利用上面原理縮小完參數(shù)范圍后一定要反過來證明充分性是否成立！三．更多案例例2．（2022新高考2卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．解析：（2）必要性探路由題知，因?yàn)?，所以，解得，下面證明對且恒成立.只需證明對恒成立對恒成立（令，則）①對恒成立，設(shè)，則，所以，故①式成立，則的取值范圍為例3．（2022達(dá)州一診）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值．必要性分析：令，則.考慮在處的三階泰勒展開：，進(jìn)一步整理可得：考慮的臨域內(nèi)，的主要性態(tài)由其展開式的低次項(xiàng)決定，這樣的話，若時，則在時，，而在時，，這與恒成立矛盾，于是，下面進(jìn)行充分性證明.充分性證明：定義域?yàn)?，，令，則，若，由（1）知，則，在區(qū)間恒成立．若，因?yàn)?，，，，，則，所以即是增函數(shù)．當(dāng)時，，，所以．又因?yàn)?，所以存在正?shù)，使得.當(dāng)時，，是減函數(shù)，所以，不合題意．若，因?yàn)?，，，，．則，所以是增函數(shù)，當(dāng)時，，．又，所以存在正數(shù)，使得，當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以，不合題意．若，因?yàn)?，，，，，則，是增函數(shù)．因?yàn)椋援?dāng)時，，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的值為．例4.（2019成都三診）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；當(dāng)時，不等式恒成立，求的最小值.解:（1）當(dāng)時，.令，則當(dāng)時，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時，不等式成立，即.即證，令則∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時，.即當(dāng)時，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．解析：（1）因?yàn)椋?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，且，?gòu)造函數(shù)，則，令，得，∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．∴，∴，∴當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴在上單調(diào)遞增．（2）∵，，等價于，令，，構(gòu)造函數(shù)，∴，，．令，，，注意到．當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意．當(dāng)時，令，，，∴單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，則，，單調(diào)遞增，．∴，單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述．

6.不等式放縮一．基本原理首先來梳理常見的不等式及其構(gòu)造原理.1.切線不等式：高中幾個重要的函數(shù)都具有凸凹性，這樣我們便可通過切線來構(gòu)造不等式，具體的原理請見《高觀點(diǎn)：函數(shù)凸凹性》，這里只列舉一些重要的切線不等式：；1.2；將這兩個切線不等式進(jìn)行合適的取值與加減項(xiàng)，又可得到更多的不等式：①②；③；2.高次不等式放縮2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放縮3.13.24.數(shù)列不等式?。簞t：取：則：二．典例分析例1.證明：當(dāng)時，.解析：一方面，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號.另一方面：不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號.于是可知，為函數(shù)和的公切線，且切點(diǎn)不同.于是，證畢.注：此題實(shí)質(zhì)和下面這道2013年高考試題同源.練習(xí)1.（2013新課標(biāo)2）已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求,并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明．例2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時，判斷的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由.（2）證明：，.解析：本題僅就第二問的命題手法做一解析將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，可知，利用導(dǎo)數(shù)可證得，由此可得到，令，只需證明當(dāng)時，即可.練習(xí)2.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，.此處僅從不等式放縮角度給出第二問的原理.一方面，由于，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，另一方面，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).將上述兩式相乘可得：因此，只需證明：成立即可.這個不等式易證，此處不再贅述.在不等式試題中，還經(jīng)?？疾炫c對數(shù)有關(guān)的數(shù)列不等式，下面我們通過一個例子，展示其基本手法.例3．（2017新課標(biāo)3卷）已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．解：（1）的定義域?yàn)椋偃?，因?yàn)?，所以不滿足題意；②若，由知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是在的唯一最小值點(diǎn)．由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，．故．（2）由（1）知當(dāng)時，令得，從而故，而，所以的最小值為3．三．習(xí)題演練習(xí)題1.（成都市2018屆二診）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：.解析：（1）由，得恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即，故的取值范圍是；（2）有（1）知時，有，所以.＝1\*GB3①要證，可證，只需證，易證，所以；＝2\*GB3②要證，可證，易證.由于，所以，所以，綜上所述，當(dāng)時，證明：.習(xí)題2.（安慶市2018屆聯(lián)考）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，都有.解析：（1），令，則，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）要證明，即證，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以.要證，只需再證即可.易證，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（證明略），所以，綜上所述，當(dāng)時，都有.習(xí)題3.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時,討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時,,求a的取值范圍；（3）設(shè),證明：．解析：（1）略.（2）設(shè),則,又,設(shè),則,若,則,故存在,使得,總有,故在為增函數(shù),故時,故在為增函數(shù),故時,與題設(shè)矛盾.若,則,設(shè),故,故在上為減函數(shù),故,即時成立.所以,故總成立,即在上為減函數(shù),所以.當(dāng)時,,所以,所以在上為減函數(shù),所以.綜上,a的取值范圍是.（3）取,則,總有成立,令,則,故即對任意的恒成立.所以對任意的,有,整理得,故,故不等式成立.

7.同構(gòu)變換與恒成立問題一．基本原理若能夠變形成，然后利用的單調(diào)性，如遞增，轉(zhuǎn)化為，即為同構(gòu)變換.例如：1.直接變形：（1）積型：（同左）；（同右）；（取對數(shù)）.說明：取對數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形：若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：=1\*GB3①；（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）=2\*GB3②；=3\*GB3③④⑤二．典例分析例1.（2022全國甲卷）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個零點(diǎn)，證明：.解析：（1），令，則，于是.于是等價于在上恒成立，故.例2.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時，因?yàn)椋瑒t，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：，設(shè)，其中，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，，且等號不同時成立，則恒成立，當(dāng)時，，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以，存在使得，?dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可知，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，此時，不合乎題意；②當(dāng)時，，且當(dāng)時，，此時函數(shù)的值域?yàn)?，?（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，恒成立，合乎題意；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，取，結(jié)合圖象可知，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例3.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．解析：由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．例4．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）由題知不等式在上恒成立，原問題等價于不等式在上恒成立，即在上恒成立.記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)榧?，①?dāng)時，因?yàn)椋圆坏仁胶愠闪?，所以；②?dāng)時，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解.綜上所述，.習(xí)題演練1對任意，若不等式恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由，得，即，所以.令，設(shè)，則當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故故，則，即.記，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故，由，得，即，當(dāng)時，上式取等號，所以.綜上，的取值范圍為故選：D.2已知函數(shù)，若在其定義域上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是.【解析】因?yàn)樵谏线B續(xù)，又，所以要使無零點(diǎn)，需使在其定義域上恒成立．于是原問題轉(zhuǎn)化為，求的取值范圍．，，，，，令，所以在上單調(diào)遞增，又由式得，所以，即恒成立．令，令得．因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，，所以，即．綜上所述，的取值范圍為．故答案為：.3.若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，可化為，令，則，所以在上單調(diào)遞減．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因此當(dāng)時，．所以，即．則不等式可化為，所以在上恒成立，因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．4．已知函數(shù)，（）.（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意恒成立，求整數(shù)a的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，所以切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以時，，即；時，，即，綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）因?yàn)閷θ我夂愠?，即，，即，即，設(shè)，則，易知單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，則原不等式等價于，即對任意恒成立，所以，令，則，又因?yàn)椋?，則，所以單調(diào)遞減;又因?yàn)椋?，所以，所以時，，即，單調(diào)遞增；時，，即，單調(diào)遞減；所以，所以，而，所以整數(shù)的最小值為.5．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)極值；（2）討論在區(qū)間上單調(diào)性；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，，求導(dǎo)得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，無極小值.（2）由，在時，，若，,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；若，令，令，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由，，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；.8.導(dǎo)數(shù)恒成立與數(shù)列不等式1.由不等式可得：.例1.（2017全國3卷）已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．解析：（2）由（1）知當(dāng)時，，令得，從而.故,而，所以的最小值為3．例2．已知函數(shù)，其中且．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：；（3）求證：對任意的且，都有：…．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時，，要證明，即證，即，設(shè)，則，令得，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以，即，故.（3）由（2）可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），令，，則，故…………，即…，故….2.利用前n項(xiàng)和的性質(zhì)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)不等式將看作為新數(shù)列的前項(xiàng)和，求出對應(yīng)的項(xiàng)，則不等式即可看成是的形式，可以通過證明項(xiàng)的大小關(guān)系（即）來得到和的大小關(guān)系例3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．解析：（3）設(shè)，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時，，要想證明，即證明，即證明，即證明令，，構(gòu)造函數(shù)，在上恒成立，，在恒成立，恒成立，時，①，時，②，時，③，時，，，把所有不等式都相加，成立.所以原不等式3.利用常見導(dǎo)數(shù)不等式放縮構(gòu)造例如：由不等式可得：，這類問題多與對數(shù)不等式有關(guān)，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)現(xiàn)有效的裂項(xiàng)和放縮.例4．已知函數(shù)，．（1）若是函數(shù)唯一的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．解析：（1），且，令，則，①當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，即可證得是函數(shù)唯一的極小值點(diǎn)；②當(dāng)時，，所以存在使得，在單調(diào)遞減，即當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，與是函數(shù)唯一的極小值矛盾，綜上：，從而實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）證明可知，當(dāng)且時，即，，當(dāng)時，，即，故可得：，令，，兩式相減可得：，化簡可得：.故.例5．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，證明：.解析：（1）解：令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，所以，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，取，由于，而，得，故，不合乎題意.綜上所述，.（2）證明：當(dāng)時，由（1）可得，則，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，，，所以，習(xí)題演練1．已知函數(shù)，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）證明：對，恒成立（為的導(dǎo)數(shù)）；（3）設(shè)，證明：（）.【詳解】（1），可得，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）令，，則，，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即恒成立．（3）設(shè)，證明．令，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而，．由于，所以．由（2）知，（），所以．設(shè)，①，則，②，①－②得，所以．2．若存在實(shí)數(shù)，對任意，使得函數(shù)，則稱在上被控制.（1）已知函數(shù)在上被控制，求的取值范圍.（2）（i）證明：函數(shù)在上被1控制.（ii）設(shè)，證明：.【詳解】（1）令，，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以恒成?當(dāng)時，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）（i）要證明函數(shù)在上被1控制，只需證明，即證.令，可得.當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，原命題得證.（ii）由（i）可知，當(dāng)時，，則，即，則有，即，故.9.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的“凸凹反轉(zhuǎn)”技巧與應(yīng)用凌晨講數(shù)學(xué)一．基本原理1.凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.如下圖，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來完成證明.由上圖可知，我們可以在之間引入“隔離”函數(shù)來完成證明，即已知兩個函數(shù)，為這兩個函數(shù)公共定義域的一個連續(xù)的非空子集，如果對于任意的，都有，那么函數(shù)就叫做在集合上的一個“隔離函數(shù)”.如圖，隔離函數(shù)最簡單的方式就是公切線.3.如何辨識凸凹反轉(zhuǎn)，這就需要我們了解一些常見函數(shù)的凸凹性，下表給出了相關(guān)總結(jié)[1]：總之，可以看到，具有凸凹性的函數(shù)就是我們熟悉的導(dǎo)數(shù)“六金花”及其衍生，說一千道一萬，還是得對下面的函數(shù)圖像多加了解.4.凸凹反轉(zhuǎn)也是命制一些零點(diǎn)問題的一種視角，若方程有唯一根，且可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，而為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)，這樣唯一的零點(diǎn)就會出現(xiàn)在一個函數(shù)的最低點(diǎn)和另一個函數(shù)的最高點(diǎn)！二．典例分析★應(yīng)用1.直接凸凹反轉(zhuǎn)解決恒成立例1．（24年南充市高二下期末考試）函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降．但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，即函數(shù)的凹凸性．函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來描述定義如下：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是凹的（圖1），區(qū)間為凹的區(qū)間；設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是凸的（圖2）．區(qū)間為凸的區(qū)間；關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么①如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凹的；如果在區(qū)間上的圖象是凹的，則在上恒有；②如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凸的；如果在區(qū)間上的圖象是凸的，則在上恒有其中是的導(dǎo)函數(shù)，為的一階導(dǎo)數(shù)：是的導(dǎo)函數(shù)，為的二階導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上內(nèi)容，完成如下問題：（1）求函數(shù)的凹的區(qū)間和凸的區(qū)間；（2）若在區(qū)間上圖象是凹的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）解析：（1），令，解得或；令，解得.因此，函數(shù)的凹的區(qū)間是和，凸的區(qū)間是.（2），在區(qū)間上圖象是凹的，，即.所以，即.令，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），構(gòu)造函數(shù)，令，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.構(gòu)造函數(shù)，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.綜上，.例2.（2013全國卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為．（1）求；（2）證明：．解析：（2），從而等價于．設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，；如下圖所示.當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為（1）；因?yàn)椋?），所以當(dāng)時，，即．例3．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.解析：（1）當(dāng)時，等價于.令函數(shù)，則.若，則單調(diào)遞減，，不符合題意.若，則，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時，單調(diào)遞減，，不符合題意.若，則單調(diào)遞增，，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）由（1）知:當(dāng)時,.要證，只需證，即證.令函數(shù)，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故，即.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故，因?yàn)?，所以，即，從?★應(yīng)用2.構(gòu)造公切線（隔離函數(shù)）完成凸凹反轉(zhuǎn)例4．（2023屆溫州一模）已知，函數(shù)的最小值為2，其中，．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）（2），有，求的最大值．解析：（1）由題意知，，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故.（2）凸凹性與切線分析不等式可化為，因此可看做過點(diǎn)的直線夾在兩支曲線中間.當(dāng)直線與相切時，令切點(diǎn)為，則，因此為方程的根，即，所以.當(dāng)直線與相切時，令切點(diǎn)為，則，因此為方程的根.只需，即，當(dāng)直線為兩支曲線的公切線時取到最大值.習(xí)題演練1．已知函數(shù)，．（1）若和在同一點(diǎn)處有相同的極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）對于一切，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，求證：．【詳解】（1）因?yàn)椋叶x域?yàn)?，?dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以函數(shù)有極小值為，無極大值，又和在同一點(diǎn)處有相同的極值，所以，即.（2）若使對于一切，不等式恒成立，則只需使得不等式恒成立，即只需，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.（3）若證，則只需證明，即證，設(shè)，則，故當(dāng)時，；時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故①；設(shè)，則，故當(dāng)時，；時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故②，所以由①②，，又由于與不在同一個變量時取得最值，所以，綜上所述，即.參考文獻(xiàn)：[1].張揚(yáng)，段小龍.再探“隔離函數(shù)”問題的探究.[J].數(shù)學(xué)通訊.2022.02

10.雙變量恒成立問題與應(yīng)用1基本原理.第1類.“任意=存在”型，使得,等價于函數(shù)在上上的值域是函數(shù)在上的值域的子集,即.其等價轉(zhuǎn)化的基本思想:函數(shù)的任意一個函數(shù)值都與函數(shù)的某一個函數(shù)值相等,即的函數(shù)值都在的值域之中.此類型出現(xiàn)頻率最高.第2類.“存在=存在”型，使得，等價于函數(shù)在上的值域與函數(shù)在上的值域的交集不為空集,即.其等價轉(zhuǎn)化的基本思想:兩個函數(shù)有相等的函數(shù)值,即它們的值域有公共部分.第3類.“任意≥(≤、>、<)任意”型，使得恒成立等價于.其等價轉(zhuǎn)化的基本思想是函數(shù)的任何一個函數(shù)值均大于函數(shù)的任何一個函數(shù)值.同理，可得其他類型.第4類.型.由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最值，故此類轉(zhuǎn)化為，解決掉雙變量轉(zhuǎn)化為求最值.上述四類就是常見的需要利用分析函數(shù)值域來去掉雙變量的情形，所以，其實(shí)質(zhì)就是計(jì)算函數(shù)的值域，下面將選取具體的實(shí)例來分析操作步驟.2.典例分析第1類問題問題應(yīng)用.例1.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）時，設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（2）定義域?yàn)?，，?dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時恒成立，時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，易求.又且，在上單調(diào)遞增，故值域.所以，解得，即.第2類問題應(yīng)用例2．已知曲線與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，且.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的極值；（3）設(shè)，若存在實(shí)數(shù)，，，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）曲線與軸交于點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，可得切線方程為，（1），，解得．，即．（2）函數(shù)，，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．是函數(shù)的極大值點(diǎn)，．（3）設(shè)，，，則，，．，．若存在實(shí)數(shù)，，，，使成立，等價于：成立，，．即，，．令，，，則，．，，，，（1）．，的取值范圍是，，．第3類情形應(yīng)用實(shí)例（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）例3．設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：(1)令，所以，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以對任意，有，又已知存在，使，所以即存在，使，即，又因?yàn)楫?dāng)，，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍.第4類情形應(yīng)用實(shí)例例4.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)，時，對任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）定義域?yàn)?，?dāng)時，；當(dāng)時，，為增函數(shù)，取，，所以，故此時恰有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，令，，時，，所以在單調(diào)遞減，時，，所以在單調(diào)遞增；要使函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，需要，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.（2）因?yàn)閷θ我?，有成立，且，所?因?yàn)椋?，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)榕c，所以令則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，從而所以，即.令，則.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，即，解得，所以b的取值范圍是.習(xí)題演練1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為.若存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)，其中對任意都有，使得，則稱函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì).（參考數(shù)值：）（1）設(shè)函數(shù)，其中b為實(shí)數(shù).①證明：函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì)；②若，對任意，都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）已知函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì)，給定，，對于兩個大于1的實(shí)數(shù)，，且，，使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）①，當(dāng)時，恒有，根據(jù)定義得函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì).②，令得，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則不成立；當(dāng)時，，設(shè)，其對稱軸大于1，，若，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則恒成立，符合題意；若，即，則在上存在唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則只需滿足，于是，從而得，所以.（2）由函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì)，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即，同理：，由函數(shù)單調(diào)性知：，，從而不等式恒成立；當(dāng)時，，，即，由函數(shù)單調(diào)性知：，得，與題設(shè)不符；當(dāng)時，同理得，由函數(shù)單調(diào)性知：，得，與題設(shè)不符；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”（1）若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.【詳解】（1）函數(shù)是上的“4類函數(shù)”，理由如下：不妨設(shè)，所以，，所以是上的“4類函數(shù)”；（2），，由題意知，對于任意不同的都有，不妨設(shè)，則，故且，所以為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，所以對任意的，即，由，令，則，，令得在上單調(diào)遞增，，由，令，只需，，令得在單調(diào)遞增，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（3）證明：因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，所以，不妨設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，因?yàn)?，所以，綜上所述，，，.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）11.恒成立問題中的主元方法高中階段很多函數(shù)問題都是含參數(shù)的，對于含參數(shù)的函數(shù)，可以將其簡記為，若將參數(shù)也視為自變量的話，那么就是一個二元函數(shù)，那么我們就可以用偏導(dǎo)數(shù)的思想來研究該函數(shù)，這就產(chǎn)生了一個重要的方法：主元法.近年來，在高考試題中，主元法思想考察的相當(dāng)頻繁，例如2019年浙江卷導(dǎo)數(shù)壓軸題和2020年天津卷導(dǎo)數(shù)壓軸題等，在這些問題中，使用主元法往往會起到意想不到的好處，從而使得整個問題得到圓滿的解決.基于此，本文就通過幾個典例來展示主元法的基本應(yīng)用手法.類型1.主元法解決單變量恒成立例2.（2019年浙江卷）.已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意均有求的取值范圍.解析：(1)當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，且：，因此函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由，得，當(dāng)時，，等價于，令，則，設(shè)，，則，（i）當(dāng)時，，則可得：故，滿足題意.（ii）當(dāng)時，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，由（i）得，，由（i）（ii）知對任意，即對任意，均有，綜上所述，所求的的取值范圍是．注：欲證不等式，此題以為主元構(gòu)造二次函數(shù)討論易行，若以為主元此題函數(shù)過于復(fù)雜，很難通過求導(dǎo)找到單調(diào)性與最值.例2.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.解：（1），其定義域?yàn)?，，?dāng)時，或，①當(dāng)，即時，時，；，時；時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，時，；所以在單調(diào)遞增；③當(dāng)，時，時，；時，；時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；④當(dāng)，即時，時，；時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，欲證，即證.設(shè)，則，因?yàn)?，且，所以，所以在?nèi)單調(diào)遞增，故，原不等式成立.例3.（2023成都一診理數(shù)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若曲線在處的切線方程為，證明：；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）略（2）（必要性探路與主元變換）令，則，下證，證明恒成立.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）令，則，下面討論的正負(fù)號.令，則易得：，故遞減，且滿足.同理，令，，故，故，因此，于是在小于零，即遞減，則，由（1）可得：，即恒成立，證畢.例4．若對于任意的及任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)閷τ谌我獾募叭我獾?，不等式恒成立，則對任意的恒成立，所以，則對任意的恒成立，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，時，不等式左邊，，所以不成立；當(dāng)時，，令，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有最大值，所以，所以，綜上，.故選：A.例5.已知正實(shí)數(shù)，設(shè).（1）若，求函數(shù)在上的值域；（2），均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（2）由題意可得：，即.事實(shí)上,當(dāng)時 記,設(shè),則為關(guān)于的二次函數(shù),定義域?yàn)?其對稱軸為.∵∴，設(shè) 當(dāng)遞增;當(dāng),遞減,所以,即,于是有:.所以：.類型2.主元法解決單變量恒成立有關(guān)函數(shù)凸凹性（詹森不等式）背景的雙變量問題也經(jīng)常使用主元方法!下面我們通過例子說明.例6.（2020天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時，求證：對任意的，且，都有.此處僅就第二問進(jìn)行如下證明：解析：由于，故，另一方面，因此，要證只需證明即證.令,將上述不等式進(jìn)行代換，可得以為變量，為參數(shù)的函數(shù).進(jìn)而可得：，由于，由于，故.由（1）可得：證畢.注：此題在傳統(tǒng)的雙變量問題思路的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步需要結(jié)合主元思想才能將多參數(shù)問題解決.例7．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)時，對任意的，且，試比較與的大?。馕觯海?）當(dāng)時，，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為．（2）對都有且，而，則，所以，此時，故，則，在上，即單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，滿足題意，綜上，．（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）（3）不妨設(shè)，令，所以，則，又，，，且，當(dāng)，，而，，所以，故，在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，故，所以，即．例8.已知函數(shù)，若，試比較與的大?。馕觯翰环猎O(shè)，，，令(a)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，當(dāng)時，(a)，由，故，則．例9.設(shè)函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，證明：．解析：（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時，，時，因此：的極小值為（2）構(gòu)造函數(shù)，，，，，在上是單調(diào)遞增的；故(b)(a)，即：另一方面，構(gòu)造函數(shù)，，在上是單調(diào)遞減的，故(b)(a)即：綜上，．例10．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，對任意的買數(shù)，證明：.解析：（1）①當(dāng)時，，此時，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，可以判斷在是單調(diào)遞減的注意到：,,則必存在使得，即,且當(dāng)時，，于是，此時在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，于是，此時在單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，對于給定的，令則,因此在是遞增的，于是，，即：

12.泰勒展開式及其在恒成立問題中的應(yīng)用本講主要研究以泰勒展開式為背景的導(dǎo)數(shù)命題模式.泰勒展開式應(yīng)該是高中導(dǎo)數(shù)命題中最常用的高等背景，以其為背景的一階導(dǎo)數(shù)（切線）放縮，二階放縮等活躍于高考試題和各地?？荚囶}中.本節(jié)，我們將通過一些典型例題來展示其中的泰勒身影，探析其中常見的命題手法.一．基本命題原理泰勒展開式（泰勒級數(shù)）：多項(xiàng)式：公式：泰勒公式時的麥克勞林公式：幾個重要的不等式（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)整理，更多免費(fèi)資料，請前往公眾號下載）由泰勒公式，我們可以得到幾個重要的不等式：3.1；3.2；3.3.二．命題手法展示1.一階導(dǎo)數(shù)放縮例1.（2013新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求,并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明．命題手法分析：第二問考察泰勒一階展開式：，所以可得：，這就是第二問的命題背景.解析：（2）當(dāng)，時，，故只需證明當(dāng)時，．當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增．又，故在有唯一實(shí)根，且．當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而當(dāng)時，取得最小值．由得，故綜上，當(dāng)時，．2.二階導(dǎo)數(shù)放縮下面我們來看看用二階泰勒展開來命制2020全國1卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的過程.例2.（2020全國1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.命題手法分析：第二問需證明，所證不等式是與三次多項(xiàng)式，我們可以由來構(gòu)造，再通過積分包裝難度.顯然，，若用其作為導(dǎo)函數(shù)的一部分，我們可以用一個變號零點(diǎn)來做極值點(diǎn)（最值點(diǎn)），處理變號零點(diǎn)最簡單的方式就是一次函數(shù)，于是：可選取這個式子使得是一個極大值點(diǎn)（最大值點(diǎn)）.但是，這樣的構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)其原函數(shù)過于簡單，不能滿足壓軸題的難度，那就增加一個分母：比如：，這樣我們再將積分整理可得：由導(dǎo)數(shù)可知在處由最大值，故可得恒成立，轉(zhuǎn)化即可得到這道高考試題：當(dāng)時，，求的取值范圍.而有上述分析可知，在處取得最大值，故，此題的結(jié)果就出來了.以上便是命題背景.解析：①當(dāng)時，不等式恒成立，可得；②當(dāng)時，恒成立，，，設(shè)，可得，，由，可得恒成立，可得在遞增，∴，∴恒成立，即在遞增，∴，再令，可得，當(dāng)時，，在遞增；當(dāng)時，，在遞減，∴，即，的取值范圍是.下面一個高考試題也考察了二階泰勒展開練習(xí)1.（2010全國卷）設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時恒成立，求的取值范圍．3.泰勒展開式相加命題例3.（2021八省新高考適應(yīng)考試）已知函數(shù)，.（1）略；（2）若，求.命題手法分析：由泰勒展開：將上述三個式子相加，甩掉二次以上的項(xiàng)，就可以得到不等關(guān)系：因此，此題的背景就出來了，結(jié)果就是.解析：（2）因?yàn)?，所以，即．不妨設(shè)，原條件即．可得．因?yàn)榍?，所以時，取得最小值，由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故.所以，解得，下面來檢驗(yàn)當(dāng)時，是函數(shù)的最小值點(diǎn)，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，此時，，合乎題意.綜上所述，.4.泰勒公式變形處理下面我們嘗試對對數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行變形處理：將代入上式，可得：，這就是下面這道高考試題的命題背景.例4.（2015北京）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時，；（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求的最大值．由上述結(jié)論易得結(jié)論，此處不再贅述.下面我們再看幾個泰勒展開的應(yīng)用實(shí)例.例5.證明:證明：設(shè)則在處有帶有拉格朗日余項(xiàng)三階泰勒公式.證畢.例6.證明不等式：≤≥0.解析：不等式左邊是三次二項(xiàng)式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關(guān)系。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進(jìn)行比較判斷兩者的大小關(guān)系.由于,,,,,,,當(dāng)時，的泰勒展式為：≥0(≥0,≤,0＜＜1)所以≥0,，有≤.注：這個不等式實(shí)際上就是正弦函數(shù)泰勒展開甩掉高階項(xiàng)得到的.下來給出兩個關(guān)于對數(shù)的不等式，并用它們來分析一道2017年高考真題.例7.（1）；（2）合起來可得：.上述不等式易證，讀者不妨自行嘗試.例8.已知求證：解析：所以例9.（2017全國3卷）求證：解析：要證明原不等式，只需證明如下不等式成立.即構(gòu)造函數(shù)，可得.則有.故有例10.（2021山東模擬）已知函數(shù).（1）證明：時，；（2）設(shè)，若對任意實(shí)數(shù)，都有，求的值.解析：（2）記，注意到時，.由于恒成立，故即為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.下面我們將與進(jìn)行泰勒展開：，，代入的表達(dá)式，于是可得：，故在處的泰勒展開：.可以看到，若，則存在實(shí)數(shù)使得在的鄰域滿足，這與為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）矛盾，故得到.下面看一下標(biāo)答.解：（2），，，，．（?。┊?dāng)時，．當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，∴恒成立，符合題意．當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，∴恒成立，符合題意．（ⅱ）當(dāng)時，若，則，．∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，∴，使．?dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴．?dāng)時，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋喈?dāng)時，這與矛盾．（ⅲ）當(dāng)時，，令得：，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，∴，這與矛盾．（ⅳ）當(dāng)時，若，則，，∴在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，∴，使．?dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，∴，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，∴，這與矛盾．綜上，.20.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題研究一．基本原理1.將看作為新數(shù)列的前項(xiàng)和，求出對應(yīng)的項(xiàng)，則不等式即可看成是的形式，可以通過證明項(xiàng)的大小關(guān)系（即）來得到和的大小關(guān)系2.由函數(shù)不等式生成數(shù)列不等式（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.設(shè)，則，即，進(jìn)一步可得.對從到進(jìn)行累加，有，即 （2）若，則.因?yàn)?，?dāng)時，，對從1到求和即得該不等式.（3）令，則.由，令，可得，進(jìn)而.通過累加可得（4）設(shè)，則.因?yàn)?，令，則對k從1到求和可得3.迭代放縮（1）.如果，那么，這樣的話，經(jīng)過了迭代，我們就能得到一個通項(xiàng)的估計(jì).所以，使用迭代放縮的關(guān)鍵是找到相鄰兩項(xiàng)之間的一個不等關(guān)系，而這也是這類題目的難點(diǎn)，題干可能往往需要通過函數(shù)關(guān)系來生成迭代.（2）.在下面的例1與例2中，我們看到了這樣的一個放縮模式：考慮函數(shù)，通過選擇合適的系數(shù)，做到如下遞推關(guān)系：①，并且讓或者讓取到一個明顯的下界.（凌晨講數(shù)學(xué)）然后為了