第一章第1講集合及其運(yùn)算集合與常用邏輯用語、不等式鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A必一P9習(xí)題T1改)若集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列結(jié)論錯誤的是 (

)A．1∈A B．{－1}?AC．??A D．{－1,1}?AD2．(多選)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，則下列判斷正確的是 (

)A．A∪B＝B B．(?RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(?RB)∪(?RA)＝R【解析】因?yàn)閤2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因?yàn)?＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(?RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(?RB)∪(?RA)＝{x|x≤1或x＞2}．BC3．(人A必一P35復(fù)習(xí)參考題T9改)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a＝_____．【解析】因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A．當(dāng)a＋2＝3，即

a＝1時，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當(dāng)a＋2＝a2時，a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)a＝－1時，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；a＝2時，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a＝2．24．(人A必一P9習(xí)題T5改)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____________．【解析】由B?A，利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知a≥2．[2，＋∞)1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：__________、__________、__________．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見集合的符號表示確定性互異性無序性數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號NN*或N＋ZQRC2．集合間的基本關(guān)系關(guān)系定義記法相等集合A與B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素A

B注意：若集合A中含有n(n≥1)個元素，則集合A有_______個子集，__________個真子集．2n2n－13．集合的基本運(yùn)算

集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的補(bǔ)集?UA圖形表示

意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}4．常見結(jié)論與等價關(guān)系(1)A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A．(2)(?UA)∪A＝______；?U(?UA)＝______．(3)摩根定律：?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．UA研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1集合中元素的性質(zhì)

(1)若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且僅有一個元素，則滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值集合是______________．1【解析】若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且僅有一個元素，則方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一個實(shí)數(shù)根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．{1，－1}【解析】1C集合中元素的最重要的性質(zhì)是互異性，一方面利用互異性能順利找到解題的切入點(diǎn)；另一方面當(dāng)解答完畢時，檢驗(yàn)集合中元素是否滿足互異性可確保答案正確．變式1

(1)(2025·沈陽期初聯(lián)考)設(shè)集合A＝{2,3,4,5}，B＝{1，a＋2,2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x＜6}，則實(shí)數(shù)a＝_____．【解析】2(2)已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且僅有一個元素，則實(shí)數(shù)a＝_________．【解析】目標(biāo)2集合間的關(guān)系

(1)(2024·濰坊、濱州一模)已知集合A＝{x|log3(2x＋1)＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R．若A∪B＝B，則a＝ (

)A．1 B．2C．3 D．42【解析】由log3(2x＋1)＝2，得2x＋1＝32，解得x＝4，所以A＝{x|log3(2x＋1)＝2}＝{4}．又B＝{2，a}，A∪B＝B，故A?B，所以a＝4．D

(2)(2024·濟(jì)寧一模)設(shè)集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．【解析】2[3，＋∞)【解析】2A．M?N B．N?MC．M＝N D．M∩N＝?A判斷集合間關(guān)系的三種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系變式2

(1)(2024·揭陽二模)(多選)若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是 (

)A．M＝{0,2,4,6}，N＝{4}B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞－1}C．M＝{x|y＝lgx}，N＝{y|y＝ex＋5}D．M＝{(x，y)|x2＝y(tǒng)2}，N＝{(x，y)|y＝x}【解析】ACD(2)已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A【解析】目標(biāo)3集合間的運(yùn)算【解析】3－1D

(2)(2024·河南濟(jì)、洛、平、許三模)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|log2(x2－4x＋5)＜1}，則A∪B＝ (

)A．{x|1＜x＜2} B．{x|2＜x＜3}C．{x|－2＜x＜1} D．{x|－2＜x＜3}【解析】3－1D(1)集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．變式3－1

(2024·景德鎮(zhèn)三檢)已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,5,7}，則{1,6,8}是 (

)A．A∪(?UB) B．?U(A∩B)C．(?UA)∪(?UB) D．(?UA)∩(?UB)【解析】因?yàn)閁＝{x∈N*|x≤8}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以畫出Venn圖如圖所示．由圖可知{1,6,8}＝?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．D視角2利用集合運(yùn)算求參數(shù)

(2024·阜陽一測)設(shè)集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (

)A．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) B．(－3，－1)C．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) D．[－3，－1]3－2【解析】B變式3－2

(2024·合肥一檢)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________________．【解析】由x2≤4，解得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}．因?yàn)锳∩B＝?，所以a＋1＜－2或a－1＞2，解得a＜－3或a＞3，所以a的取值范圍是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(－∞，－3)∪(3，＋∞)目標(biāo)4集合新定義問題

(2024·懷化二模)給定整數(shù)n≥3，有n個實(shí)數(shù)元素的集合S，定義其相伴數(shù)集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，那么稱集合S為一個n元規(guī)范數(shù)集(注：min(X)表示數(shù)集X中的最小數(shù))．對于集合M＝{－0.1，－1.1,2,2.5}，N＝{－1.5，－0.5,0.5,1.5}，則 (

)A．M是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集B．M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集C．M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集D．M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集4C【解析】A．?dāng)?shù)域必含有0,1兩個數(shù)B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M一定是數(shù)域D．?dāng)?shù)域中有無限多個元素【解析】【答案】AD1．(2023·全國甲卷文)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，則N∪(?UM)＝ (

)A．{2,3,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}【解析】因?yàn)槿疷＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以?UM＝{2,3,5}．又N＝{2,5}，所以N∪(?UM)＝{2,3,5}．A2．(2021·全國乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝ (

)A．? B．SC．T D．Z【解析】任取t∈T，則t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T?S．因此，S∩T＝T．C3．(2024·聊城一模)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x－a＜0}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【解析】由|x|≤2，可得－2≤x≤2，故A＝{x|－2≤x≤2}．由x－a＜0，可得x＜a，故B＝{x|x＜a}．由A?B，得a＞2．C4．(2024·河南濟(jì)、洛、平、許四模)定義集合運(yùn)算：A?B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0,2}，B＝{－1,1}，則集合A?B中的所有元素之和為_____．【解析】

A＝{0,2}，B＝{－1,1}，當(dāng)x＝0，y＝±1時，z＝0；當(dāng)x＝2，y＝－1時，z＝－2；當(dāng)x＝2，y＝1時，z＝6，所以A?B＝{0，－2,6}，所以集合A?B中的所有元素之和為0＋(－2)＋6＝4．45．某班有38名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知有27人參加數(shù)學(xué)小組，有16人參加物理小組，有14人參加化學(xué)小組，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有7人，同時參加物理和化學(xué)小組的有5人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_____人．【解析】設(shè)同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人．因?yàn)橛?6人參加物理小組，所以只參加物理一科的有16－7－5＝4(人)．因?yàn)橛?7人參加數(shù)學(xué)小組，所以只參加數(shù)學(xué)一科的有27－7－x＝(20－x)人．因?yàn)橛?4人參加化學(xué)小組，所以只參加化學(xué)一科的有14－5－x＝(9－x)人．畫出Venn圖如圖所示，因?yàn)榭倕⒓尤藬?shù)為38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有7人．【答案】7配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，則A∩B＝ (

)A．{－1,0} B．{2,3}C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}【解析】A2．(2023·全國乙卷文)設(shè)全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，則M∪?UN＝ (

)A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8} D．U【解析】由題得?UN＝{2,4,8}，所以M∪?UN＝{0,2,4,6,8}．A3．(2024·南京、鹽城一模)已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為 (

)A．A∩?UB B．A∪?UBC．B∩?UA D．B∪?UA【解析】

觀察Venn圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為A∩?UB．A4．(2024·連云港、如皋聯(lián)考)已知全集U＝R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是 (

)A．A＝B B．B?AC．A∩(?UB)＝? D．(?UA)∩B＝?【解析】因?yàn)榧螦，B滿足A?(A∩B)，所以A?B．對于A，B，D，當(dāng)A為B的真子集時，不成立；對于C，A∩?UB＝?，恒成立．C5．(2024·揚(yáng)州期末)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，則A∩B中元素的個數(shù)為 (

)A．0 B．1C．2 D．3【解析】B6．(2024·臨汾三模)已知集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|1＜x≤2}，且A∪?RB＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)【解析】因?yàn)锽＝{x|1＜x≤2}，所以?RB＝{x|x≤1或x＞2}，如圖．又A∪?RB＝R，所以a≤1．A7．(2024·威海二模)在研究集合時，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數(shù)．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{x|x＞m}，若card(M∩N)＝2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (

)A．[2,3) B．[2,3]C．(2,3) D．(2，＋∞)【解析】由題知M∩N＝{3,4}，所以2≤m＜3．A8．(2024·深圳二模)對于任意集合M，N，下列關(guān)系正確的是 (

)A．M∪(?M∪NN)＝M∪N B．?M∪N(M∩N)＝(?M∪NM)∪(?M∪NN)C．M∩(?M∪NN)＝M∩N D．?M∪N(M∩N)＝(?M∪NM)∩(?M∪NN)【解析】若M，N如圖所示，對于A，?M∪NN為區(qū)域①，所以M∪(?M∪NN)＝M，故A錯誤；對于B，?M∪N(M∩N)為區(qū)域①和③，?M∪NM為區(qū)域③，?M∪NN為區(qū)域①，則(?M∪NM)∪(?M∪NN)也為區(qū)域①和③，兩邊相等，故B正確；對于C，?M∪NN為區(qū)域①，M∩(?M∪NN)為區(qū)域①，不等于區(qū)域②(區(qū)域②為M∩N)，故C錯誤；對于D，?M∪N(M∩N)為區(qū)域①和③，而?M∪NM為區(qū)域③，?M∪NN為區(qū)域①，所以(?M∪NM)∩(?M∪NN)為空集，所以D錯誤．B9．(2024·邢臺一模)設(shè)集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，則下列說法錯誤的是 (

)A．A∩B＝B B．B∩Z的元素個數(shù)為16C．A∪B＝B D．A∩Z的子集個數(shù)為64【解析】對于A，B，C，因?yàn)锳＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A?B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16(個)元素，故A錯誤，B，C正確；對于D，A∩Z有2＋1＋3＝6(個)元素，所以A∩Z的子集個數(shù)為26＝64，故D正確．A10．(2024·石家莊三模)某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法不正確的是 (

)A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人【解答】根據(jù)題意，設(shè)A＝{x|x是參加100米比賽的同學(xué)}，B＝{x|x是參加400米比賽的同學(xué)}，C＝{x|x是參加1500米比賽的同學(xué)}，則card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，則card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人．【答案】C【解析】【答案】BCD12．若非空集合M，N，P滿足M∩N＝N，M∪P＝P，則 (

)A．P?M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(?PN)＝?【解析】由M∩N＝N得N?M．由M∪P＝P得M?P，推不出P?M，故A錯誤；由M?P可得M∩P＝M，故B正確；因?yàn)镹?M且M?P，所以N?P，則N∪P＝P，故C正確；由N?M可得M∩(?PN)不一定為空集，故D錯誤．BC13．已知M，N均為實(shí)數(shù)集R的子集，且N∩(?RM)＝?，則下列結(jié)論正確的是 (

)A．M∩(?RN)＝?

B．M∪(?RN)＝RC．(?RM)∪(?RN)＝?RM D．(?RM)∩(?RN)＝?RM【解析】因?yàn)镹∩(?RM)＝?，所以N?M．若N是M的真子集，則M∩(?RN)≠?，故A錯誤；由N?M，得M∪(?RN)＝R，故B正確；由N?M，得(?RN)?(?RM)，故C錯誤，D正確．BD14．我們知道，如果集合A?S，那么A的補(bǔ)集為?SA＝{x|x∈S且x?A}．類似地，對于集合A，B，我們把集合{x|x∈A且x?B}叫做集合A和B