平面向量與復(fù)數(shù)01第27講平面向量數(shù)量積的應(yīng)用鏈教材·夯基固本02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A必二P36練習(xí)T1)已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，則|a|＝_____，|b|＝______，a·b＝_______．【解析】5－72．(人A必二P61復(fù)習(xí)參考題T13(4))已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a＝2e1＋e2與b＝－3e1＋2e2的夾角為 (

)A．30° B．60° C．120° D．150°【解析】C【解析】【解析】D【解析】[0，π]3．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，θ為a，b的夾角，那么數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b．4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ為a，e的夾角)；(2)a⊥b?a·b＝0；－|a||b||a||b|5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)對(duì)任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．6．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝______________；x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝07．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．8．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．研題型·能力養(yǎng)成03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算1【解析】【答案】B【解析】111(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題．(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解．變式1

(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝ (

)A．－2 B．－1C．1 D．2【解析】因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2．D【解析】圖(1)圖(2)【答案】11目標(biāo)2投影向量

(1)(2025·泉州期初)已知|b|＝2|a|，若a與b的夾角為60°，則2a－b在b上的投影向量為 (

)2【解析】B【解析】2(1)向量a在b上的投影向量為|a|cosθ·e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個(gè)向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定．【解析】【答案】ABD目標(biāo)3數(shù)量積的應(yīng)用視角1向量的模長(zhǎng)問(wèn)題【解析】3－1

(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝ (

)【解析】3－1B【解析】A3－2【解析】【答案】D

(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，若2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________________________．3－2【解析】【解析】B4極化恒等式新視角【解析】【答案】C1．(2025·濰坊期初)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2，則(a＋b)·c＋a·b＝ (

)A．0 B．3C．6 D．12【解析】以兩向量公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝(4,2)，b＝(4，－2)，c＝(0,2)，則(a＋b)·c＋a·b＝(8,0)·(0,2)＋(4,2)·(4，－2)＝12．D【解析】B【解析】B【解析】【答案】ABD配套精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題【解析】A【解析】A3．(2024·泰州調(diào)研)若e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則向量e1－e2與e2的夾角為 (

)A．30° B．60°C．90° D．120°【解析】D【解析】【答案】A二、多項(xiàng)選擇題5．(2024·聊城二模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量為a，則 (

)A．λ＝3 B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)⊥(b－a) D．a(chǎn)與b的夾角為45°【解析】【答案】ACD6．(2024·廣州一模)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是 (

)A．a(chǎn)·b＝0B．(a＋b)⊥(a－b)C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等D．|a＋b|＝|a－b|【解析】【答案】BC【解析】【答案】CD【解析】49．(2024·常德3月模擬改)已知平面向量a，b均為單位向量，且?jiàn)A角為60°，若向量c與a，b共面，且滿足a·c＝b·c＝1，則|c|＝______．【解析】【解答】四、解答題11．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．【解答】四、解答題11．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．【解答】12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M是AB上靠近A的三等分點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，Q是DN與MC的交