第38講平面與平面垂直的判定與性質(zhì)第七章立體幾何202X/01/01匯報人：鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題正確的是 (

)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β【解析】若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l?β或l∥β或l與β相交，A錯誤；若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l與β相交但不一定垂直，B錯誤；若α⊥β，l?α，則l?β或l∥β或l與β相交，C錯誤；若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β，由面面垂直的性質(zhì)定理可知D正確．D2．(人A必二P158例8改)如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD垂直于圓柱的底面，則必有 (

)A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【解析】因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC，又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC，因為AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，所以BC⊥平面ACD．因為BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．B3．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則 (

)A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D【解析】如圖，對于A，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，則有EF⊥BD．又BB1⊥EF，從而EF⊥平面BDD1．又因為EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確．對于B，因為平面A1BD∩平面BDD1＝BD，顯然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B錯誤．對于C，由題意知直線AA1與直線B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC有公共點，從而C錯誤．對于D，連接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D．又因為平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，所以平面AB1C與平面B1EF不平行，則平面A1C1D與平面B1EF不平行，故D錯誤．【答案】A【解析】1．二面角(1)從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．兩個半平面(2)二面角的平面角α的范圍：_____________；平面與平面的夾角的取值范圍：_________．垂直于棱[0，π]2．平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直_________?α⊥β

文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直

?l⊥α_____________研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理【解答】1－1【解答】1－1(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用：①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．

(2024·深圳一調(diào)節(jié)選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，點M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．求證：BD⊥平面ACM．【解答】1－2【解答】目標(biāo)2綜合法計算二面角視角1定義法

(2025·連云港期中)在四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是等腰直角三角形，DA＝DC，平面ACD⊥平面ABC，點E在棱BD上，使得四面體ACDE與四面體ABCD的體積之比為1∶2，則二面角D－AC－E的余弦值為______．2－1【解析】視角2三垂線法如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角A－BD－C的正切值等于_______．【解析】如圖，在平面ABC內(nèi)，過點A作AH⊥BC，垂足為H，連接DH，由題意知DH⊥BC，又AH∩DH＝H，AH，DH?平面AHD，所以BC⊥平面AHD．因為△ABC和△BCD所在的平面互相垂直，且平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AH⊥平面BCD，過點H作HR⊥BD，垂足為R，連接AR，2－2【答案】－2結(jié)合三垂線定理計算二面角的方法：已知二面角α－l－β，在平面α(或平面β)內(nèi)找一合適的點A，作AO⊥β于點O，過A作AB⊥l(l是公共棱)于點B，則BO為斜線AB在平面β內(nèi)的射影，∠ABO為二面角α－l－β的平面角．視角3投影法若二面角內(nèi)一點到兩個面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個二面角的大小是______．【解析】2－31．(2025·佛山禪城一調(diào))(多選)已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分條件是 (

)A．α⊥γ，β⊥γ B．α∥γ，β⊥γC．α∩β＝b，a⊥b，a?α D．a(chǎn)∥b，b⊥β，a?α【解析】對于A，α⊥γ，β⊥γ，α，β也可能平行，故錯誤；對于B，若α∥γ，β⊥γ，則α⊥β，故正確；對于C，α∩β＝b，a⊥b，a?α，由線面垂直的判定定理可知a不一定垂直于β，故α，β也不一定垂直，故錯誤；對于D，由a∥b，b⊥β，可得a⊥β，再由a?α，可證α⊥β，故正確．BD2．(2024·聊城二模)(多選)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，則下列關(guān)系能同時成立的是 (

)A．“AB＝PB”與“PB＝BD”B．“PA⊥PC”與“PB⊥PD”C．“PB⊥CD”與“PC⊥AB”D．“平面PAB⊥平面PBD”與“平面PCD⊥平面PBD”【解析】對于A，由底面ABCD是正方形，則AB≠DB，所以當(dāng)AB＝PB時，PB＝BD不成立，故A錯誤；對于B，如圖，設(shè)底面正方形中心為O，則P在以O(shè)為球心，以O(shè)A為半徑的球面上時可符合題意，故B正確；對于C，當(dāng)平面PBC⊥底面ABCD時，由面面垂直的性質(zhì)可知AB⊥平面PBC，CD⊥平面PBC，顯然符合題意，故C正確；對于D，由于兩相交平面同時垂直于第三個平面時交線垂直于第三個平面，若“平面PAB⊥平面PBD”與“平面PCD⊥平面PBD”同時成立，易知P∈平面PAB∩平面PCD，可設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，則P∈l，則l⊥平面PBD，易知AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又AB?平面PAB，則l∥AB，則有AB⊥平面PBD，顯然AB⊥BD不成立，故D錯誤．【答案】BC3．如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，則二面角E－BD－C的大小為________．【解析】因為SB＝BC，且E是SC的中點，所以BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，所以SC⊥BE．又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，所以SC⊥平面BDE，所以SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，所以SA⊥BD，又SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，所以BD⊥平面SAC．【答案】60°4．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，則二面角P－BC－D的大小是______．【解析】如圖，過點P作PM⊥AD，垂足為M，過點M作MN⊥BC，垂足為N，連接PN．因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又PM⊥AD，PM?平面PAD．配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項選擇題1．(2024·寧波二模)已知三個不重合的平面α，β，γ，若α∩β＝l，則“l(fā)⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的 (

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】由于α∩β＝l，所以l?α，l?β．若l⊥γ，則α⊥γ，β⊥γ，故充分性成立．若α⊥γ，β⊥γ，設(shè)α∩γ＝m，β∩γ＝n，則存在直線a?γ，使得a⊥m，所以a⊥α．由于l?α，故a⊥l．同理存在直線b?γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于l?β，故b⊥l．由于a，b不平行，所以a，b是平面γ內(nèi)兩條相交直線，所以l⊥γ，故必要性成立．C2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1－AB－C的正切值為 (

)【解析】D3．(2024·婁底一模)已知四棱錐P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E為PC中點，則 (

)A．BE∥平面PAD B．PD⊥平面ABCDC．平面PAB⊥平面PAD D．DE＝EB【解析】對于A，易知BC∥平面PAD，因為BE∩BC＝B，且兩條直線都在平面PBC內(nèi)，所以BE不可能平行于平面PAD，故A錯誤．對于B，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，若PD⊥平面ABCD，則PD⊥AD，由題設(shè)條件知不一定成立，故B錯誤．對于C，

因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．由以上分析知AB⊥平面PAD．又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正確．對于D，沒有任何條件可以證明DE＝EB，故D錯誤．【答案】C4．(2024·淮安、連云港期末)圖(1)是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構(gòu)成．可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖(2)是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐，如圖(3)，若平面ABCD與平面ATBS的夾角為45°，則cos∠ASB＝(

)圖(1)

圖(2)

圖(3)【解析】【答案】C二、多項選擇題5．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，下列說法正確的有 (

)A．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β B．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βC．若α∥β，m?α，n⊥β，則m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β【解析】對于A，若m⊥n，m?α，n?β，不能推出m⊥β或n⊥α，則不能推出α⊥β，故A錯誤；對于B，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故B正確；對于C，若α∥β，n⊥β，則n⊥α，又m?α，所以m⊥n，故C正確；對于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，說明與α和β垂直的法向量互相垂直，則α⊥β，故D正確．BCD6．(2024·呂梁二模)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O為A1C1與B1D1的交點，則下列條件中能成為“AC1＝A1C”的必要條件有

(

)A．四邊形ACC1A1是矩形B．平面ABB1A1⊥平面ACC1A1C．平面BDD1B1⊥平面ABCDD．直線OA，BC所成的角與直線OC，AB所成的角相等【解析】要成為“AC1＝A1C”的必要條件，則該條件可由“AC1＝A1C”推出．對于A，因為在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1為平行四邊形．又AC1＝A1C，所以四邊形ACC1A1為矩形，故A正確．對于B，假設(shè)平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，由選項A可知四邊形ACC1A1為矩形，則AC⊥AA1．又平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，AC?平面ACC1A1，所以AC⊥平面ABB1A1．因為AB?平面ABB1A1，所以AC⊥AB，與四邊形ABCD為正方形矛盾，故B錯誤．對于C，因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因為AC⊥AA1，AA1∥BB1，所以AC⊥BB1，又BB1∩BD＝B，BB1，BD?平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1．又AC?平面ABCD，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，故C正確．對于D，因為四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C1的中點，易得OA＝OC，又正方形ABCD中，AD＝CD，OD是公共邊，所以△OAD≌△OCD，則∠OAD＝∠OCD．又BC∥AD，AB∥CD，所以∠OAD，∠OCD分別為直線OA，BC所成的角與直線OC，AB所成的角(或其補角)，則直線OA，BC所成的角與直線OC，AB所成的角相等，故D正確．【答案】ACD7．(2024·衡陽二聯(lián))在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，P是棱CC1的中點，則 (

)A．直線BP與B1D1所成的角為60°B．直線BP與A1D所成的角為90°C．平面A1B1P⊥平面ABP【解析】【答案】AC【解析】60°9．如圖，已知邊長為a的正方形ABCD外有一點P，且PA⊥平面ABCD，PA＝a，則二面角P－BD－A所成平面角的正切值為______．【解析】四、解答題10．在四棱錐E－ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD．(1)若點F在線段BC上，試確定F的位置，使平面DEF⊥平面ABCD，并給出證明；【解答】10．在四棱錐E－ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD．【解答】11．(2025·錦州期中)如圖，三棱柱ABC