高中降冪題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.將\(\sin^{2}x\)降冪后是（）A.\(\frac{1+\cos2x}{2}\)B.\(\frac{1-\cos2x}{2}\)C.\(1+\cos2x\)D.\(1-\cos2x\)2.\(\cos^{2}2x\)降冪的結(jié)果為（）A.\(\frac{1+\cos4x}{2}\)B.\(\frac{1-\cos4x}{2}\)C.\(1+\cos4x\)D.\(1-\cos4x\)3.化簡\(\sin^{2}\frac{x}{2}\)得（）A.\(\frac{1+\cosx}{2}\)B.\(\frac{1-\cosx}{2}\)C.\(1+\cosx\)D.\(1-\cosx\)4.對(duì)\(\tan^{2}x\)進(jìn)行降冪處理，正確的是（）A.\(\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}\)B.\(\frac{1+\cos2x}{1-\cos2x}\)C.\(1-\cos2x\)D.\(1+\cos2x\)5.降冪公式\(\sin^{2}\alpha\)=（）A.\(\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)B.\(\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)C.\(\cos2\alpha\)D.\(-\cos2\alpha\)6.\(\cos^{2}(x+\frac{\pi}{4})\)降冪后是（）A.\(\frac{1+\cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}\)B.\(\frac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}\)C.\(\frac{1+\sin2x}{2}\)D.\(\frac{1-\sin2x}{2}\)7.把\(\sin^{2}3x\)降冪得（）A.\(\frac{1+\cos6x}{2}\)B.\(\frac{1-\cos6x}{2}\)C.\(\frac{1+\cos3x}{2}\)D.\(\frac{1-\cos3x}{2}\)8.降冪后\(\cos^{2}\frac{\alpha}{3}\)=（）A.\(\frac{1+\cos\frac{2\alpha}{3}}{2}\)B.\(\frac{1-\cos\frac{2\alpha}{3}}{2}\)C.\(1+\cos\frac{2\alpha}{3}\)D.\(1-\cos\frac{2\alpha}{3}\)9.對(duì)\(\sin^{2}(2x-\frac{\pi}{6})\)降冪的結(jié)果是（）A.\(\frac{1+\cos(4x-\frac{\pi}{3})}{2}\)B.\(\frac{1-\cos(4x-\frac{\pi}{3})}{2}\)C.\(\frac{1+\sin(4x-\frac{\pi}{3})}{2}\)D.\(\frac{1-\sin(4x-\frac{\pi}{3})}{2}\)10.降冪公式\(\cos^{2}\theta\)變形后與下列哪個(gè)式子相等（）A.\(\frac{1+\sin2\theta}{2}\)B.\(\frac{1-\sin2\theta}{2}\)C.\(\frac{1+\cos2\theta}{2}\)D.\(\frac{1-\cos2\theta}{2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于降冪公式的有（）A.\(\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)B.\(\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)C.\(\tan^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\)D.\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)2.利用降冪公式可將下列哪些式子化簡（）A.\(\sin^{2}5x\)B.\(\cos^{2}(x-\frac{\pi}{3})\)C.\(\tan^{2}2x\)D.\(\sin^{2}\frac{x}{4}\)3.降冪公式在哪些方面有應(yīng)用（）A.化簡三角函數(shù)式B.求三角函數(shù)的值C.證明三角恒等式D.解三角形4.下列化簡結(jié)果正確的是（）A.\(\sin^{2}x\)降冪后為\(\frac{1-\cos2x}{2}\)B.\(\cos^{2}3x\)降冪后為\(\frac{1+\cos6x}{2}\)C.\(\tan^{2}\frac{x}{2}\)降冪后為\(\frac{1-\cosx}{1+\cosx}\)D.\(\sin^{2}(x+\frac{\pi}{6})\)降冪后為\(\frac{1+\cos(2x+\frac{\pi}{3})}{2}\)5.關(guān)于降冪公式\(\sin^{2}\alpha\)和\(\cos^{2}\alpha\)，說法正確的是（）A.二者可以相互轉(zhuǎn)化B.都與\(\cos2\alpha\)有關(guān)C.常用于簡化三角函數(shù)表達(dá)式D.是三角函數(shù)的基本公式6.若要化簡\(\cos^{2}4x+\sin^{2}4x\)，可以用到的知識(shí)有（）A.降冪公式B.同角三角函數(shù)基本關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)C.二倍角公式D.誘導(dǎo)公式7.降冪公式在化簡\(\sin^{2}x\cos^{2}x\)時(shí)，可采取的步驟有（）A.先對(duì)\(\sin^{2}x\)和\(\cos^{2}x\)分別用降冪公式B.再將化簡后的式子相乘C.利用二倍角公式進(jìn)一步化簡D.直接用乘法法則計(jì)算8.以下能通過降冪公式化簡的式子有（）A.\(\sin^{2}x\sin^{2}2x\)B.\(\cos^{2}x+\cos^{2}2x\)C.\(\tan^{2}x\cos^{2}x\)D.\(\sin^{2}x-\cos^{2}x\)9.降冪公式與二倍角公式的關(guān)系是（）A.降冪公式由二倍角公式推導(dǎo)而來B.二者相互獨(dú)立C.二倍角公式可以借助降冪公式變形D.都用于三角函數(shù)的化簡10.在化簡復(fù)雜三角函數(shù)式時(shí)，降冪公式的作用是（）A.降低式子中三角函數(shù)的次數(shù)B.使式子結(jié)構(gòu)更簡單C.方便進(jìn)一步運(yùn)算和求值D.直接得出結(jié)果三、判斷題（每題2分，共10題）1.降冪公式\(\sin^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)。（）2.對(duì)\(\cos^{2}x\)降冪后得到\(\frac{1-\cos2x}{2}\)。（）3.降冪公式可以將高次三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為低次三角函數(shù)。（）4.\(\tan^{2}\alpha\)不能用降冪公式進(jìn)行化簡。（）5.利用降冪公式化簡\(\sin^{2}3x\)的結(jié)果是\(\frac{1-\cos6x}{2}\)。（）6.降冪公式\(\cos^{2}\theta\)與\(\sin^{2}\theta\)之間沒有聯(lián)系。（）7.化簡\(\sin^{2}x+\cos^{2}x\)需要用到降冪公式。（）8.降冪公式是三角函數(shù)恒等變換的重要工具之一。（）9.對(duì)于\(\sin^{2}(x+\frac{\pi}{4})\)降冪后為\(\frac{1+\sin2x}{2}\)。（）10.降冪公式在解三角函數(shù)方程中沒有作用。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述降冪公式\(\sin^{2}\alpha\)和\(\cos^{2}\alpha\)的內(nèi)容及推導(dǎo)過程。答案：\(\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)，\(\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)。推導(dǎo)：由\(\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\)可得\(\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)；由\(\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1\)可得\(\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)。2.用降冪公式化簡\(\sin^{2}x+\cos^{2}2x\)。答案：\(\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}\)，\(\cos^{2}2x=\frac{1+\cos4x}{2}\)，則\(\sin^{2}x+\cos^{2}2x=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{1+\cos4x}{2}=1-\frac{\cos2x}{2}+\frac{\cos4x}{2}\)。3.說明降冪公式在三角函數(shù)化簡中的作用。答案：降冪公式能把高次三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為低次，降低式子復(fù)雜程度，方便后續(xù)的運(yùn)算、求值以及證明恒等式等，使三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)更簡潔，利于分析和處理問題。4.舉例說明降冪公式在實(shí)際解題中的應(yīng)用。答案：比如求\(y=\sin^{2}x\cos^{2}x\)的最小正周期。先降冪，\(\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}\)，\(\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}\)，則\(y=\frac{1-\cos^{2}2x}{4}=\frac{\sin^{2}2x}{4}=\frac{1-\cos4x}{8}\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，降冪公式與其他公式（如誘導(dǎo)公式、二倍角公式）有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系：降冪公式由二倍角公式推導(dǎo)，與誘導(dǎo)公式可配合化簡復(fù)雜式子。區(qū)別：誘導(dǎo)公式改變函數(shù)名和符號(hào)，二倍角公式升角降次，降冪公式降次，作用和使用場景不同。2.討論降冪公式在解決三角函數(shù)實(shí)際問題（如物理中的簡諧振動(dòng)、交流電等）中的應(yīng)用思路。答案：在實(shí)際問題中，將三角函數(shù)式用降冪公式化簡，使式子簡單。結(jié)合實(shí)際條件找到變量關(guān)系，利用化簡后的式子分析周期、頻率、最值等物理量，從而解決問題。3.對(duì)于復(fù)雜的三角函數(shù)式化簡，如何合理選擇降冪公式及其他方法？答案：先觀察式子結(jié)構(gòu)，若有高次三角函數(shù)優(yōu)先考慮降冪公式。結(jié)合式子中函數(shù)名、角的關(guān)系，看是否需用誘導(dǎo)公式、和差公式等。從整體到局部，逐步簡化式子。4.降冪公式在三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究中有什么作用？答案：降冪公式把函數(shù)降次后，函數(shù)形式簡單，更易分析周期、最值等性質(zhì)。也方便確定函數(shù)的