1引言LC振蕩電路，也稱為諧振電路，是由一個(gè)電感（L）和一個(gè)電容（C）連接在一起的電路。它是許多電子設(shè)備中的關(guān)鍵部件[1。同時(shí)，LC振蕩電路也是高中物理電磁學(xué)的重要內(nèi)容[2-3]。學(xué)生要理解該電路的工作原理，就需要掌握電容和電感的概念及其工作原理。為了幫助學(xué)生深入理解LC振蕩電路，可以通過(guò)虛擬仿真技術(shù)來(lái)模擬該電路，實(shí)現(xiàn)該電路的情境化教學(xué)。目前，模擬LC振蕩電路的方法有兩種。一種是“半過(guò)程”情境仿真，即先把求解出來(lái)的電流、電量等參數(shù)方程錄人到Geogebra等數(shù)學(xué)仿真軟件中進(jìn)行動(dòng)態(tài)描繪。另一種是全過(guò)程情境模擬，即直接把電路圖輸入到MatlabSimulink等電路仿真軟件中[4-6]，然后由軟件根據(jù)內(nèi)置方程求解器計(jì)算電流、電壓、電量等參數(shù)，并繪制這些參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化。全過(guò)程情境仿真更接近實(shí)物實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果更容易受電路中各元件參數(shù)的影響。COMSOLMultiphysics（簡(jiǎn)稱COMSOL）是基于有限元分析的工程仿真軟件[7-9]，其根植于數(shù)學(xué)物理理論，從底層的理論出發(fā)，可以輕松實(shí)現(xiàn)各種物理現(xiàn)象的情境化仿真。因此，本文以LC振蕩電路為例，嘗試使用COMSOL全過(guò)程仿真，探究電容、電感及電阻對(duì)LC振蕩電路性能的影響。為學(xué)生提供實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，拓展學(xué)生對(duì)電路認(rèn)識(shí)的深度和廣度，提升學(xué)生的科學(xué)思維素養(yǎng)。2LC振蕩電路模型根據(jù)電感和電容的連接方式，LC振蕩電路可分為L(zhǎng)C并聯(lián)振蕩電路和LC串聯(lián)振蕩電路[10]。在人教版普通高中教科書《物理選擇性必修第二冊(cè)》中，將線圈、電容器、電源和單刀雙擲開(kāi)關(guān)按圖1所示組成一個(gè)LC串聯(lián)振蕩電路。先讓開(kāi)關(guān)與電源連接給電容器充電，然后開(kāi)關(guān)向線圈一側(cè)電路閉合。此時(shí)，LC串聯(lián)振蕩電路中的電流和電壓等信號(hào)會(huì)發(fā)生周期性變化。圖1人教版教材中LC振蕩電路圖3COMSOL仿真過(guò)程3.1模型定義利用COMSOL物理場(chǎng)仿真軟件中的電路功能，建構(gòu)電路模型。在利用COMSOL建模前，需對(duì)圖1中的電路進(jìn)行簡(jiǎn)單變換。因?yàn)檐浖抡鏁r(shí)可以直接定義初始條件，不需要單刀雙擲開(kāi)關(guān)。另外，COMSOL電路搭建需要節(jié)點(diǎn)設(shè)置和接地條件。節(jié)點(diǎn)0、1、2用于組裝電路時(shí)定義元器件的接電端口，其中節(jié)點(diǎn)0接地。為模擬情境化仿真電路中內(nèi)阻（損耗電阻）對(duì)振蕩信號(hào)的影響，還需在電路中添加一個(gè)滑動(dòng)變阻器，如圖2所示。圖2考慮內(nèi)阻的LC振蕩電路COMSOL模型定義3.2模型建構(gòu)與計(jì)算首先，在新建窗口中，單擊“模型向?qū)б涣憔S”。在物理場(chǎng)中，選擇“AC/DC—電路”。研究類型選擇“一般研究—瞬態(tài)”。在“組件1—電路”中，添加接地點(diǎn)，選擇節(jié)點(diǎn)名稱為0。接著添加電感器，點(diǎn)分別選擇節(jié)點(diǎn)0和1，如圖3（a）所示。然后添加電容器和電阻，電容器和電阻的p）n節(jié)點(diǎn)分別是1、2和2、0。將電容器的初始電壓設(shè)定為1V，這與教材中電容充電的初始條件相對(duì)應(yīng)。之后，在參數(shù)1中定義電阻R電感L、電容C、電流Current和周期T的值，如圖3（b）所示。再在“研究1—瞬態(tài)—設(shè)置\"中，把“輸出時(shí)步\"設(shè)定為，時(shí)間單位為s。“輸出時(shí)步\"指計(jì)算的時(shí)間從0開(kāi)始，到10個(gè)振蕩周期（T）結(jié)束，計(jì)算時(shí)間間隔為至此，整個(gè)模型建構(gòu)完成。3.3模型計(jì)算點(diǎn)擊“計(jì)算”，可得到計(jì)算結(jié)果。在“組件1一定義\"中添加探針，便可從計(jì)算結(jié)果中調(diào)取電流、電壓、節(jié)點(diǎn)電壓等數(shù)據(jù)。為方便研究，可以把探針?lè)譃閹讉€(gè)節(jié)點(diǎn)組。一組用來(lái)測(cè)元器件中的電流，一組測(cè)元器件終端電壓，還有一組測(cè)各節(jié)點(diǎn)電壓。當(dāng)損耗電阻不為零時(shí)，還可以探測(cè)電阻的功耗或者熱消耗。選取探針繪圖組中的探針表圖，就能情境化仿真振蕩電路中的周期性變化的物理量。4情境化仿真教學(xué)設(shè)計(jì)4.1LC振蕩電路情境化仿真設(shè)計(jì)為了系統(tǒng)地研究LC振蕩電路中電感、電容及損耗電阻等參數(shù)對(duì)電流和電壓曲線的影響，制訂了圖4所示的情境化仿真設(shè)計(jì)方案。首先，設(shè)定損耗電阻（R=0），分別固定電容c和電感L，研究調(diào)控L和C時(shí)的電流、電壓等參數(shù)的變化曲線。然后，假定存在損耗電阻（Rgt;0），分別研究損耗電阻R變化而L和C不變以及損耗電阻R不變而L和c變化時(shí)的電流、電壓曲線。圖4振蕩電路情境化仿真設(shè)計(jì)4.2理想LC振蕩電路的情境化仿真仿真前，教師要引導(dǎo)學(xué)生：當(dāng)LC振蕩電路中的消耗內(nèi)阻R=0時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生熱消耗。此時(shí)，LC振蕩電路處于理想狀態(tài)，沒(méi)有能量損耗。電容的電流和電壓（或極板帶電量）都應(yīng)該做諧振運(yùn)動(dòng)。因此，可通過(guò)情境化仿真實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)電流和電壓曲線是否處于諧振狀態(tài)。首先，將圖3（b）中的R值改為0，其他參數(shù)（L=2mH，C=2mF）保持不變，可得電流和電壓的變化曲線，如圖5（a）所示。需要指出的是，電容和電感的電流、電壓曲線相似，圖中僅展示電容器元件的電流和電壓曲線。另外，由于電流和電壓值的單位不同，所以縱坐標(biāo)沒(méi)有標(biāo)明物理量單位，兩條曲線對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值分別以A和V為單位。可以看出，電流和電壓確實(shí)處于諧振狀態(tài)，隨時(shí)間呈現(xiàn)周期性振蕩。t=0時(shí)，電壓最大、電流為零，這表明電壓超前電流，即先有電容電壓（初始值為1V，電容放電后在電路中形成電流。根據(jù)LC振蕩電路的周期公式，可得振蕩周期T≈0.0126s，這與圖中的變化周期一致。當(dāng)把L調(diào)至原來(lái)的4倍（8mH時(shí)，電流的振幅變?yōu)樵瓉?lái)的1/2，周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，如圖5（b）所示。這說(shuō)明，電感增大后，電流減小，周期增大，但電容器電壓的振幅不變。相反，把L調(diào)至原來(lái)的1/4（0.5mH）時(shí)，電流的振幅變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，周期變?yōu)樵瓉?lái)的1/2（T≈0.0063s），如圖5（c）所示。教師根據(jù)以上結(jié)果設(shè)置問(wèn)題：為什么電感增大后，電流減?。繉W(xué)生根據(jù)教師的問(wèn)題進(jìn)行分組討論。教師對(duì)各組的討論表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)后，對(duì)該現(xiàn)象的原因進(jìn)行總結(jié)：根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈經(jīng)過(guò)變化的電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)會(huì)感應(yīng)出電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而產(chǎn)生感應(yīng)電流。再由楞次定律，感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻礙原來(lái)的磁場(chǎng)。因此，當(dāng)電感經(jīng)過(guò)交流電時(shí)，感應(yīng)電流會(huì)阻礙變化的電流（交流電），導(dǎo)致電流的振幅變小。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生：通過(guò)LC振蕩電路的情境化仿真實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)了電感器有抑制變化的交流電的作用。那么，電容器在電路中又起什么作用呢？我們可以嘗試增大電容，并觀察電路信號(hào)的變化情況來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：L不變，分別將c調(diào)為原來(lái)的4倍和1/4，且初始電流為0A、初始電壓為1V時(shí)，仿真結(jié)果分別如圖6（a）（b）所示?？梢钥闯?，當(dāng)c為原來(lái)的4倍時(shí)，電流的振幅和周期都為原來(lái)的2倍，但電壓的振幅不變；當(dāng)C為原來(lái)的1/4時(shí)，電流的振幅和周期都為原來(lái)的1/2，電壓的振幅也不變。這些結(jié)果表明，增加電容的容量會(huì)增大電流的幅值，但不會(huì)改變電壓的幅值。圖5R=0，C=2mF時(shí)，調(diào)控L得到的電流、電壓振蕩曲線圖6時(shí)，改變電容c后的電流、電壓振蕩曲線教師引導(dǎo)學(xué)生分析仿真結(jié)果后總結(jié)：電容增大，電壓不變，電流的幅值正比于一個(gè)周期內(nèi)的平均電流，即其中，k為無(wú)量綱的比例系數(shù)，Q為電容帶電量，T為振蕩周期。又由于Q=CU，，可得由于k，U和L都不變，所以電流幅值正比于。教師提問(wèn)：增加電容的容量，電壓的振幅一定不變嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生討論上述問(wèn)題并評(píng)價(jià)后，給出答案：在情境化仿真的參數(shù)設(shè)置中，電感器的初始電流為0A，電容器的初始電壓設(shè)置為1V（電壓的振幅固定）。所以，增大電容無(wú)法改變最大電壓值。如果電容器初始電壓為0V（電壓振幅可調(diào)），電感器的初始電流設(shè)置為1A（電流振幅固定）。由于電容器的最大電量Q=IT，I為一個(gè)振蕩周期內(nèi)的平均電流，它與電流振幅成正比，即為比例系數(shù)。所以，。那么，電壓為由于和L都不變，所以電壓幅值U正比于圖7為參數(shù)L=2mH，C=8mF（電感器的初始電流為1A，電容的初始電壓為0V）時(shí)的電流和電壓曲線，與圖6（a）比較可以看出，電容C增大4倍時(shí)，電壓被抑制為原來(lái)的1/2，仿真結(jié)果與理論分析一致。圖7R=0，L=2mH，C=8mF時(shí)的電流、電壓振蕩曲線重要結(jié)論：在LC電路中，電容器里面存儲(chǔ)的是電場(chǎng)能。由于電磁感應(yīng)效應(yīng)，在電感線圈中儲(chǔ)存的是感應(yīng)磁場(chǎng)能。振蕩電流可視為交流電，電感具有抑制交流電的作用，電容有抑制電壓的作用。4.3有阻尼LC振蕩電路情境化仿真教師要引導(dǎo)學(xué)生理解電路是一個(gè)理想化的模型，它沒(méi)有考慮電路中的電阻。事實(shí)上，作為一個(gè)閉合回路，其包含的組件和導(dǎo)線等都不可避免地產(chǎn)生損耗電阻”。接著，教師提問(wèn)：“有電阻時(shí)，電容器的電流和電壓曲線會(huì)怎么樣？\"學(xué)生的回答五花八門。教師接著引導(dǎo)：“當(dāng)電路有損耗電阻時(shí)，振蕩電路中存在能量損耗[]。因此，實(shí)物的LC電路實(shí)驗(yàn)，若沒(méi)有外界能量輸入，都應(yīng)該表現(xiàn)為阻尼振蕩?！比缓?，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)是否存在阻尼振蕩現(xiàn)象。為了便于對(duì)比，可固定L和C的值，C=2mF，改變損耗電阻R。當(dāng)初始電流為0A初始電壓為1V時(shí)，仿真得到R為和2Ω時(shí)的振蕩曲線，分別如圖8（a）（b）（c）所示?？梢钥闯?，當(dāng)R=0.1Ω時(shí)，電流與電壓的符號(hào)雖然發(fā)生周期性變化，但隨著時(shí)間的推移，它們的振幅呈指數(shù)遞減，這屬于典型的阻尼振動(dòng)狀態(tài)。導(dǎo)致阻尼振動(dòng)的原因是損耗電阻產(chǎn)生的焦耳熱消耗了一部分電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能，使電路中的總能量逐漸減小，表現(xiàn)為振幅的減小。圖中顯示電路中損耗電阻的熱功率（電阻可以視為熱源）與電流的大小密切相關(guān)。當(dāng)時(shí)，電流與電壓只振蕩一次就全部趨于零，且沒(méi)有固定的振蕩周期，這屬于典型的欠阻尼狀態(tài)。表明損耗電阻的熱功率較大，電路中的總能量只能維持電流和電壓振蕩一次（大概經(jīng)歷0.023s）。當(dāng)R=2Ω時(shí)，電壓和電流經(jīng)歷0.0151s后變?yōu)榱悖也辉侔l(fā)生符號(hào)變化。此時(shí)，電路處于過(guò)阻尼狀態(tài)。導(dǎo)致過(guò)阻尼狀態(tài)的原因是損耗電阻太大，電路中的能量消耗過(guò)快，無(wú)法產(chǎn)生振蕩信號(hào)。設(shè)計(jì)情境化教學(xué)時(shí)，教師可在這一環(huán)節(jié)提問(wèn)：同學(xué)們能否根據(jù)情境化仿真曲線，得到電阻的熱功率的表達(dá)式？教師引導(dǎo)學(xué)生充分討論后總結(jié)：電阻的熱功率與電阻的值和電阻中流過(guò)的電流有關(guān)。從圖8（c）的曲線可以看出，當(dāng)t=0.0025s時(shí)，熱功率P的值最大）。此時(shí)，電流強(qiáng)度I也到達(dá)負(fù)的最大值（-0.3584A）。P和R正好滿足電阻功率的表達(dá)式P=PR，表明熱源功率P確實(shí)是由損耗電阻R產(chǎn)生的。因此，損耗電阻是導(dǎo)致阻尼狀態(tài)的關(guān)鍵因素，在設(shè)計(jì)LC諧振電路時(shí)，要盡量減小電路中的損耗電阻。如果在LC電路中添加一個(gè)與振動(dòng)周期相同的振蕩電源，并讓內(nèi)阻足夠小，那么電源只需消耗很小的能量，就可以維持LC電路的諧振。圖8L=2mH，C=2mF，R為和2Ω時(shí)，電流、電壓和電阻熱功率的變化曲線5結(jié)論高中物理中，振蕩電路是一個(gè)較理想的物理模型，很難