2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷-三角函數(shù)與三角函數(shù)綜合試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4)，則sinα的值為（）A.-4/5B.3/5C.-3/5D.4/5解：哎呀，同學(xué)們，咱們來看這道題。角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4)，首先你得知道啥是終邊，對(duì)吧？就是角的兩條邊，其中一條是始邊，另一條就是終邊。那點(diǎn)P(3,-4)就在這個(gè)終邊上，咱們要算sinα，sin就是啥？就是對(duì)邊比斜邊，對(duì)不對(duì)？那咱們先算算這個(gè)斜邊，也就是r，用勾股定理，r=√(32+(-4)2)=√(9+16)=√25=5。那對(duì)邊是啥？是-4，所以sinα=-4/5，選A。2.若cos(α+β)=1/2，且α和β都是銳角，則sin(α-β)的值等于（）A.-1/2B.1/2C.√3/2D.-√3/2解：這個(gè)題啊，看著有點(diǎn)繞，cos(α+β)=1/2，α和β都是銳角，啥意思呢？就是它們都小于90度。那α+β肯定小于180度，對(duì)吧？cos=1/2，那角是多少呢？45度或者315度，但是銳角就只能是45度。所以α+β=45度。那sin(α-β)是啥？咱們得用和差公式，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。這時(shí)候你就得知道，α和β都是銳角，所以cos和sin都是正的。但是這個(gè)題沒給α和β具體的值，咋辦？咱們可以試試特殊角，比如α=30度，β=15度，這樣α+β=45度，對(duì)不對(duì)？那sin(30°-15°)=sin15°，這個(gè)值是多少呢？可以用三倍角公式或者查表，結(jié)果是√3/2，所以選C。3.函數(shù)y=2sin(3x+π/6)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3解：這個(gè)題啊，很簡單，就是考周期。函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期是2π/ω，對(duì)吧？這個(gè)題ω=3，所以周期是2π/3，選C。4.函數(shù)f(x)=sin(2x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解：零點(diǎn)就是函數(shù)值為0的點(diǎn)，對(duì)吧？所以咱們要解方程sin(2x-π/4)=0。這個(gè)方程的解是2x-π/4=kπ，k是整數(shù)。那咱們要在區(qū)間[0,π]上找解，所以0≤2x-π/4≤π，解得π/4≤2x≤5π/4，所以x的取值范圍是π/8≤x≤5π/8。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，k可以取0和1，所以有兩個(gè)解，選B。5.函數(shù)y=sin2x+2sinx*cosx的值域是（）A.[-1,1]B.[0,2]C.[-1,2]D.[-2,2]解：這個(gè)題啊，得化簡。y=sin2x+2sinx*cosx，sin2x可以寫成1-cos2x，但是這樣不好化簡，所以咱們用二倍角公式，sin2x=1/2(1-cos2x)，2sinx*cosx=sin2x，所以y=1/2(1-cos2x)+sin2x。現(xiàn)在咱們要找這個(gè)函數(shù)的值域，可以令t=2x，所以y=1/2(1-cost)+sint。這個(gè)函數(shù)的值域是[-1/2,3/2]，所以選C。6.若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，且其最小值為0，最大值為2，則φ的值為（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π解：這個(gè)題啊，挺難的，得一步步來。首先，圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，說明當(dāng)x=π/4時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值。最小值為0，最大值為2，所以B=1，A=1。所以函數(shù)是y=sin(ωx+φ)+1。因?yàn)閳D像關(guān)于x=π/4對(duì)稱，所以ω(π/4)+φ=kπ+π/2，k是整數(shù)。又因?yàn)樽钚≈禐?，所以sin(ωx+φ)=0，所以ωx+φ=kπ，k是整數(shù)。聯(lián)立這兩個(gè)方程，得到ωx+φ=kπ+π/2，ωx+φ=kπ，所以ωx=kπ+π/2-kπ，即ωx=π/2。所以ω=1，φ=kπ+π/2。因?yàn)锳>0,ω>0，所以φ=π/2，選B。7.函數(shù)y=cos|x|的圖像是（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的B.關(guān)于x軸對(duì)稱的C.關(guān)于y軸對(duì)稱的D.非奇非偶函數(shù)解：這個(gè)題啊，很簡單，就是考奇偶性。cos|x|是偶函數(shù)，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，選C。8.函數(shù)y=tan(2x-π/3)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/4,0)D.(π/2,0)解：這個(gè)題啊，得知道tan函數(shù)的對(duì)稱性。tan函數(shù)的圖像是周期性的，且每個(gè)周期內(nèi)都有一個(gè)對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是kπ+π/2，k是整數(shù)。所以函數(shù)y=tan(2x-π/3)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是kπ/2+π/6，k是整數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱中心是(π/6,0)，選A。9.若sinα=1/3，α是第二象限的角，則cos(α/2)的值等于（）A.√6/6B.-√6/6C.√6/3D.-√6/3解：這個(gè)題啊，得用半角公式。sinα=1/3，α是第二象限的角，所以cosα<0，cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-(1/3)2)=-√8/3。所以cos(α/2)=√((1+cosα)/2)=√((1-√8/3)/2)=√(3-√8)/6=-√6/6，選B。10.函數(shù)y=2sin(x+π/4)cos(x-π/4)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3解：這個(gè)題啊，得化簡。y=2sin(x+π/4)cos(x-π/4)=sin(2x+π/2)-sin(π/4)=sin(2x+π/2)。所以周期是2π/2=π，選B。11.函數(shù)y=3sin2x+4cos2x的最小值是（）A.-5B.-1C.5D.1解：這個(gè)題啊，得化簡。y=3sin2x+4cos2x，可以寫成√(32+42)sin(2x+φ)=5sin(2x+φ)，其中tanφ=4/3。所以最小值是-5，選A。12.函數(shù)y=sin(x+π/3)cos(x-π/3)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3解：這個(gè)題啊，得化簡。y=sin(x+π/3)cos(x-π/3)=1/2(sin2x+sin(2π/3))。所以周期是π，選B。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.函數(shù)y=2cos2x-sin2x的值域是________。解：這個(gè)題啊，得化簡。y=2cos2x-sin2x=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)。所以值域是[1-√2,1+√2]。14.若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4,√2/2)，且周期為π，則φ=________。解：這個(gè)題啊，得一步步來。周期為π，所以ω=2。所以函數(shù)是y=Asin(2x+φ)。圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4,√2/2)，所以√2/2=Asin(2π/4+φ)=Asin(π/2+φ)。所以A=sin(π/2+φ)=cosφ。因?yàn)锳>0，所以φ是第四象限的角。又因?yàn)閟in(π/2+φ)=√2/2，所以π/2+φ=π/4+2kπ或3π/4+2kπ，k是整數(shù)。所以φ=-π/4+2kπ或π/4+2kπ，k是整數(shù)。因?yàn)棣帐堑谒南笙薜慕?，所以?-π/4。15.函數(shù)y=3sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小正周期是________。解：這個(gè)題啊，得化簡。y=3sin(x+π/6)cos(x-π/6)=3/2(sin2x+sin(π/6))=3/2sin2x+3√3/4。所以周期是π。16.若sinα+cosα=1/2，則sin2α+cos2α=________。解：這個(gè)題啊，很簡單。sin2α+cos2α=1，這是基本的三角恒等式。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x+φ)，其中φ是常數(shù)，且f(x)的最小正周期為π。（1）求φ的值；（2）若x∈[0,π/2]，求f(x)的最大值和最小值。解：哎呀，這個(gè)題啊，看著有點(diǎn)復(fù)雜，但咱們一步步來。首先，f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x+φ)，咱們得把它化簡成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)形式。咱們知道，sinA-cosA=sin(A-π/4)，對(duì)吧？所以f(x)=sin((2x+φ)-π/4)=sin(2x+φ-π/4)。這個(gè)函數(shù)的最小正周期是π，而sin函數(shù)的周期是2π，所以2x的周期是2π，2x+φ-π/4的周期就是2π，也就是說，當(dāng)x增加π時(shí)，2x+φ-π/4增加2π，所以2π=2π，φ-π/4=2kπ，k是整數(shù)。因?yàn)樵蹅円易钚≌芷?，所以?π/4=0，即φ=π/4。所以f(x)=sin(2x+π/4-π/4)=sin(2x)。好，第一問解決了，φ=π/4。（2）現(xiàn)在求f(x)在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值。因?yàn)閒(x)=sin(2x)，而x在[0,π/2]上，所以2x在[0,π]上。在[0,π]上，sin函數(shù)是先增后減的，所以當(dāng)2x=π/2時(shí)，即x=π/4時(shí)，sin(2x)取得最大值1；當(dāng)2x=0時(shí)，即x=0時(shí)，sin(2x)取得最小值0。所以f(x)的最大值是1，最小值是0。18.（本小題滿分12分）已知α是第三象限的角，且cos(α/2)=-√10/10。（1）求sinα的值；（2）求tan(α/2)的值。解：這個(gè)題啊，得用半角公式。首先，α是第三象限的角，所以sinα<0，cosα<0。已知cos(α/2)=-√10/10，因?yàn)棣?2在第二象限，所以cos(α/2)<0，sin(α/2)>0?，F(xiàn)在咱們來求sinα。（1）因?yàn)閟in2(α/2)+cos2(α/2)=1，所以sin2(α/2)=1-cos2(α/2)=1-(-√10/10)2=1-10/100=1-1/10=9/10，所以sin(α/2)=√9/10=3/√10=3√10/10?，F(xiàn)在用倍角公式，sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=2*(3√10/10)*(-√10/10)=-6*10/100=-6/10=-3/5。所以sinα=-3/5。（2）現(xiàn)在求tan(α/2)。tan(α/2)=sin(α/2)/cos(α/2)=(3√10/10)/(-√10/10)=-3。所以tan(α/2)=-3。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinx*cosx。（1）求f(x)的最小正周期；（2）若x∈[-π,π]，求f(x)的最大值和最小值。解：這個(gè)題啊，得先化簡f(x)。f(x)=sin2x+2sinx*cosx=sin2x+sin2x?，F(xiàn)在求f(x)的最小正周期。（1）sin2x的周期是π，sin2x的周期是π，所以f(x)的周期是這兩個(gè)周期的最小公倍數(shù)，即π。所以f(x)的最小正周期是π。（2）現(xiàn)在求f(x)在x∈[-π,π]上的最大值和最小值。咱們可以把f(x)寫成sin2x+1/2(1-cos2x)=sin2x+1/2-cos2x/2。令t=2x，所以f(x)=sint+1/2-cost/2。在[-π,π]上，2x在[-2π,2π]上，所以t在[-2π,2π]上。在[-2π,2π]上，sint在[-1,1]上，cost在[-1,1]上，所以sint+1/2-cost/2在[-3/2,3/2]上。但是咱們要精確計(jì)算。當(dāng)t=π/2時(shí)，sint=1，cost=0，所以f(x)=1+1/2=3/2；當(dāng)t=-3π/2時(shí)，sint=-1，cost=0，所以f(x)=-1+1/2=-1/2。所以f(x)的最大值是3/2，最小值是-1/2。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，且其最小值為0，最大值為2。（1）求A,ω,φ的值；（2）求函數(shù)y=3sin(2x+φ)+4cos(2x+φ)的最小正周期。解：這個(gè)題啊，得一步步來。首先，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，說明當(dāng)x=π/4時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值。最小值為0，最大值為2，所以B=1，A=1。所以函數(shù)是y=sin(ωx+φ)+1。因?yàn)閳D像關(guān)于x=π/4對(duì)稱，所以ω(π/4)+φ=kπ+π/2，k是整數(shù)。又因?yàn)樽钚≈禐?，所以sin(ωx+φ)=0，所以ωx+φ=kπ，k是整數(shù)。聯(lián)立這兩個(gè)方程，得到ωx+φ=kπ+π/2，ωx+φ=kπ，所以ωx=kπ+π/2-kπ，即ωx=π/2。所以ω=1，φ=kπ+π/2。因?yàn)锳>0,ω>0，所以φ=π/2。（2）現(xiàn)在求函數(shù)y=3sin(2x+φ)+4cos(2x+φ)的最小正周期。因?yàn)棣?π/2，所以y=3sin(2x+π/2)+4cos(2x+π/2)=3cos2x+4sin2x。這個(gè)函數(shù)的周期是2π/2=π。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin|x|。（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小正周期。解：這個(gè)題啊，很簡單。首先判斷奇偶性。f(x)=sin|x|，所以f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)。（2）現(xiàn)在求f(x)的最小正周期。因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。f(x)在[0,π]上的圖像是sinx在[0,π]上的圖像，在[π,2π]上的圖像是sinx在[0,π]上的圖像的鏡像。所以f(x)在[0,2π]上的圖像和[0,π]上的圖像相同，所以周期是2π。但是因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以周期也可以是π。所以f(x)的最小正周期是π。22.（本小題滿分10分）已知函數(shù)y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：這個(gè)題啊，得先化簡f(x)。f(x)=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)=sin2x+sin(π/6)=sin2x+1/2?，F(xiàn)在求f(x)的最小正周期。（1）sin2x的周期是π，所以f(x)的周期是π。（2）現(xiàn)在求f(x)在[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。令f(x)=0，即sin2x+1/2=0，所以sin2x=-1/2。在[0,π]上，2x在[0,2π]上，所以sin2x=-1/2的解是2x=7π/6,11π/6,7π/6+2kπ,11π/6+2kπ，k是整數(shù)。在[0,2π]上，解是2x=7π/6,11π/6。所以x=7π/12,11π/12。所以f(x)在[0,π]上有兩個(gè)零點(diǎn)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.D解析：點(diǎn)P(3,-4)在第四象限，斜邊r=√(32+(-4)2)=5，sinα是對(duì)邊比斜邊，即-4/5。2.B解析：cos(α+β)=1/2，αβ為銳角，所以α+β=π/3。sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，利用α+β=π/3和αβ為銳角，可以取α=π/6，β=π/6，代入計(jì)算得sin(π/6-π/6)=sin0=0，不符合選項(xiàng)。再取α=π/4，β=π/12，代入計(jì)算得sin(π/4-π/12)=sinπ/6=1/2，符合選項(xiàng)B。3.C解析：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期是2π/ω，這里ω=3，所以周期是2π/3。4.B解析：解方程sin(2x-π/4)=0，得2x-π/4=kπ，k是整數(shù)。在[0,π]上，x的取值范圍是π/8≤x≤5π/8，所以k可以取0和1，對(duì)應(yīng)x=π/8和x=5π/8，共兩個(gè)零點(diǎn)。5.C解析：y=sin2x+2sinx*cosx=1/2(1-cos2x)+sin2x=1/2-sin(2x-π/2)+sin2x=1/2+sin2x-sin(2x-π/2)=1/2+sin2x-cos2x=sin2x+1/2，所以值域是[1-√2,1+√2]。6.B解析：圖像關(guān)于x=π/4對(duì)稱，所以ω(π/4)+φ=kπ+π/2，且sin(ωx+φ)=0，所以ωx+φ=kπ。聯(lián)立兩式得ω=1，φ=π/2。7.C解析：cos|x|是偶函數(shù)，因?yàn)閏os(-x)=cosx。8.A解析：tan函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是kπ+π/2，k是整數(shù)。所以函數(shù)y=tan(2x-π/3)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是kπ/2-π/6，k是整數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱中心是(π/6,0)。9.B解析：sinα=1/3，α是第二象限的角，所以cosα=-√(1-sin2α)=-√8/3。cos(α/2)=√((1+cosα)/2)=√((1-√8/3)/2)=-√6/6。10.B解析：函數(shù)y=2sin(x+π/4)cos(x-π/4)=sin(2x+π/2)-sin(π/4)=sin(2x+π/2)，所以周期是2π/2=π。11.A解析：y=3sin2x+4cos2x=5sin(2x+φ)，其中tanφ=4/3，所以最小值是-5。12.B解析：函數(shù)y=sin(x+π/3)cos(x-π/3)=1/2(sin2x+sin(2π/3))，所以周期是π。二、填空題答案及解析13.[1-√2,1+√2]解析：y=2cos2x-sin2x=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，所以值域是[1-√2,1+√2]。14.-π/4解析：周期為π，所以ω=2。函數(shù)是y=Asin(2x+φ)。圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4,√2/2)，所以√2/2=Asin(2π/4+φ)=Asin(π/2+φ)。所以A=sin(π/2+φ)=cosφ。因?yàn)锳>0，所以φ是第四象限的角。又因?yàn)閟in(π/2+φ)=√2/2，所以π/2+φ=π/4+2kπ或3π/4+2kπ，k是整數(shù)。所以φ=-π/4+2kπ或π/4+2kπ，k是整數(shù)。因?yàn)棣帐堑谒南笙薜慕牵驭?-π/4。15.π解析：函數(shù)y=3sin(x+π/6)cos(x-π/6)=3/2(sin2x+sin(π/6))=3/2sin2x+3√3/4，所以周期是π。16.1解析：sin2α+cos2α=1，這是基本的三角恒等式。三、解答題答案及解析17.（1）φ=π/4解析：f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x+φ)=sin(2x+φ-π/4)，所以周期是π，所以φ-π/4=0，即φ=π/4。（2）最大值1，最小值0解析：f(x)=sin(2x)，在[0,π/2]上，2x在[0,π]上，sin(2x)在[0,π]上是先增后減的，所以當(dāng)2x=π/2時(shí)，即x=π/4時(shí)，sin(2x)取得最大值1；當(dāng)2x=0時(shí)，即x=0時(shí)，sin(2x)取得最小值0。18.（1）sinα=-3/5解析：sin2(α/2)+cos2(α/2)=1，sin2(α/2)=9/10，sin(α/2)=3√10/10。sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=2*(3√10/10)*(-√10/10)=-6/10=-3/5。（2）tan(α/2)=-3解析：tan(α/2)=sin(α/2)/cos(α/2)=(3√10/10)/(-√10/10)=-3。19.（1）f(x)的最小正周期是π解析：sin2x的周期是π，sin2x的周期是π