2025年韋達定理競賽題庫本文借鑒了近年相關經典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha\beta=6\)，則\(p\)的值為：A.5B.-5C.6D.-62.方程\(x^2-4x+k=0\)有兩個相等的實根，則\(k\)的值為：A.4B.-4C.2D.-23.若方程\(2x^2-3x+m=0\)的一個根為1，則\(m\)的值為：A.1B.-1C.2D.-24.已知方程\(x^2+ax+b=0\)的兩根之比為2:3，且判別式\(\Delta=49\)，則\(a\)的值為：A.7B.-7C.14D.-145.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha^2+\beta^2=10\)，\(\alpha+\beta=4\)，則\(q\)的值為：A.6B.8C.2D.46.方程\(x^2-6x+k=0\)有兩個正根，則\(k\)的取值范圍是：A.\(k>9\)B.\(k<9\)C.\(k\leq9\)D.\(k\geq9\)7.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha-\beta=2\)，\(\alpha\beta=5\)，則\(p\)的值為：A.-6B.6C.-4D.48.方程\(x^2-2x+k=0\)的兩根均為正數，則\(k\)的取值范圍是：A.\(k\geq1\)B.\(k<1\)C.\(k\leq1\)D.\(k>1\)9.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=3\)，\(\alpha^2+\beta^2=13\)，則\(p\)的值為：A.-2B.2C.-4D.410.方程\(x^2+ax+b=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha^2+\beta^2=17\)，則\(a\)的值為：A.2B.-2C.6D.-6二、填空題（每題4分，共20分）1.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=4\)，\(\alpha\beta=3\)，則\(p\)的值為：________。2.方程\(x^2-6x+k=0\)有兩個相等的實根，則\(k\)的值為：________。3.若方程\(2x^2-3x+m=0\)的一個根為0，則\(m\)的值為：________。4.已知方程\(x^2+ax+b=0\)的兩根之比為1:2，且判別式\(\Delta=25\)，則\(a\)的值為：________。5.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha^2+\beta^2=14\)，\(\alpha+\beta=6\)，則\(q\)的值為：________。三、解答題（每題10分，共50分）1.已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha\beta=6\)，求\(p\)和\(q\)的值。2.若方程\(x^2-4x+k=0\)有兩個正根，求\(k\)的取值范圍。3.已知方程\(x^2+ax+b=0\)的兩根之比為2:3，且判別式\(\Delta=49\)，求\(a\)和\(b\)的值。4.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha-\beta=2\)，\(\alpha\beta=5\)，求\(p\)和\(q\)的值。5.若方程\(x^2+ax+b=0\)的兩根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且滿足\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha^2+\beta^2=17\)，求\(a\)和\(b\)的值。答案與解析選擇題1.B2.A3.B4.D5.A6.B7.A8.A9.B10.D填空題1.-42.93.04.-55.8解答題1.解：根據韋達定理，\(\alpha+\beta=-p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha\beta=6\)，則\[-p=5\impliesp=-5\]\[q=6\]所以\(p=-5\)，\(q=6\)。2.解：根據韋達定理，\(\alpha+\beta=4\)，\(\alpha\beta=k\)。由于方程有兩個正根，則\[\alpha+\beta>0\implies4>0\]\[\alpha\beta>0\impliesk>0\]且判別式\(\Delta\geq0\)，即\[16-4k\geq0\impliesk\leq4\]所以\(k\)的取值范圍是\(0<k\leq4\)。3.解：根據韋達定理，\(\alpha+\beta=-a\)，\(\alpha\beta=b\)。設兩根為\(2x\)和\(3x\)，則\[2x+3x=-a\implies5x=-a\impliesx=-\frac{a}{5}\]\[(2x)(3x)=b\implies6x^2=b\impliesb=6\left(-\frac{a}{5}\right)^2=\frac{6a^2}{25}\]且判別式\(\Delta=a^2-4b=49\)，即\[a^2-4\cdot\frac{6a^2}{25}=49\impliesa^2-\frac{24a^2}{25}=49\implies\frac{a^2}{25}=49\impliesa^2=1225\impliesa=\pm35\]當\(a=35\)時，\(b=\frac{6\cdot35^2}{25}=84\)；當\(a=-35\)時，\(b=\frac{6\cdot(-35)^2}{25}=84\)。所以\(a=35\)，\(b=84\)或\(a=-35\)，\(b=84\)。4.解：根據韋達定理，\(\alpha+\beta=-p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha-\beta=2\)，\(\alpha\beta=5\)，則\[(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(\alpha-\beta)^2\implies(-p)^2-4\cdot5=2^2\impliesp^2-20=4\impliesp^2=24\impliesp=\pm2\sqrt{6}\]當\(p=2\sqrt{6}\)時，\(\alpha+\beta=-2\sqrt{6}\)；當\(p=-2\sqrt{6}\)時，\(\alpha+\beta=2\sqrt{6}\)。由于\(\alpha\beta=5\)，所以\(q=5\)。所以\(p=2\sqrt{6}\)，\(q=5\)或\(p=-2\sqrt{6}\)，\(q=5\)。5.解：根據韋達定理，\(\alpha+\beta=-a\)，\(\alpha\beta=b\)。已知\(\alpha+\beta=5\)，\(\alph